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| Aufgabe | Sei [mm] $F:=\{(a_{n})_{n\in\IN}\subset\IR|a_{n+2} = a_{n+1} + a_{n} \quad \forall n\in\IN\}$.
[/mm]
1.) Bestimmen Sie eine Basis von $F$.
2.) Finden Sie eine weitere Basis aus Folgen der Form [mm] $(r^{n})_{n\in\IN}\in [/mm] F$ für geeignete [mm] $r\in\IR$. [/mm] |
Hallo!
Bei der obigen Aufgabe wollte ich euch bitten, ein strenges Auge über meine Lösungen zu werfen:
1.) Offenbar unterscheiden sich die Elemente aus $F$ nur durch ihre ersten beiden Folgenglieder [mm] a_{1} [/mm] und [mm] a_{2}, [/mm] die aufgrund der Beschreibung von F noch nicht näher bestimmt sind.
Eine Basis ist deswegen zum Beispiel [mm] $((a_{n})_{n\in\IN}, (b_{n})_{n\in\IN})$ [/mm] mit [mm] $a_{1} [/mm] = 1$, [mm] $a_{2} [/mm] = 0$ und [mm] $b_{1} [/mm] = 0$, [mm] $b_{2} [/mm] = 1$.
- [mm] $((a_{n})_{n\in\IN}, (b_{n})_{n\in\IN})$ [/mm] ist linear unabhängig, denn seien [mm] $\lambda_{1}, \lambda_{2}\in\IR$ [/mm] mit [mm] $(0)_{n\in\IN} [/mm] = [mm] \lambda_{1}*(a_{n})_{n\in\IN}+\lambda_{2}*(b_{n})_{n\in\IN}$. [/mm] Dann folgt insbesondere (zwei Folgen sind gleich, wenn sie in jedem ihrer Glieder gleich sind):
$0 = [mm] \lambda_{1}*a_{1}+\lambda_{2}*b_{1} \Rightarrow [/mm] 0 = [mm] \lambda_{1}$,
[/mm]
$0 = [mm] \lambda_{1}*a_{2}+\lambda_{2}*b_{2} \Rightarrow [/mm] 0 = [mm] \lambda_{2}$,
[/mm]
d.h. [mm] $\lambda_{1} [/mm] = [mm] \lambda_{2} [/mm] = 0$.
- [mm] $((a_{n})_{n\in\IN}, (b_{n})_{n\in\IN})$ [/mm] ist ein Erzeugendensystem von $F$, denn sei [mm] $(c_{n})_{n\in\IN}\in [/mm] F$ beliebig gewählt. Zu zeigen: Es existieren [mm] $\lambda_{1}, \lambda_{2}\in\IR$ [/mm] mit [mm] $(c_{n})_{n\in\IN} [/mm] = [mm] \lambda_{1}*(a_{n})_{n\in\IN}+\lambda_{2}*(b_{n})_{n\in\IN}$. [/mm] Wähle [mm] $\lambda_{1} [/mm] = [mm] c_{1}$, $\lambda_{2} [/mm] = [mm] c_{2}$. [/mm] Dann ist
[mm] $(c_{n}')_{n\in\IN} [/mm] = [mm] \lambda_{1}*(a_{n})_{n\in\IN}+\lambda_{2}*(b_{n})_{n\in\IN} [/mm] = [mm] c_{1}*(a_{n})_{n\in\IN}+c_{2}*(b_{n})_{n\in\IN} [/mm] = [mm] (c_{1}*a_{n}+c_{2}*b_{n})_{n\in\IN}$ [/mm] eine Folge, für die gilt [mm] $c_{1}'= c_{1}$ [/mm] und [mm] $c_{2}'= c_{2}$. [/mm] Da [mm] $(c_{n}')_{n\in\IN}, (c_{n})_{n\in\IN} \in F$, [/mm] folgt damit die Gleichheit von [mm] $(c_{n}')_{n\in\IN}$ [/mm] und [mm] $(c_{n})_{n\in\IN}$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$.
[/mm]
D.h. für [mm] $(c_{n})_{n\in\IN}\in [/mm] F$ wähle [mm] $\lambda_{1} [/mm] = [mm] c_{1}, \lambda_{2} [/mm] = [mm] c_{2}$, [/mm] dann ist [mm] $(c_{n})_{n\in\IN} [/mm] = [mm] \lambda_{1}*(a_{n})_{n\in\IN}+\lambda_{2}*(b_{n})_{n\in\IN}$.
[/mm]
Ist das so okay für die erste Teilaufgabe?
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:31 Sa 12.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Ich wiederhole mich: wieder mal alles bestens !
FRED
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Hey,
danke Fred für deine Korrektur 
Ich habe mich nun mal an der 2. Aufgabe versucht. Also:
2.) Aus 1.) wissen wir schon, dass jede Basis von F die Länge 2 hat. Zu finden sind also [mm] $r,s\in\IR$, [/mm] sodass [mm] $((r^{n})_{n\in\IN}, (s^{n})_{n\in\IN})$ [/mm] linear unabhängig und Erzeugendensystem von F.
Bestimmung von r und s:
Es muss ja [mm] $(r^{n})_{n\in\IN}\in [/mm] F$ sein. Das bedeutet aber, dass
[mm] $r^{n+2} [/mm] = [mm] r^{n+1} [/mm] + [mm] r^{n}$
[/mm]
für beliebiges [mm] n\in\IN [/mm] gelten muss.
[mm] $\Rightarrow r^{n}*(r^{2}-r-1) [/mm] = 0$. D.h., entweder gilt $r = 0$ oder [mm] $r^{2}-r-1 [/mm] = 0$. $r = 0$ würde aber sofort zu [mm] $(r^{n})_{n\in\IN} [/mm] = [mm] (0)_{n\in\IN}$, [/mm] dann könnte aber [mm] $((r^{n})_{n\in\IN}, (s^{n})_{n\in\IN})$ [/mm] keine Basis mehr sein, weil sie den Nullvektor enthalten würde. Folglich muss [mm] $r^{2}-r-1 [/mm] = 0$ gelten. Daraus folgt
[mm] $r_{1/2} [/mm] = [mm] \frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$.
[/mm]
Durch analoge Überlegungen erhalte ich
[mm] $s_{1/2} [/mm] = [mm] \frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$.
[/mm]
Es kann nicht $r = s$ sein, weil dann [mm] $((r^{n})_{n\in\IN}, (s^{n})_{n\in\IN})$ [/mm] aus zwei gleichen Vektoren bestehen würde, es könnte keine Basis sein. Wähle deswegen
$r = [mm] \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ [/mm] und $s = [mm] \frac{1-\sqrt{5}}{2}$.
[/mm]
Im Folgenden zeigen ich, dass es sich bei [mm] $((r^{n})_{n\in\IN}, (s^{n})_{n\in\IN})$ [/mm] mit obigen r,s um eine Basis von F handelt:
Linear unabhängig:
Seien [mm] $\lambda_{1},\lambda_{2}\in\IR$ [/mm] mit
[mm] $(0)_{n\in\IN} [/mm] = [mm] \lambda_{1}*(r^{n})_{n\in\IN} [/mm] + [mm] \lambda_{2}*(s^{n})_{n\in\IN}$.
[/mm]
Angenommen, es wäre [mm] $\lambda_{1}\not= [/mm] 0$, würde folgen:
[mm] $-\frac{\lambda_{2}}{\lambda_{1}} [/mm] = [mm] \left(\frac{r}{s}\right)^{n}$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$.
[/mm]
Da aber [mm] $\frac{r}{s}\not= [/mm] 1$ wegen [mm] $r\not= [/mm] s$, ist sicher [mm] $\left(\frac{r}{s}\right)^{n}$ [/mm] nicht konstant, was aber oben behauptet wird. Also ist [mm] $\lambda_{1} [/mm] = 0$. Analog erhält man [mm] $\lambda_{2} [/mm] = 0$.
Basis:
Da ich nun gezeigt habe, dass [mm] $((r^{n})_{n\in\IN}, (s^{n})_{n\in\IN})$ [/mm] linear unabhängig ist und die Länge 2 hat, folgt daraus ja direkt, dass es eine Basis sein muss.
Stimmt das so weit?
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:09 So 13.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Ich wiederhole mich schon wieder: wieder mal alles bestens !
FRED
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Hallo Fred,
dann vielen Dank, dass du dir die Zeit genommen hast, das durchzulesen
Grüße,
Stefan
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