Familie von Mengen 6 < naiv < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:04 Sa 20.04.2013 | | Autor: | ne1 |
| Aufgabe | a) Zeige, dass [mm] $\bigcup_{i \in I} A_i$ [/mm] die kleinste Mengen ist, die alle Mengen von [mm] $A_i$ [/mm] enthält.
b) Analog, [mm] $\bigcap_{i \in I} A_i$ [/mm] ist die größte Menge, die sich in allen Mengen von [mm] $A_i$ [/mm] befindet.
c) Stelle auf und beweise analoge Behauptungen für den Durchschnitt und d) die Vereinigung für beliebige (d.h. nicht zwingend indizierte) Familien von Mengen. |
Meine Ideen:
a) Ich muss zeigen: [mm] $A_{i_1} \cup A_{i_2} \cup A_{i_3}... \subseteq [/mm] C [mm] \Rightarrow \bigcup_{i \in I} A_i \subseteq [/mm] C$.
Beweis:
Sei $x [mm] \in \bigcup_{i \in I} A_i \Leftrightarrow (\exists [/mm] i [mm] \in [/mm] I)x [mm] \in A_i$. [/mm] Es gibt also ein [mm] $i_0 \in \{i_1, i_2, i_3, ...\} [/mm] = I$ mit $x [mm] \in A_{i_0}$. [/mm] Daraus folgt $x [mm] \in [/mm] C$.
b) Ich muss zeigen: $C [mm] \subseteq A_{i_1} \cap A_{i_2} \cap A_{i_3}... \Rightarrow [/mm] C [mm] \subseteq \bigcap_{i \in I} A_i$.
[/mm]
Beweis:
Sei $x [mm] \in [/mm] C$. Dann ist $x [mm] \in A_i$ [/mm] mit $i [mm] \in \{i_1, i_2,...\} [/mm] = I$ für alle $i [mm] \in [/mm] I$. Das bedetet [mm] $(\forall [/mm] i [mm] \in [/mm] I)x [mm] \in A_i \Leftrightarrow [/mm] x [mm] \in \bigcap_{i \in I} A_i$. [/mm]
c) Behauptung: [mm] $\bigcup \mathcal{A}$ [/mm] ist die kleinste Mengen, die alle Mengen von [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] enthält.
[mm] $A_1 \cup A_2 \cup A_3... \subseteq [/mm] C [mm] \Rightarrow \bigcup \mathcal{A} \subseteq [/mm] C$. Dabei ist [mm] $A_1, A_2, [/mm] ... [mm] \in \mathcal{A}$.
[/mm]
Beweis:
Sei $x [mm] \in \bigcup \mathcal{A} \Leftrightarrow (\exists [/mm] A [mm] \in \mathcal{A})x \in [/mm] A$. Es gibt also ein [mm] $A_n \in \mathcal{A}$ [/mm] mit $x [mm] \in [/mm] A$ also $x [mm] \in [/mm] C$.
d) Behauptung: [mm] $\bigcap \mathcal{A}$ [/mm] ist die größte Menge, die in jeder Menge der Mengen von [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] liegt.
$C [mm] \subseteq A_1 \cap A_2 \cap A_3... \Rightarrow [/mm] C [mm] \subseteq \bigcup \mathcal{A}$. [/mm] Dabei ist [mm] $A_1, A_2, [/mm] ... [mm] \in \mathcal{A}$.
[/mm]
Beweis:
Sei $x [mm] \in [/mm] C$. Dann ist $x$ ein Element jeder Menge $A [mm] \in \mathcal{A}$. [/mm] Das bedeutet [mm] $(\forall [/mm] A [mm] \in \mathcal{A})x \in [/mm] A [mm] \Leftrightarrow [/mm] x [mm] \in \bigcap \mathcal{A}$. [/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:25 Sa 20.04.2013 | | Autor: | luis52 |
Moin, so recht gluecklich bin ich mit deinem Beweis zu (a) nicht.
> a) Ich muss zeigen: [mm]A_{i_1} \cup A_{i_2} \cup A_{i_3}... \subseteq C \Rightarrow \bigcup_{i \in I} A_i \subseteq C[/mm].
Anders: Sei $C$ eine Menge, die alle [mm] $A_i$, $i\in [/mm] I$, enthaelt. Zu zeigen ist
[mm] $\bigcup_{i \in I} A_i \subseteq [/mm] C$.
>
> Beweis:
> Sei [mm]x \in \bigcup_{i \in I} A_i \Leftrightarrow (\exists i \in I)x \in A_i[/mm].
> Es gibt also ein [mm]i_0 \in \{i_1, i_2, i_3, ...\} = I[/mm] mit [mm]x \in A_{i_0}[/mm].
Die Schreibweise $ [mm] \{i_1, i_2, i_3, ...\} [/mm] = I$ suggeriert, dass $I$ abzaehlbar ist, was nicht notwenigerweise angenommen werden muss. Besser: Es gibt ein [mm] $i_0\in [/mm] I$ mit [mm] $x\in A_{i_0}$. [/mm] Nach Annahme ist [mm] $A_{i_0}\subset [/mm] C$ ...
> Daraus folgt [mm]x \in C[/mm].
>
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:08 So 21.04.2013 | | Autor: | ne1 |
> Moin, so recht gluecklich bin ich mit deinem Beweis zu (a)
> nicht.
>
>
> > a) Ich muss zeigen: [mm]A_{i_1} \cup A_{i_2} \cup A_{i_3}... \subseteq C \Rightarrow \bigcup_{i \in I} A_i \subseteq C[/mm].
>
> Anders: Sei [mm]C[/mm] eine Menge, die alle [mm]A_i[/mm], [mm]i\in I[/mm], enthaelt.
> Zu zeigen ist
> [mm]\bigcup_{i \in I} A_i \subseteq C[/mm].
>
>
> >
> > Beweis:
> > Sei [mm]x \in \bigcup_{i \in I} A_i \Leftrightarrow (\exists i \in I)x \in A_i[/mm].
> > Es gibt also ein [mm]i_0 \in \{i_1, i_2, i_3, ...\} = I[/mm] mit [mm]x \in A_{i_0}[/mm].
>
> Die Schreibweise [mm]\{i_1, i_2, i_3, ...\} = I[/mm] suggeriert,
> dass [mm]I[/mm] abzaehlbar ist, was nicht notwenigerweise angenommen
> werden muss. Besser: Es gibt ein [mm]i_0\in I[/mm] mit [mm]x\in A_{i_0}[/mm].
> Nach Annahme ist [mm]A_{i_0}\subset C[/mm] ...
>
> > Daraus folgt [mm]x \in C[/mm].
> >
>
>
> vg Luis
Dann haben wir eigentlich dasselbe Problem bei der Teilaufgabe b) oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:48 So 21.04.2013 | | Autor: | luis52 |
> Dann haben wir eigentlich dasselbe Problem bei der
> Teilaufgabe b) oder?
Wir? Du! 
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:26 So 21.04.2013 | | Autor: | ne1 |
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> > Dann haben wir eigentlich dasselbe Problem bei der
> > Teilaufgabe b) oder?
>
> Wir? Du!
>
> vg Luis
>
Dann würde ich einfach schreiben:
Sei $x [mm] \in [/mm] C$. Dann ist nach Annahme $x [mm] \in A_i$ [/mm] mit $i [mm] \in [/mm] I$ für alle $i [mm] \in [/mm] I$ also [mm] $(\forall [/mm] i [mm] \in [/mm] I)x [mm] \in A_i \Leftrightarrow [/mm] x [mm] \in \bigcap_{i \in I}A_i$.
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:56 So 21.04.2013 | | Autor: | luis52 |
Ganzer Satz: Ich heisse Erwin Lindemann ...
> Dann würde ich einfach schreiben:
> Sei [mm]x \in C[/mm]. Dann ist nach Annahme [mm]x \in A_i[/mm] mit [mm]i \in I[/mm]
> für alle [mm]i \in I[/mm] also [mm](\forall i \in I)x \in A_i \Leftrightarrow x \in \bigcap_{i \in I}A_i[/mm].
Es fehlt der Anfang: Sei $C$ eine Menge, die sich in allen [mm] $A_i$, $i\in [/mm] I$, befindet. oder besser, da buendiger ... mit [mm] $C\subset A_i$ [/mm] fuer alle [mm] $i\in [/mm] I$.
Sonst ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
vg Luis
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