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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:26 So 24.10.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo - ich bin's schon wieder...
Diesmal habe ich ein Problem mit der folgenden Aufgabe:
"Zu berechnen sei die Summe [mm] f(x_1,...,x_n)=\summe_{i=1}^{n}x_i [/mm] positiver Maschinenzahlen [mm] x_i. [/mm] Schätze den relativen Fehler bei der Berechnung [mm] f^{\sim} [/mm] von f in der Form
[mm] \bruch{f^{\sim} (x_1,...,x_n)-f(x_1,...,x_n)}{f(x_1,...,x_n)} \le C(x_1,...,x_n)*eps
[/mm]
ab, wobei eps die Maschinengenauigkeit bezeichnet. In welcher Reihenfolge sollte die Summation durchgeführt werden, um den Fehler möglichst gering zu halten?"
Also, mit [mm] f^{\sim} [/mm] bezeichnen wir wohl die gerundete Berechnung, aber so genau weiß ich das nicht, weil wir igendwie mehrere Schreibweisen haben und ich bin mir nicht ganz sicher, ob das jetzt alles das Gleiche ist. Ich habe mir jedenfalls gedacht, dass die Zahlen dann wegen der Maschinengenauigkeit nicht exakt addiert werden, sondern mit einem Faktor [mm] (1+\varepsilon) [/mm] - so hatten wir jedenfalls die maschinell durchgeführte Addition definiert.
Wenn ich diesen Faktor jetzt in den Bruch einsetze, dann kann ich die f's da rauskürzen, sodass dann noch [mm] 1+\varepsilon-1 [/mm] = [mm] \varepsilon [/mm] da steht. Das scheint mir aber viel zu einfach, dann könnte ich das C ja beliebig [mm] \ge [/mm] 1 wählen, oder? Und warum steht da eigentlich [mm] C(x_1,...,x_n)? [/mm] Ist das nur ne Schreibweise um zu zeigen, dass das C zu den [mm] x_i [/mm] s gehört oder soll das C ne Funktion sein?
Zu der Frage mit der Reihenfolge habe ich mir überlegt, dass man Zahlen, die ungefähr gleich groß sind, zuerst zusammenrechnen sollte, denn dann braucht man ja keinen Exponentenangleich zu machen und es gehen somit keine (wichtigen) Stellen verloren. Und wenn man dann mehrere solcher Summen hat, kann man da wieder die zusammenrechnen, die ähnlich groß sind usw.. Aber reicht das als Erklärung? Oder kann man das auch noch anders mathematisch ausdrücken?
Ich hoffe, ich erscheine nicht als faul, weil ich hier andauernd mit ner neuen Frage auftauche, aber hier habe ich wirklich rumgerechnet und wüsste keinen anderen Ansatz. Ich verlange ja nicht gleich eine komplette Lösung...
Viele Grüße
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Hallo Bastiane,
Der Fehler mit dem epsilon tritt bei jeder Addition auf. Wenn du also eine lange Summe hast tritt er öfters auf dies müsstest du eben hinschreiben.
[mm] s=x_1 [/mm] (Da gibt's wohl keinen Fehler)
[mm] s^^{\sim}=x_1^^{\sim}
[/mm]
[mm] s_1=s+x_2
[/mm]
[mm] s_1^^{\sim}=(s^^{\sim}+x_2)(1+ {\epsilon }_1)
[/mm]
[mm] s_2=s_1+x_3
[/mm]
[mm] s_2^^{\sim}=(s_1^^{\sim}+x_3)(1+ {\epsilon }_2)=((s^^{\sim}+x_2)(1+ {\epsilon }_1)+x_3)(1+ {\epsilon }_2)
[/mm]
usw. usf.
gruß
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:19 Mo 25.10.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Mathemaduenn!
> Der Fehler mit dem epsilon tritt bei jeder Addition auf.
> Wenn du also eine lange Summe hast tritt er öfters auf dies
> müsstest du eben hinschreiben.
> [mm]s=x_1[/mm] (Da gibt's wohl keinen Fehler)
> [mm]s^^{\sim}=x_1^^{\sim}
[/mm]
> [mm]s_1=s+x_2
[/mm]
> [mm]s_1^^{\sim}=(s^^{\sim}+x_2)(1+ {\epsilon }_1)
[/mm]
>
> [mm]s_2=s_1+x_3
[/mm]
> [mm]s_2^^{\sim}=(s_1^^{\sim}+x_3)(1+ {\epsilon }_2)=((s^^{\sim}+x_2)(1+ {\epsilon }_1)+x_3)(1+ {\epsilon }_2)
[/mm]
Also, diese Schreibweise verwirrt mich ziemlich, aber nach deiner Erklärung weiß ich wohl, was du meinst. Hab' das mal aufgeschrieben, aber kann man das irgendwie zusammenfassen? Ich kann dann ja auch einige [mm] x_i's [/mm] da rausstreichen, weil ja subtrahiert wird, aber kann ich daraus eine Formel machen? Ist wohl irgendwie was komplizierter.
Und vor allem: wie mache ich dann weiter? Soll ich mit dem Nenner multiplizieren? Und was genau ist das C?
Viele Grüße
Bastiane
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Hallo Bastiane,
Also das f~ hast Du jetzt. Jetzt müsstest du noch auf die Ungleichung aus der Aufgabenstellung kommen. D.h. praktisch die exakte Summe abziehen. Durch die exakte Summe teilen und letzten und wichtigstens / schwierigstens die Epsilons und die x als Produkt schreiben. Noch ein Tipp dabei benutzt man folgende Abschätzung. [mm]\epsilon * \epsilon =o({\epsilon}^2) \approx 0 [/mm].
gruß
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 Mi 27.10.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo mathemaduenn!
> Also das f~ hast Du jetzt. Jetzt müsstest du noch auf die
> Ungleichung aus der Aufgabenstellung kommen.
Ja, das f~ habe ich jetzt, und die Ungleichung fehlt mir noch...
> D.h. praktisch
> die exakte Summe abziehen. Durch die exakte Summe teilen
> und letzten und wichtigstens / schwierigstens die Epsilons
> und die x als Produkt schreiben.
Ja, nur wie mache ich das? Ich habe ja keine Werte gegeben, sondern eben nur die Funktion f, und ich finde keine Formel, wenn ich die exakte Summe abziehe und erst recht nicht, wenn ich dann noch dadurch dividieren muss.
Und was ist das C? Eine Konstante? Oder eine Funktion?
> Noch ein Tipp dabei
> benutzt man folgende Abschätzung. [mm]\epsilon * \epsilon =o({\epsilon}^2) \approx 0 [/mm].
Ist das das, was man mit "erster Näherung" bezeichnet? Wenn man die Fehler höherer Ordnung weglässt?
Viele Grüße und schon mal danke.
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Hallo Bastiane,
C ist ein Funktion abhängig von den [mm] x_i [/mm] . Anders gesagt der relative Fehler der Summe ( die linke Seite der Ungleichung ) ist von den zu summierenden Zahlen abhängig. Wenn du entsprechend zusammenfasst solltest Du eigentlich in f~ die exakte summe wiederfinden. Mit der Abschätzung für die 1. Näherung sollte auch ein trennen der [mm] x_i [/mm] und [mm] {\epsilon}_i [/mm] möglich sein.
Alles klar?
gruß
mathemaduenn
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