Festlegung der Nullhypothese < Statistik/Hypothesen < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:59 So 08.05.2011 | | Autor: | Matclou |
| Aufgabe | Beispiel:
Jemand vermutet, dass ein Würfel gefälscht ist und, dass die sechs mit einer geringeren Wahrscheinlichkeit fällt. Er vermutet also (und das steht auch in der Aufgabenstellung), dass die Wahrscheinlichkeit geringer als 1/6 ist. |
Die obige Aufgabenstellung ist nur ein (sinngemäß) wiedergegebenes Beispiel. Das eigentliche Problem ist: Gibt es etwas narrensicheres, um festzulegen, was die Nullhypothese ist, und was die Alternativhypothese ist?
Beispielsweise steht in den Lösungen zu der oben genannten Aufgabe, die Nullhypothese:
H0: [mm]p[/mm] [mm]\ge[/mm] [mm]\bruch{1}{6}[/mm]
Das würde ja bedeuten, dass ein linksseitiger Test gemacht wird.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Als Annahmebereich bei 5 % Signifikanzniveau habe ich da den Annahmebereich von [25;100].
Allerdings ist es aus meiner Sicht andersrum logischer: Denn die Person ist ja nicht die Angesteltle in einem Casino, sondern eine nicht näher bezeichnete Figur.
Sie hat die Vermutung, dass die sechs weniger häufig fällt. Da liegt ihr doch eher was daran, ihre Vermutung zu bestätigen, als sie zu widerlegen, oder? Und ein linksseitiger Test würde in dem Fall bedeuten, dass sie ihre Vermutung (also nicht die Nullhypothese sondern die Vermutung ,dass der Würfel gefälscht ist) ja sogar ablehnt, wenn faktisch die Wahrscheinlichkeit von 1/6 sogar weit unterboten wird.
Es geht mir nicht so sehr um die Aufgabe, sondern generell um eine Art Entscheidungsregel, nach der ich am Anfang eienr Hypothesentestaufgabe sicherer bestimmen kann, was die Nullhypothese ist, und was nicht.
Vielen Dank im Voraus!
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> Beispiel:
>
> Jemand vermutet, dass ein Würfel gefälscht ist und, dass
> die sechs mit einer geringeren Wahrscheinlichkeit fällt.
> Er vermutet also (und das steht auch in der
> Aufgabenstellung), dass die Wahrscheinlichkeit geringer als
> 1/6 ist.
> Die obige Aufgabenstellung ist nur ein (sinngemäß)
> wiedergegebenes Beispiel. Das eigentliche Problem ist: Gibt
> es etwas narrensicheres, um festzulegen, was die
> Nullhypothese ist, und was die Alternativhypothese ist?
Eigentlich steckt die Antwort schon im Aufgabentext drin,
nämlich im Ausdruck "gefälscht". Ein normaler, also nicht
gefälschter Würfel, hat für jede einzelne Augenzahl die
Wahrscheinlichkeit 1/6 .
Diese "reguläre" Wahrscheinlichkeit, also auch für die
Augenzahl 6 , ist uns bekannt. Bei einem Würfel, bei
dem erst vermutet wird, dass er "gezinkt" ist, kennen
wir seine Wahrscheinlichkeit für den Wurf einer Sechs
schlicht gar nicht. Um eine Rechnung anzustellen, die
Sinn macht, gehen wir also von der Nullhypothese aus,
dass der Würfel "normal" sei, also insbesondere [mm] P(6)=\frac{1}{6} [/mm] .
Eine anderweitige Vermutung wie etwa die, dass der
Würfel zu wenige Sechser bringt, also " [mm] P(6)<\frac{1}{6} [/mm] " ,
wird dann zu einer (allenfalls statistisch zu begründenden)
Alternativhypothese. Ist diese Vermutung einseitig,
so ist es sinnvoll, auch die Nullhypothese als Ungleichung
zu formulieren: " [mm] P(6)\ge\frac{1}{6} [/mm] " , damit wirklich
eine logische Alternative gegeben ist: "entweder klar
zu wenige Sechser oder keine derartige bestätigte
statistische Aussage". Für die Rechnung benützt man
dann trotzdem (um dem den Verdacht auf einen unfairen
Würfel möglichst weit entgegen zu kommen !) den
Wert P(6)=1/6 als Ausgangsbasis.
> Beispielsweise steht in den Lösungen zu der oben genannten
> Aufgabe, die Nullhypothese:
>
> H0: [mm]p[/mm] [mm]\ge[/mm] [mm]\bruch{1}{6}[/mm]
>
> Das würde ja bedeuten, dass ein linksseitiger Test gemacht
> wird.
>
> Als Annahmebereich bei 5 % Signifikanzniveau habe ich da
> den Annahmebereich von [25;100].
Du hast gar nichts über die Anzahl der Versuche gesagt;
offenbar hast du n=100 gemeint. Und was genau soll
der "Annahmebereich" bedeuten ?
> Allerdings ist es aus meiner Sicht andersrum logischer:
> Denn die Person ist ja nicht die Angesteltle in einem
> Casino, sondern eine nicht näher bezeichnete Figur.
> Sie hat die Vermutung, dass die sechs weniger häufig
> fällt. Da liegt ihr doch eher was daran, ihre Vermutung zu
> bestätigen, als sie zu widerlegen, oder?
Falls sie eine konkrete Vermutung hätte, zum Beispiel
P(6)=1/8 , so könnte sie diese zum Ausgangspunkt
einer Berechnung nehmen. Sie macht ja aber nur eine
negative Aussage, nämlich: "der Würfel ist nicht
normal, sondern bringt zu wenig Sechser". Also ist
der eigentliche Ausgangspunkt für die rechnerische
Behandlung doch der faire Würfel mit P(6)=1/6 .
> Und ein
> linksseitiger Test würde in dem Fall bedeuten, dass sie
> ihre Vermutung (also nicht die Nullhypothese sondern die
> Vermutung ,dass der Würfel gefälscht ist) ja sogar
> ablehnt, wenn faktisch die Wahrscheinlichkeit von 1/6 sogar
> weit unterboten wird.
>
> Es geht mir nicht so sehr um die Aufgabe, sondern generell
> um eine Art Entscheidungsregel, nach der ich am Anfang
> eienr Hypothesentestaufgabe sicherer bestimmen kann, was
> die Nullhypothese ist, und was nicht.
Nach meiner Ansicht: Die Nullhypothese steht für das
"normale" Ereignis in einer bestimmten Situation.
Da ein "normaler" Würfel symmetrisch sein soll, ist
also die Nullhypothese "P(6)=1/6" natürlich.
Die Wahl der Nullhypothese hängt aber in vielen
praktischen Fällen erheblich vom Vorwissen über
einen zu untersuchenden Vorgang ab. Es kann auch
einmal Sinn machen, die Rechnungen basierend auf
verschiedenen Nullhypothesen durchzuführen und
die Ergebnisse dann insgesamt zu beurteilen.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:15 So 08.05.2011 | | Autor: | Matclou |
Erst einmal danke für die Antwort ;)
Du stellst ja die Nullhypothese "[mm]$ P(6)=\frac{1}{6} $[/mm]" auf. In diesem Beispiel ist es jedoch so, dass der Probant vermutet, dass die herkömmliche Wahrscheinlichkeit von [mm]\frac{1}{6}[/mm] zu hoch angesetzt wird. Ich denke also schon, wie du auch gesagt hast, dass das quasi ein einseitiger Test ist.
Was mir allerdings auch jetzt noch nicht klar ist, ist warum man
[mm]$ P(6)<\frac{1}{6} $[/mm] als Alternativhypothese und
[mm]$ P(6)\ge\frac{1}{6} $[/mm] als Nullhypothese auswählt.
Die Sache ist nämlich die: Wenn ich gemäß dieser Nullhypothese einen Annahmebereich von [25;200] hätte, [...]
(Zwei Anmerkungen: 1. Ich hab mich bei n vertan, es hat nicht den Wert 100 sondern den Wert 200; 2. Unter Annahmebereich verstehe ich den Bereich, in dem der Prüfer seiner Hypothese zustimmen würde)
, dann würde das sachbezogen folgendes bedeuten:
Der Prüfer hat die Vermutung, dass die Wahrscheinlichkeit, eine sechs zu Würfeln, kleiner als 1/6 ist.
Er würfelt den Würfel 200 mal.
25 mal kommt die sechs. Er verwirft seine Vermutung wieder, obwohl die 25 ja kleiner ist als die bei einem normalen Würfel zu erwartende Anzahl der Sechsen (33 1/3).
Aber du hast mir schon sehr geholfen mit der Aussage, dass man von Fall zu Fall unterscheiden soll. Das bedeutet aus meienr Sicht auch, dass es nicht immer eine eindeutige Lösung gibt und vieles richtig ist, wenn man gut begründet. Oder?
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> Erst einmal danke für die Antwort ;)
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> Du stellst ja die Nullhypothese "[mm]$ P(6)=\frac{1}{6} $[/mm]" auf.
> In diesem Beispiel ist es jedoch so, dass der Probant
> vermutet, dass die herkömmliche Wahrscheinlichkeit von
> [mm]\frac{1}{6}[/mm] zu hoch angesetzt wird. Ich denke also schon,
> wie du auch gesagt hast, dass das quasi ein einseitiger
> Test ist.
Das ist ein einseitiger Test, weil ja auch die Vermutung,
um die es geht, einseitig ist. Wäre die Vermutung einfach:
"die Annahme, dass P(6)=1/6 sei, ist falsch" , dann wäre
ein zweiseitiger Test mit der Nullhypothese P(6)=1/6
angebracht.
> Was mir allerdings auch jetzt noch nicht klar ist, ist
> warum man
>
> [mm]$ P(6)<\frac{1}{6} $[/mm] als Alternativhypothese und
> [mm]$ P(6)\ge\frac{1}{6} $[/mm] als Nullhypothese auswählt.
>
> Die Sache ist nämlich die: Wenn ich gemäß dieser
> Nullhypothese einen Annahmebereich von [25;200] hätte,
> [...]
(du meinst jetzt offenbar "Bereich für die Annahme der Null-
hypothese")
> (Zwei Anmerkungen: 1. Ich hab mich bei n vertan, es hat
> nicht den Wert 100 sondern den Wert 200; 2. Unter
> Annahmebereich verstehe ich den Bereich, in dem der Prüfer
> seiner Hypothese zustimmen würde)
>
> , dann würde das sachbezogen folgendes bedeuten:
>
> Der Prüfer hat die Vermutung, dass die Wahrscheinlichkeit,
> eine sechs zu Würfeln, kleiner als 1/6 ist.
> Er würfelt den Würfel 200 mal.
> 25 mal kommt die sechs. Er verwirft seine Vermutung
> wieder, obwohl die 25 ja kleiner ist als die bei einem
> normalen Würfel zu erwartende Anzahl der Sechsen (33
> 1/3).
Das ist durchaus richtig. Diese Art Test geht eigentlich
nach dem Prinzip "in dubio pro reo" vor. Die Nullhypothese
ist quasi auf der Anklagebank. Erst wenn statistisch
ausreichende Gründe (im Sinne eines vorgegebenen
Signifikanzniveaus) vorliegen, wird die Nullhypothese
"verworfen" und die alternative Vermutung damit
gestärkt (allerdings nie im eigentlichen Sinn bewiesen !).
Im vorliegenden Fall (200 Würfe und nur 25 Sechser)
ist
P(höchstens 25 Sechser | [mm] H_0 [/mm] ) = binomcdf(200,1/6,25) [mm] \approx [/mm] 0.065 > 0.05
Darum ist diese zwar deutliche Abweichung nach unten
(ausgehend vom Erwartungswert [mm] 33\frac{1}{3} [/mm] ) noch nicht
"signifikant" beim angestrebten Signifikanzniveau von 5% .
Noch ein Sechser weniger würde das Resultat aber kippen,
denn
P(höchstens 24 Sechser | [mm] H_0 [/mm] ) = binomcdf(200,1/6,24) [mm] \approx [/mm] 0.043 < 0.05
> Aber du hast mir schon sehr geholfen mit der Aussage, dass
> man von Fall zu Fall unterscheiden soll. Das bedeutet aus
> meienr Sicht auch, dass es nicht immer eine eindeutige
> Lösung gibt und vieles richtig ist, wenn man gut
> begründet. Oder?
Deine letzte Aussage muss man aber jedenfalls sehr vor-
sichtig interpretieren, wenn man sich nicht dem Vorwurf
aussetzen will, dass ja wie der Volksmund so sagt,
mit Statistik "alles bewiesen werden könne" ...
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:57 So 08.05.2011 | | Autor: | Matclou |
Ich bedanke mich recht herzlich für die Hilfe! ;)
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