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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:45 Mi 17.11.2004 | | Autor: | Nette |
Hi.
Sorry, ist etwas kurzfristig, aber vielleicht kann mir trotzdem jemand helfen.
Die Aufgabe lautet wie folgt:
Zeige, ist [mm] 2^{n} [/mm] eine Primzahl, so ist [mm] n=2^{m}.
[/mm]
Als Hinweis haben wir bekommen: Dass wir schreiben sollen: [mm] 2^{kl}+1= (2^{k})^{l}-(-1)^{l} [/mm] für l ungerade und wir sollen die geometrische Reihe verwenden.
Die lautet ja wie folgt: [mm] z^{n}-w^{n} [/mm] = (z-w) [mm] \summe_{k=0}^{n-1} z^{k}w^{n-1-k}
[/mm]
Dann kann man ja (von oben)
[mm] z=2^{k} [/mm] und w= -1 einsetzen, oder.
Das würde dann wie folgt aussehen:
[mm] (2{k})^{l}-(-1)^{l} [/mm] = [mm] (2^{k} [/mm] +1) [mm] \summe_{i=0}^{l-1} (2^{k})^{l} (-1)^{l-1-i}
[/mm]
Aber jetzt komm ich nicht mehr weiter.
Danke für eure Hilfe.
Noch ein Hinweis, den wir bekommen haben: Wir sollen die Kontraposition zeigen, also : Wenn kein m aus [mm] \IN_{0} [/mm] existiert, so dass n= [mm] 2^{m}, [/mm] dann ist [mm] 2^{n} [/mm] +1 keine Primzahl.
Gruß
Annette
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:23 Mi 17.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Annette!
> Sorry, ist etwas kurzfristig, aber vielleicht kann mir
> trotzdem jemand helfen.
> Die Aufgabe lautet wie folgt:
> Zeige, ist [mm]2^{n}[/mm] eine Primzahl, so ist [mm]n=2^{m}.[/mm]
Hier meinst du [mm] $2^n+1$, [/mm] nehme ich an.
> Als Hinweis haben wir bekommen: Dass wir schreiben sollen:
> [mm]2^{kl}+1= (2^{k})^{l}-(-1)^{l}[/mm] für l ungerade und wir
> sollen die geometrische Reihe verwenden.
> Die lautet ja wie folgt: [mm]z^{n}-w^{n}[/mm] = (z-w)
> [mm]\summe_{k=0}^{n-1} z^{k}w^{n-1-k}
[/mm]
>
> Dann kann man ja (von oben)
> [mm]z=2^{k}[/mm] und w= -1 einsetzen, oder.
> Das würde dann wie folgt aussehen:
> [mm](2{k})^{l}-(-1)^{l}[/mm] = [mm](2^{k}[/mm] +1) [mm]\summe_{i=0}^{l-1} (2^{k})^{l} (-1)^{l-1-i}[/mm]
Und hier müßte es
[mm](2^{\red{k}})^{l}-(-1)^{l}[/mm] = [mm](2^{k}[/mm] +1) [mm]\summe_{i=0}^{l-1} (2^{k})^{\red{i}} (-1)^{l-1-i}[/mm]
heissen.
> Aber jetzt komm ich nicht mehr weiter.
> Danke für eure Hilfe.
>
> Noch ein Hinweis, den wir bekommen haben: Wir sollen die
> Kontraposition zeigen, also : Wenn kein m aus [mm]\IN_{0}[/mm]
> existiert, so dass n= [mm]2^{m},[/mm] dann ist [mm]2^{n}[/mm] +1 keine
> Primzahl.
Meiner Meinung nach steht schon alles da, was du für den Beweis benötigst, du musst es nur noch richtig zusammensetzen.
Also, angenommen, es gibt keine natürliche Zahl m, so dass [mm] $n=2^m$.
[/mm]
Dann muss die Primfaktorzerlegung von n mindestens einen ungeraden Faktor enthalten, also n=k*l mit l ungerade und l>1.
Dann ist es aber --wie oben vorgemacht-- möglich, [mm] $2^n+1$ [/mm] vermöge der geometrischen Reihe als Produkt zweier Zahlen zu schreiben, was aber bedeutet, dass [mm] $2^n+1$ [/mm] keine Primzahl ist. Widerspruch.
Das einzige, was jetzt noch etwas besser begründet werden müßte, ist, warum die beiden Faktoren [mm] $(2^{k} [/mm] +1)$ und [mm] $\summe_{i=0}^{l-1} (2^{k})^{i} (-1)^{l-1-i}$ [/mm] nicht 1 sind, aber diese Begründung dürfte nicht schwierig sein.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:18 Fr 19.11.2004 | | Autor: | Nette |
Hi!
Ja ich hab mich da ein paarmal verschrieben.
Danke für die Antwort.
Gruß
Annette
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