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| Aufgabe | Zeige für die Trapezregel die Fehlerabschätzung
[mm] |\underbrace{\integral_{x_0}^{x_0+h}f(x)dx}_{=I(f)}-\bruch{h}{2}(f(x_0)+f(x_0+h))|\le \bruch{h^3}{12}\underbrace{max}_{x\in[x_0,x_0+h]}|f''(x)|
[/mm]
indem man [mm] \bruch{h}{2}(f(x_0)+f(x_0+h))=I(\overline{f}) [/mm] als Integral über f interpolierende Fkt. [mm] \overline{f} [/mm] interpretiereen un die Restgleiddarstellung der Polynominterpolation verwenden. |
wir haben folg. Satz aus der Vorl. den ich benutzt habe:
Sei [mm] f:[a,b]\rightarrow\IR\inC^{n+1}([a,b]) [/mm] und p das Interpolationspolynom zu f in [mm] x_0,....x_n \in[a,b], [/mm] wobei [mm] \exists \mu=\mu(x)
[/mm]
[mm] f(x)_p(x)=(x-x_0)\cdot...\cdot(x-x_n)\cdot\bruch{f^{n+1}(\mu)}{(n+1)!}
[/mm]
ich habe dann folg. gemacht.
da die trapezrgel die Ordnung 2 hat muss f vom grad 1 sein somit ist
[mm] f(x)_p(x)=(x-x_0)(x-(x_0+h))\bruch{f''(\mu)}{2} [/mm] (ist das somit nicht das Restgleid des taylorpolynom gemeint?!) für [mm] x_i [/mm] habe ich jeweils die grenzen genommen
dann nehmen davon das Integral
[mm] \Rightarrow \integral_{x_0}^{x_0+h}(x-x_0)(x-x_0-h)\bruch{f''(\mu)}{2}dx=\bruch{f''(\mu)}{2}\integral_{x_0}^{x_0+h}(x-x_0)(x-x_0-h)
[/mm]
mit partielle integration erhalte dann
[mm] \Rightarrow \bruch{f''(\mu)}{2}(-\bruch{1}{3}-\bruch{7}{6}x_0^2h-\bruch{2}{3}x_0h^2+\bruch{1}{6}h^3)=\bruch{f''(\mu)}{2}\cdot\bruch{1}{6}(-2x_0^3-7x_0^2h-4x_0h^2+h^3)
[/mm]
ist es eigentlich bis dahin richtig? wie komme ich zu [mm] \bruch{h^3}{12}\underbrace{max}_{x\in[x_0,x_0+h]}|f''(x)| [/mm] ?
Dankeschöne im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:53 So 09.11.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
> dann nehmen davon das Integral
> [mm]\Rightarrow \integral_{x_0}^{x_0+h}(x-x_0)(x-x_0-h)\bruch{f''(\mu)}{2}dx=\bruch{f''(\mu)}{2}\integral_{x_0}^{x_0+h}(x-x_0)(x-x_0-h)[/mm]
>
> mit partielle integration erhalte dann
das verstehe ich nicht. was ist da partiell zu integrieren)
du hast
[mm] \integral_{x_0}^{x_0+h}{(x-x_0)^2-h*(x-x_0)dx}=1/3*(x-x_0)^3-h/2*(x-x_0)^2
[/mm]
die Grenzen eingesetzt kommt kein [mm] x_0 [/mm] mehr vor, untere Grenz 0 obere [mm] h^3/3-h^3/2
[/mm]
dein ergebnis ist sehr rätselhaft, auch eine quadratische fkt partiell zu integrieren ist seltsam.
> [mm]\Rightarrow \bruch{f''(\mu)}{2}(-\bruch{1}{3}-\bruch{7}{6}x_0^2h-\bruch{2}{3}x_0h^2+\bruch{1}{6}h^3)=\bruch{f''(\mu)}{2}\cdot\bruch{1}{6}(-2x_0^3-7x_0^2h-4x_0h^2+h^3)[/mm]
>
> ist es eigentlich bis dahin richtig?
offensichtlich nein
>wie komme ich zu
> [mm]\bruch{h^3}{12}\underbrace{max}_{x\in[x_0,x_0+h]}|f''(x)|[/mm]
> ?
durch richtige Integration.
Gruß leduart
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