Fehler Trapezregel < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:12 Do 21.06.2007 | | Autor: | Astrid_W |
| Aufgabe | | Der Fehler beim Trapezverfahren ist kleiner als [mm] F\leq\frac{(b-a)^3}{12n^2}\cdot [/mm] S, mit S obere Schranke von |f''(x)|. (zweimal diffbar) Zeige dies! |
Hallo,
also mein Problem bei dem Beweis ist, dass ich erst einmal versucht habe, diese Aussage zu beweisen, in dem ich die Summe die beim Trapezverfahren herauskommt minus dem wirklichen Wert des Integrals genommen habe. Das habe ich dann zweimal mit partieller Integration und MWS umgeformt. Jetzt sollte ja eigentlich bei dem Integral, weilches ich herausbekomme das Ergebnis von oben stehen. Das tut es aber nicht. Kann mir da vielleicht einer weiterhelfen?
( bisher habe ich:
Der Fehler auf einem Intervall ist gegeben durch die Differenz des Wertes, den man mit der Trapezregel erhält, und dem wirklichen Wert des Integrals (das Integral existiert, da f laut Voraussetzung differenzierbar ist). Für den Fehler auf einem der Teilintervalle [a+ih, a+(i+1)h], i=0,...,n-1 gilt also mit partieller Integration:
[mm] \frac{h}{2}(f(a+ih)+f(a+(i+1)h))-\int_{a+ih}^{a+(i+1)h}1\cdot f\underset{\text{P.I.}}{=}\int_{a+ih}^{a+(i+1)h}\left(t+\left(\frac{h}{2}-a-(i+1)h\right)\right)f'(t)dt
[/mm]
Wendet man noch einmal partielle Integration an und verwendet außerdem den Mittelwertsatz an, so gilt:
[mm] \int_{a+ih}^{a+(i+1)h}\left(t+\left(\frac{h}{2}-a-(i+1)h\right)\right)f'(t)dt
[/mm]
[mm] \underset{\text{P.I.}}{=}-\int_{a+ih}^{a+(i+1)h}\left[\frac{1}{2}t^2+\frac{h}{2}t-at-(i+1)ht+\frac{1}{2}\left(a+(i+1)h\right)^2-\frac{1}{2} h\left(a+h(i+1)\right)\right]f''(t)dt
[/mm]
[mm] \underset{\text{MWS}}{=}-\int_{a+ih}^{a+(i+1)h}\left[\frac{1}{2}t^2+\frac{h}{2}t-at-(i+1)ht+\frac{1}{2}\left(a+(i+1)h\right)^2-\frac{1}{2} h\left(a+h(i+1)\right)\right]dt [/mm] f''(r))
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:16 Do 21.06.2007 | | Autor: | DesterX |
Hallo Astrid!
Für den Integrationsfehler bei den Quadraturformeln gibt es allgemein eine Fehlerformel, die sich mit der Fehlerformel für Funktion und einem Interpolationspolynom beweisen lässt. (was auch nicht weiter kompliziert ist)
Danach musst du den Spezialfall (Trapezverfahren) nur noch einsetzen und erhälst den oben genannten Fehler. Vielleicht versucht du es auf diesem Wege mal?
Falls du Hilfe benötigst, melde dich.
Gruß,
Dester
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:56 Do 21.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Schreibe den Fehler als R(h)
am einfachsten für ein Intervall 0 bis h
differenziere nach R bis R''(h) da kommt etwas mitt f'' und h raus. schätze R'' durch f'',h ab,integriere 2 mal.
Damit solltest du besser fahren, als mit deiner Methode, die ich nicht ganz durchschaue.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:30 Do 21.06.2007 | | Autor: | Astrid_W |
Hallo,
genau das habe ich ja gemacht!! Nur eben allgemein und nicht auf dem Intervall [0,h]. Der Beweis ist ja auch leicht, der steckt ja in meinem drin. Aber wieso soll ich das denn fürs Intervall [0,h] überhaupt machen dürfen?? Die Funktion muss da ja noch nicht einmal definiert sein! Soll ich die in dem Fall nach da verschieben und normieren? Und wieso kann ich das dann für alle Intervalle sagen?
Astrid
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:45 Do 21.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich seh bei dir keine Differenzieren.
dadurch, dass du das Intervall so kompliziert angibst wirds auch unübersichtlich ,
hoffentlich ist dir c und c+h allgemein genug, (das andere wär derselbe Beweis, nur f verschoben) aber c ist beliebig, also kannst dus auch c=a+ih nehmen!
[mm] R(h)=(f(c+h)+f(c))*h/2-\integral_{c}^{c+h}{f(x) dx}
[/mm]
R'(h)=(f(c+h)+f(c))*1/2 + f'(c+h)*h/2 - f(c+h)
R'(h)=-1/2*f(c+h)+f(c)/2 + f'(c+h)*h/2
R''(h)=-1/2*f'(c+h)+1/2*f'(c+h)+h/2*f''(c+h)
R''(h)=f''(c+h)*h/2
daraus |R''(h)|<M*h/2 [mm] M=sup_{x\in[c,c+h]}(f(x)) [/mm]
daraus [mm] |R(h)|
ich erkenn das aus deiner Rechng nicht.
Gruss leduart
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