Fast Sichere Konvergenz < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:04 So 02.06.2013 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | a) Zeige mit Hilfe des Lebesgue-Masses auf [0,1] und der Folge [mm] (X_n)_{n \in \IN} [/mm] definiert durch
[mm] X_n [/mm] := [mm] 1_{[\frac{n-k_n}{k_n} , \frac{n-k_n +1}{k_{n}})}, [/mm] mit [mm] k_n [/mm] := [mm] 2^{\lfloor log_2 n \rfloor}
[/mm]
dass aus Konvergenz in Wahrscheinlichkeit nicht fast sichere Konvergenz folgt.
b) Modifiziere das Bsp in a) leicht um zuzeigen, dass aus Konvergenz in Wahrscheinlichkeit nicht [mm] L^p [/mm] Konvergenz folgt. |
Hallo
Konv. in Wahrscheinlichkeit: lim [mm] P(|X_n [/mm] - X | [mm] \ge \epsilon [/mm] )=0 [mm] \forall \epsilon>0
[/mm]
fast sichere Konvergenz [mm] P({\omega\in\Omega\,| \lim_{n\to\infty} X_n(\omega) = X(\omega))}=1 [/mm]
[mm] \omega \in \Omega= [/mm] [0,1]
[mm] X_n (\omega)= \begin{cases} 0, & \mbox{sonst } \\ 1, & \mbox{für } \omega \in [\frac{n-k_n}{k_n} , \frac{n-k_n +1}{k_{n}}) \end{cases}
[/mm]
Ich betrachte die andere Zufallsvariable:
[mm] X(\omega)=0
[/mm]
ZZ: 1) lim [mm] P(|X_n [/mm] - X | [mm] \ge \epsilon [/mm] )=0 [mm] \forall \epsilon>0
[/mm]
[mm] P(|X_n [/mm] - X| [mm] \ge \epsilon) \le \frac{E[|X_n - X|]}{\epsilon}
[/mm]
[mm] E[|X_n [/mm] -X|] = [mm] \int_{\Omega} |X_n [/mm] - X| [mm] (\omega) dP(\omega) [/mm] = [mm] 2^{- \lfloor log_2 n \rfloor} [/mm] ->0 für [mm] n->\infty
[/mm]
ZZ: 2) Es gilt nicht: [mm] P({\omega\in\Omega\,| \lim_{n\to\infty} X_n(\omega) = X(\omega))}=1
[/mm]
<=> Gilt nicht: [mm] P(\lim_{n\to\infty} X_n(\omega) [/mm] =0)=1
Ich fixiere [mm] \omega \in \Omega [/mm] beliebig.
Wenn es fast sicher konvergiert müssen ja auch alle Teilfolgen konvergieren gegen denselben Grenzwert. Also muss ich nur eine Teilfolge finden, die nicht gegen 0 konvergiert. Denn dann gilt nicht [mm] lim_{n\to\infty} X_n(\omega) [/mm] =0 woraus dann folgt [mm] P(lim_{n\to\infty} X_n(\omega) [/mm] =0)=0 Habt ihr da eine Idee für mich?
Bei b) komme ich auch noch nicht weiter.
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Hi sissile,
> [mm]\omega \in \Omega=[/mm] [0,1]
> [mm]X_n (\omega)= \begin{cases} 0, & \mbox{sonst } \\ 1, & \mbox{für } \omega \in [\frac{n-k_n}{k_n} , \frac{n-k_n +1}{k_{n}}) \end{cases}[/mm]
>
> Ich betrachte die andere Zufallsvariable:
> [mm]X(\omega)=0[/mm]
>
> ZZ: 1) lim [mm]P(|X_n[/mm] - X | [mm]\ge \epsilon[/mm] )=0 [mm]\forall \epsilon>0[/mm]
>
> [mm]P(|X_n[/mm] - X| [mm]\ge \epsilon) \le \frac{E[|X_n - X|]}{\epsilon}[/mm]
>
> [mm]E[|X_n[/mm] -X|] = [mm]\int_{\Omega} |X_n[/mm] - X| [mm](\omega) dP(\omega)[/mm] = [mm]2^{- \lfloor log_2 n \rfloor}[/mm] ->0 für [mm]n->\infty[/mm]
Gut
>
> ZZ: 2) Es gilt nicht: [mm]P({\omega\in\Omega\,| \lim_{n\to\infty} X_n(\omega) = X(\omega))}=1[/mm]
>
Als einziger f. s. Grenzwert kommt [mm] X\equiv0 [/mm] in Frage. Zu zeigen also [mm] X_n(\omega)\nrightarrow0 [/mm] fuer [mm] $\omega\in [/mm] A$ mit [mm] \lambda(A)>0.
[/mm]
Fixiere [mm] j\in\IN [/mm] und betrachte [mm] n(k,j)=n(k)=2^{j+1}-k [/mm] für [mm] k=1,\ldots,2^{j}.
[/mm]
Rechne nach, dass [mm] \red{k_{n(k)}}=2^j [/mm] und [mm] X_{n(k)}=\mathbbm{1}(\left[1-\frac{k}{2^j}, 1-\frac{k}{2^j}+\frac{\red{1}}{\red{2}^j}\right)).
[/mm]
Insbesondere gilt [mm] $\sum_{k=1}^{2^j}X_{n(k)}=\mathbbm{1}_{[0,1)}$ [/mm] fuer alle [mm] j\in\IN, [/mm] d.h. fuer jedes [mm] \omega\in[0,1) [/mm] gilt [mm] X_n(\omega)=1 [/mm] unendlich oft: Widerspruch zur punktweisen Konvergenz gegen 0.
>
> Bei b) komme ich auch noch nicht weiter.
Nutze dieselben Indikatorfunktionen (daraus folgt Konvergenz gegen 0 nach Maß) und schreibe davor Vorfaktoren, sodass die [mm] L^p [/mm] Integrale jeweils 1 ergeben.
Aloha,
kamaleonti
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:32 So 02.06.2013 | | Autor: | sissile |
Hallo, danke für deine ANtwort.
Entweder komme ich mit deiner schreibweise nicht ganz zurrecht oder es hat sich bei dir ein fehler eingeschlichen.
> Rechne nach, dass $ [mm] n_{k(n)}=2^j [/mm] $ und $ [mm] X_{n(k)}=\mathbbm{1}(\left[1-\frac{k}{2^j}, 1-\frac{k}{2^j}+\frac{2}{1^j}\right)). [/mm] $
SOllte da nicht [mm] stehen:X_{n(k)}=\mathbbm{1}(\left[1-\frac{k}{2^j}, 1-\frac{k}{2^j}+\frac{1}{2^j}\right)).
[/mm]
Wie meinst du die Schreibweise genau bzw. wie kommst du darauf? $ [mm] n_{k(n)}=2^j [/mm] $
Insbesondere gilt $ [mm] \sum_{k=1}^{2^j}X_{n(k)}=\mathbbm{1}_{[0,1)} [/mm] $ fuer alle $ [mm] j\in\IN, [/mm] $
Klar.;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:03 So 02.06.2013 | | Autor: | kamaleonti |
> Hallo, danke für deine ANtwort.
> Entweder komme ich mit deiner schreibweise nicht ganz
> zurrecht oder es hat sich bei dir ein fehler
> eingeschlichen.
Es waren sogar ein paar Fehler, bitte schau noch einmal in meinen vorigen Post, wo ich sie korrigiert habe. Sorry!
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:25 So 02.06.2013 | | Autor: | sissile |
Ok, das beruhigt mich ;) Denn vorher war es für mich sehr unverständlich!
Eines ist mir noch nicht klar:
> $ [mm] n(k,j)=n(k)=2^{j+1}-k [/mm] $ für $ [mm] k=1,\ldots,2^{j}. [/mm] $
> Rechne nach, dass $ [mm] \red{k_{n(k)}}=2^j [/mm] $
[mm] k_{n(k)} [/mm] = [mm] 2^{\lfloor log_2 (2^{j+1}-k) \rfloor}
[/mm]
Wie kommst du auf [mm] 2^j [/mm] ?
LG
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> Ok, das beruhigt mich ;) Denn vorher war es für mich sehr
> unverständlich!
> Eines ist mir noch nicht klar:
> > [mm]n(k,j)=n(k)=2^{j+1}-k[/mm] für [mm]k=1,\ldots,2^{j}.[/mm]
>
> > Rechne nach, dass [mm]\red{k_{n(k)}}=2^j[/mm]
> [mm]k_{n(k)}[/mm] = [mm]2^{\lfloor log_2 (2^{j+1}-k) \rfloor}[/mm]
> Wie
> kommst du auf [mm]2^j[/mm] ?
Fuer [mm] k=1,\ldots,2^j [/mm] gilt
[mm] j\le log_2 (2^{j+1}-k)
also [mm] \lfloor log_2 (2^{j+1}-k) \rfloor=j
[/mm]
>
> LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:16 So 02.06.2013 | | Autor: | sissile |
Mit denselben [mm] X_n [/mm] :
[mm] E[|X_n [/mm] - [mm] X|^p]= \int_0^1 |X_n(\omega) [/mm] - [mm] X(\omega)|^p [/mm] d [mm] \omega [/mm] = [mm] 2^{- p \lfloor log_2 n \rfloor }
[/mm]
Was meinst du nun für einen Vorfaktor'?
LG
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> Mit denselben [mm]X_n[/mm] :
> [mm]E[|X_n[/mm] - [mm]X|^p]= \int_0^1 |X_n(\omega)[/mm] - [mm]X(\omega)|^p[/mm] d
> [mm]\omega[/mm] = [mm]2^{- p \lfloor log_2 n \rfloor }[/mm]
>
> Was meinst du nun für einen Vorfaktor'?
Setze mal [mm] Y_n=k_n^{1/p} X_n [/mm] und berechne dann [mm] $E[Y_n-0]^p$
[/mm]
>
> LG
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