Fermatscher Satz < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:53 Mi 14.04.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Christian,
> G endliche Gruppe, [mm]a\in[/mm] G. Dann gilt: [mm]a^{ord G}=e[/mm]
>
> ich möchte obere Aussage beweisen. Mir fehlt noch zu
> zeigen, dass
> [mm]a^{ord}=e.[/mm] Wie kann ich das am besten machen?
> Wäre toll, wenn mir jemand einen Beweis geben könnte.
>
> Würdet ihr das über die Beziehung: ord [mm]=min\{k\in\IN, a^k=e\}[/mm]
die reine Definition hilft dir nur begrenzt weiter; eigentlich nur im Zusammenhang mit Hilfsmitteln (wie den Satz von Lagrange, s.u.).
> beweisen? (Bzw falls ja, wie beweist man die Formel ?) oder
> kann man das auch schneller mit der Charakterisierung
> zyklischer Gruppen machen?
Kennst du schon den Satz von Lagrange? Damit folgt doch, dass die Ordnung von $a$ ein Teiler von $ord G$ ist. Damit hast du die Aussage sofort.
Ansonsten erzaehl mal, welche Resutate ihr schon hattet ;)
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:20 Mi 14.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> jap, also als Definition von ord a haben wir: ord a:=ord
> <a>=Mächtigkeit von <a>
> Daher müsste man ja die Aussage mit dem Minimum noch
> beweisen.
Ja, aber das ist einfach.
> Wie meinst du das mit dem Satz von Lagrange ?
Was meinst du?
> Damit hab ich geschlußfolgert:
> ord <a> | ord G
> also sei [mm]ord G= k*ord [/mm] mit [mm]k\in\IN[/mm]
> Dann:
> [mm]a^{ord G}=(a^{ord })^k.[/mm]
> Wenn man jetzt ja noch zeigt,
> dass [mm]a^{ord }=e[/mm] ist, wäre man fertig.
Genau.
> Aber wieso folgt das auch aus dem Satz von Lagrange? Oder
> hab ich das falsch verstanden?
Weil du ihn gerade verwendet hast im obigen Beweis?!
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:30 Mi 14.04.2010 | | Autor: | Fry |
Hi Secki,
aber wie zeig ich denn nun a^(ord <a>)=e ?
Gruß
Christian
|
|
|
| |
|
Hallo
> Hi Secki,
>
> aber wie zeig ich denn nun a^(ord <a>)=e ?
Das ist doch die Definition der Ordnung eines Gruppenelements.
|<a>| = [mm] min\{k \in \IN: a^{k} = e\}
[/mm]
Somit gilt für |<a>| = k: [mm] a^{k} [/mm] = [mm] a^{||} [/mm] = e
> Gruß
> Christian
Grüsse, Amaro
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:14 Mi 14.04.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo Christian,
> aber wie zeig ich denn nun a^(ord <a>)=e ?
ihr hattet doch die Charakterisierung zyklischer Gruppen. Du brauchst dir das ganze also nur fuer das (erzeugende) Element 1 aus der Gruppe [mm] $\IZ/n\IZ$ [/mm] ueberlegen, und da ist es sehr einfach.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:04 Fr 16.04.2010 | | Autor: | Fry |
.
|
|
|
|
