Fast sichere Konvergenz zeigen < stoch. Analysis < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien [mm] (X_{n})_{n\in\IN} [/mm] Folge von unabhängig und identisch N(1,3)-verteilten (Normalverteilung [mm] \mu [/mm] = 1, [mm] \sigma^{2} [/mm] = 3 ) Zufallsvariablen. Zeige:
[mm] $\frac{X_{1}+...+X_{n}}{X_{1}^{2}+...+X_{n}^{2}} \to \frac{1}{4}$ [/mm] fast sicher. |
Hallo!
Bei obiger Aufgabe komme ich nicht weiter.
Ich habe mit dem starken Gesetz der großen Zahlen zeigen können, dass [mm] $\frac{1}{n}*\sum_{k=1}^{n}X_{k}\to E(X_{1}) [/mm] = 1$ fast sicher, und dass [mm] $\frac{1}{n}*\sum_{k=1}^{n}X_{k}^{2}\to E(X_{1}^{2}) [/mm] = 4$ fast sicher.
Damit hätte ich
[mm] $\frac{X_{1}+...+X_{n}}{X_{1}^{2}+...+X_{n}^{2}} [/mm] = [mm] \frac{\frac{1}{n}*\sum_{k=1}^{n}X_{k}}{\frac{1}{n}*\sum_{k=1}^{n}X_{k}^{2}}$,
[/mm]
und weiß nun, dass Nenner und Zähler fast sicher gegen 1 bzw. 4 gehen. Ich kenne aber keine Regel, die mir jetzt erlaubt, zu folgern dass der Bruch gegen 1/4 geht.
Gibt es eine Regel?
Oder muss ich einen anderen Ansatz anwenden? Wie würde das gehen  ?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:51 Mi 09.06.2010 | | Autor: | dormant |
Hi!
> Seien [mm](X_{n})_{n\in\IN}[/mm] Folge von unabhängig und identisch
> N(1,3)-verteilten (Normalverteilung [mm]\mu[/mm] = 1, [mm]\sigma^{2}[/mm] = 3
> ) Zufallsvariablen. Zeige:
>
> [mm]\frac{X_{1}+...+X_{n}}{X_{1}^{2}+...+X_{n}^{2}} \to \frac{1}{4}[/mm]
> fast sicher.
> Hallo!
>
> Bei obiger Aufgabe komme ich nicht weiter.
> Ich habe mit dem starken Gesetz der großen Zahlen zeigen
> können, dass [mm]\frac{1}{n}*\sum_{k=1}^{n}X_{k}\to E(X_{1}) = 1[/mm]
> fast sicher, und dass
> [mm]\frac{1}{n}*\sum_{k=1}^{n}X_{k}^{2}\to E(X_{1}^{2}) = 4[/mm]
> fast sicher.
>
> Damit hätte ich
>
> [mm]\frac{X_{1}+...+X_{n}}{X_{1}^{2}+...+X_{n}^{2}} = \frac{\frac{1}{n}*\sum_{k=1}^{n}X_{k}}{\frac{1}{n}*\sum_{k=1}^{n}X_{k}^{2}}[/mm],
>
> und weiß nun, dass Nenner und Zähler fast sicher gegen 1
> bzw. 4 gehen. Ich kenne aber keine Regel, die mir jetzt
> erlaubt, zu folgern dass der Bruch gegen 1/4 geht.
Ich glaube das geht ganz unproblematisch: du hast zwei ZV-Folgen, die f.s. gegen zwei Konstanten konvergieren. Dann konvergiert auch das Produkt der beiden Folgen (hier sogar monoton fallend) gegen das Produkt der zwei Konstanten.
> Gibt es eine Regel?
> Oder muss ich einen anderen Ansatz anwenden? Wie würde
> das gehen ?
>
> Vielen Dank für Eure Hilfe!
> Grüße,
> Stefan
Grüße,
dormant
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:50 Mi 09.06.2010 | | Autor: | gfm |
> Seien [mm](X_{n})_{n\in\IN}[/mm] Folge von unabhängig und identisch
> N(1,3)-verteilten (Normalverteilung [mm]\mu[/mm] = 1, [mm]\sigma^{2}[/mm] = 3
> ) Zufallsvariablen. Zeige:
>
> [mm]\frac{X_{1}+...+X_{n}}{X_{1}^{2}+...+X_{n}^{2}} \to \frac{1}{4}[/mm]
> fast sicher.
> Hallo!
>
> Bei obiger Aufgabe komme ich nicht weiter.
> Ich habe mit dem starken Gesetz der großen Zahlen zeigen
> können, dass [mm]\frac{1}{n}*\sum_{k=1}^{n}X_{k}\to E(X_{1}) = 1[/mm]
> fast sicher, und dass
> [mm]\frac{1}{n}*\sum_{k=1}^{n}X_{k}^{2}\to E(X_{1}^{2}) = 4[/mm]
> fast sicher.
>
> Damit hätte ich
>
> [mm]\frac{X_{1}+...+X_{n}}{X_{1}^{2}+...+X_{n}^{2}} = \frac{\frac{1}{n}*\sum_{k=1}^{n}X_{k}}{\frac{1}{n}*\sum_{k=1}^{n}X_{k}^{2}}[/mm],
>
> und weiß nun, dass Nenner und Zähler fast sicher gegen 1
> bzw. 4 gehen. Ich kenne aber keine Regel, die mir jetzt
> erlaubt, zu folgern dass der Bruch gegen 1/4 geht.
>
> Gibt es eine Regel?
> Oder muss ich einen anderen Ansatz anwenden? Wie würde
> das gehen ?
>
> Vielen Dank für Eure Hilfe!
> Grüße,
> Stefan
Bedeutet denn [mm] X^{(k)}_n\to X^{(k)} [/mm] f.s., [mm] k\in\IN\cup\{\infty\} [/mm] nicht, dass es Mengen [mm] N^{(k)} [/mm] mit [mm] P(N^{(k)})=0 [/mm] gibt so dass [mm] X^{(k)}_n\to X^{(k)} [/mm] punktweise auf [mm] \Omega\backslash N^{(k)} [/mm] konvergiert?
Was könnte man dann über [mm] N:=\bigcup_{k} N^{(k)} [/mm] sagen?
Und was würde das für [mm] Z_n:=f(X^{(1)}_n,X^{(2)}_n,...,X^{(m)}_n) [/mm] mit einem stetigem f bedeuten?
LG
gfm
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naja, soweit ich mich erinnere, gibt dafuer einen satz:
die vereinigung abzaehlbarer nullmengen ist wieder eine nullmenge ...
damit geht das ganze dann problemlos ....
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