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| Aufgabe | Gegeben sei eine homogen geladene Kugel mit Radius R, Gesamtladung Q und Ladungs-
dichte [mm] p_0 [/mm] = const. > 0; [mm] \forall [/mm] r [mm] \le [/mm] R.
a. Das elektrische Feld E(x) soll im Inneren und im Ausenraum der Kugel berechnet
werden. Benutzen Sie dazu das Maxwell'sche Gesetz
div( E(x) [mm] )=\frac{p(x)}{4\pi\epsilon_0}
[/mm]
und den Satz von Gauß. Hinweis: Das Problem ist wie beim Beispiel der Vorlesung
radialsymmetrisch, d.h. E(x) = E(r). |
Hallo!
Ich verstehe schonmal das mit der maxwellschen Gleichung nicht. Sollte die nicht div(E)=p heißen, wobei bei die Ladungsdichte ist? Entspricht das in obiger Formel dem p(x)?
Ich würde dann das Volumenintegral über die Kugel von beiden Seiten nehmen und denn gaußschen Satz verwenden, sodass ich dann den Fluss über das Feld auf der einen Seite stehen habe. Dann würde ich [mm] \vec{E}=f(r)*\vec{x} [/mm] setzen und das Flächenelement im Flussintegral "richtig" hinschreiben und dann das Bereichsintegral lösen. So würde ich dann auf f(r) kommen. Stimmt die Vorgehensweise grundsätzlich? Wofür brauche ich dann aber die Gesamtladung Q?
Vielen Dank im Voraus!
Angelika
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Hallo!
> Gegeben sei eine homogen geladene Kugel mit Radius R,
> Gesamtladung Q und Ladungs-
> dichte [mm]p_0[/mm] = const. > 0; [mm]\forall[/mm] r [mm]\le[/mm] R.
> a. Das elektrische Feld E(x) soll im Inneren und im
> Ausenraum der Kugel berechnet
> werden. Benutzen Sie dazu das Maxwell'sche Gesetz
> div( E(x) [mm])=\frac{p(x)}{4\pi\epsilon_0}[/mm]
>
> und den Satz von Gauß. Hinweis: Das Problem ist wie beim
> Beispiel der Vorlesung
> radialsymmetrisch, d.h. E(x) = E(r).
> Hallo!
>
>
> Ich verstehe schonmal das mit der maxwellschen Gleichung
> nicht. Sollte die nicht div(E)=p heißen, wobei bei die
> Ladungsdichte ist? Entspricht das in obiger Formel dem
> p(x)?
Bevor man sich mit Problemstellungen der Elektrostatik beschäftigt, sollte man zunächst einmal gerade diese Frage beantworten:
In der Elektrostatik liegen die folgenden vereinfachten MAXWELLschen Gleichungen vor, die zur Herleitung der Potentialfunktion gebraucht werden:
1.) [mm] rot({\vec{E}})=0\gdw\integral_{\partial{A}}^{}{\vec{E}*d\vec{s}}=0
[/mm]
2.) [mm] div(\vec{D})=\rho\gdw\integral_{\partial{V}}^{}{\vec{D}}*d\vec{A}=\integral_{V}^{}{\rho dV}
[/mm]
mit der Materialbeziehung [mm] \vec{D}=\epsilon{\vec{E}}
[/mm]
Aus
[mm] rot({\vec{E}})=\vec{0}\gdw\vec{E}=-grad(\Phi) [/mm]
schließt man zunächst auf die Existenz eines Skalarpotentials. Durch Substitution der elektrischen Flussdichte durch die elektrische Feldstärke hat man
[mm] div(\epsilon\vec{E})=\rho
[/mm]
Durch die Gleichung
[mm] \rho=div(\epsilon\vec{E})=div(\epsilon(-grad(\Phi))) [/mm]
wird die elektrische Feldstärke durch das Skalarpotential ausgedrückt. Somit hat man die allgemeine Potentialgleichung der Elektrostatik wie folgt gegeben
(1) [mm] div(\epsilon({grad(\Phi)}))=-\rho
[/mm]
Für den Sonderfall eines homogenen Materials vereinfacht sich Gleichung (1) zu
[mm] div(\epsilon_{0}({grad(\Phi)}))=\epsilon_{0}(div({grad(\Phi})))+grad(\Phi)\underbrace{grad(\epsilon_{0})}_{=0}\Rightarrow\Delta\Phi=-\bruch{\rho}{\epsilon_{0}}, [/mm] mit [mm] \epsilon=\epsilon_{0}=const.
[/mm]
Jetzt kannst du ja noch einmal einen Versuch unternehmen.
Gruß, Marcel
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Danke für die verständliche Herleitung Marcel!
Aber ich habe ja immer noch erst [mm] div(\vec{E})=\frac{p_0}{\epsilon} [/mm] Soll das heißen in der gegebenen Gleichung ist [mm] p(x)=4\pip_0? [/mm] Sonst fehlt ja der Faktor [mm] 4\pi [/mm] im Nenner. Könntest du mir bitte noch sagen ob meine Vorgehensweise wie ich sie im ersten Beitrag geschildert habe stimmen würde und wozu man die Gesamtladung braucht? Ich kenne mich in Physik noch nicht gut aus, die Aufgabe stammt nämlich aus einem Modul der angewandten Mathematik. Also meine nicht ich wäre mir zu faul die Sachen anzuschauen...es geht mir wirklich nur darum die Aufgabe rechnen zu können, die physikalischen Hintergründe kann/will ich zurzeit noch nicht zur Gänze verstehen, nur soweit ich sie für die Rechnung brauche!
Gruß
Angelika
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Hallo!
> Danke für die verständliche Herleitung Marcel!
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> Aber ich habe ja immer noch erst
> [mm]div(\vec{E})=\frac{p_0}{\epsilon}[/mm] Soll das heißen in der
> gegebenen Gleichung ist [mm]p(x)=4\pip_0?[/mm] Sonst fehlt ja der
> Faktor [mm]4\pi[/mm] im Nenner.
Speziell für diese geometrische Anordnung gilt für das Kugelinnere:
[mm] \rho(r)=\bruch{3Q_{0}}{4\pi{R}_{0}^{3}}=:\rho_{0}, [/mm] mit [mm] r\le{R}_{0}
[/mm]
Für den ladungsfreien Raum gilt demnach:
[mm] \rho(r)=0, [/mm] mir [mm] r>R_{0}
[/mm]
> Könntest du mir bitte noch sagen ob
> meine Vorgehensweise wie ich sie im ersten Beitrag
> geschildert habe stimmen würde
Du müsstest das vielleicht mal unter Zuhilfenahme von Begründungen vorrechnen. Der einfachste Weg jedoch wäre sicherlich die Beschreibung des Problems in Kugelkoordinaten, da die geometrische Anordnung offensichtlich Kugelsymmetrie aufweist. Aufgrund der vorliegenden Rotationssymmetrie hat man
[mm] \bruch{\partial}{\partial\varphi}=0 [/mm] und [mm] \bruch{\partial}{\partial\theta}=0\Rightarrow\Phi(r,\theta,\varphi)=\Phi(r)
[/mm]
Dadurch erhält man für den ladungsfreien Raum die vereinfachte POISSONgleichung zu
(1) [mm] \Delta\Phi=\bruch{1}{r^{2}}\bruch{d}{dr}(r^{2}\bruch{d}{dr}\Phi)=0
[/mm]
> und wozu man die
> Gesamtladung braucht?
Die homogen verteilte Ladung hat natürlich einen Einfluss auf deine Potentialgleichung. Für das Kugelinnere verändert sich Gleichung (1) nämlich zu
[mm] \Delta\Phi=\bruch{1}{r^{2}}\bruch{d}{dr}(r^{2}\bruch{d}{dr}\Phi)=-\bruch{\rho_{0}}{\epsilon}
[/mm]
> Ich kenne mich in Physik noch nicht
> gut aus, die Aufgabe stammt nämlich aus einem Modul der
> angewandten Mathematik. Also meine nicht ich wäre mir zu
> faul die Sachen anzuschauen...es geht mir wirklich nur
> darum die Aufgabe rechnen zu können, die physikalischen
> Hintergründe kann/will ich zurzeit noch nicht zur Gänze
> verstehen, nur soweit ich sie für die Rechnung brauche!
>
> Gruß
>
> Angelika
Gruß, Marcel
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Hallo!
Ich habe das jetzt mal für das Innere durchgerechnet, glaube aber nicht, das es stimmt:
[mm] div(\vec{E(x)})=\frac{3Q}{4\pi\epsilon_0R^3}->
[/mm]
[mm]\integral_0^{2\pi}\integral_0^\pi\integral_0^R\frac{3Q}{4\pi\epsilon_0R^3}drdvdy=\frac{3\pi Q}{2\epsilon_0R^2}=\integral\integral_{\partial K} \vec{E}d\vec{o}=\integral_0^{2\pi}\integral_0^{\pi}f(r)\vec{x} R^2sin(v)\frac{\vec{x}}{r}dvdy=\integral_0^{2\pi}\integral_0^{\pi}f(r)R^2rsin(v)dvdy=4\pi R^2rf(r)[/mm]->
[mm] \vec{E}=\frac{3Q}{8\epsilon_0rR^4}\vec{x}
[/mm]
Wobei ich [mm] d\vec{o}=(k_v\times k_y)dvdy [/mm] und [mm] \vec{E}=f(r)\vec{x} [/mm] ersetzt habe(k kugelgleichung)
Gruß
Angelika
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Hallo!
> Hallo!
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> Ich habe das jetzt mal für das Innere durchgerechnet,
> glaube aber nicht, das es stimmt:
>
> [mm]div(\vec{E(x)})=\frac{3Q}{4\pi\epsilon_0R^3}->[/mm]
>
> [mm]\integral_0^{2\pi}\integral_0^\pi\integral_0^R\frac{3Q}{4\pi\epsilon_0R^3}drdvdy=\frac{3\pi Q}{2\epsilon_0R^2}=\integral\integral_{\partial K} \vec{E}d\vec{o}=\integral_0^{2\pi}\integral_0^{\pi}f(r)\vec{x} R^2sin(v)\frac{\vec{x}}{r}dvdy=\integral_0^{2\pi}\integral_0^{\pi}f(r)R^2rsin(v)dvdy=4\pi R^2rf(r)[/mm]->
>
> [mm]\vec{E}=\frac{3Q}{8\epsilon_0rR^4}\vec{x}[/mm]
Du kannst schon auf den ersten Blick erkennen, dass das Ergebnis nicht stimmen kann. Innerhalb der Kugel muss das E-Feld entsprechend den Daten aus der Aufgabenstellung mit steigendem Radius linear ansteigen, ehe es auf der Kugeloberfläche das Maximum erreicht.
> Wobei ich [mm]d\vec{o}=(k_v\times k_y)dvdy[/mm] und
> [mm]\vec{E}=f(r)\vec{x}[/mm] ersetzt habe(k kugelgleichung)
>
> Gruß
>
> Angelika
Gruß, Marcel
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Vielen Dank für den Hinweis!
Blöde Fehler...nun bin ich auf das richtige Feld gekommen!!
Gruß
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