Fehlerschrankensatz < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:49 Di 02.12.2014 | | Autor: | fuoor |
| Aufgabe | Bei einer Geschwindigkeitsmessung der Polizei wird gemessen, wieviel Zeit vorbeifahrende Fahrzeuge benötigen, um einen ca. 210 m langen Streckenabschnitt zurückzulegen. Dabei werden eine Messfehlertoleranz der Strecke von [mm] \pm [/mm] 5m und [mm] \pm [/mm] 0,5s in der Zeit angenommen.Fürr ein Taxi wurde eine Zeit von t=10,5 s gemessen. Berechnen Sie die gemessene Durchschnittsgeschwindigkeit des Taxis auf dem Streckenabschnitt. Berechnen Sie weiter mit Hilfe des Fehlerschrankensatzes die Durchschnittsgeschwindigkeit, mit der sich das Taxi mindestens bewegt haben muss.
Hinweis: Für die Durchschnittsgeschwindigkeit v gilt [mm] v(s,t)=\bruch{s}{t}. [/mm] Die erlaubten 50km/h überschreitet das Taxi deutlich, es gilt 1m/s=3,6km/h. |
Die gemssene Durchschnittsgeschwindigkeit errrechne ich durch
[mm] v(210m,10,5s)=\bruch{210m}{10,5s}=20m/s.
[/mm]
Nun multipliziere ich das Ganze mit 3,6 damit ich auf km/h komme. Das Ergebnis ist dann 72 km/h. Die Durchschnittsgeschwindigkeit des Taxis beträgt also 72km/h.
Nun zum Fehlerschrankensatz. Zuerst berechne ich die partiellen Ableitungen. Für [mm] v(s,t)=\bruch{s}{t} [/mm] gilt
[mm] \bruch{\delta v}{\delta s}(s,t)=\bruch{1}{t}
[/mm]
sowie
[mm] \bruch{\delta v}{\delta t}(s,t)=\bruch{-s}{t^{2}}
[/mm]
Für s [mm] \in [/mm] [205m, 215m] und t [mm] \in [/mm] [10s, 11s] gilt dann
[mm] \left| \bruch{\delta v}{\delta s}(s,t) \right| \le \bruch{1}{10} \le [/mm] 0,1 =: [mm] M_{1}
[/mm]
[mm] \left| \bruch{\delta v}{\delta t}(s,t) \right| \le \bruch{215}{10^{2}} \le \bruch{43}{20} [/mm] =: [mm] M_{2}
[/mm]
Nach dem Fehlerschrankensatz gilt also für s [mm] \in [/mm] [205m, 215m] und t [mm] \in [/mm] [10s, 11s] mit [mm] s_{0}=210m, t_{0}=10,5s, v(s_{0}, t_{0})=20m/s [/mm] sowie [mm] \delta [/mm] s=5m, [mm] \delta [/mm] t=0,5s:
[mm] |v(s_{0}+\delta [/mm] s , [mm] t_{0}+\delta t)-v(s_{0}, t_{0})| \le M_{1} [/mm] * [mm] |\delta s|+M_{2}*|\delta [/mm] t| [mm] \le \bruch{1}{10}*5+\bruch{43}{20}*0,5=63/40
[/mm]
Mit dem Fehlerschrankensatz ist also [mm] [20m/s-\bruch{63}{40}, 20m/s+\bruch{63}{40}]=[18,425m/s, [/mm] 21,575m/s].
Umgerechnet in km/h ergibt das [66,33km/h, 77,67km/h]
Irgendwas kommt mir aber komisch vor. Hätte ich den Faktor 3,6 direkt mit einbeziehen sollen? Ist die Abschätzung von mir falsch?
Vielen Dank für den Support.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Do 04.12.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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