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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:17 Di 18.11.2008 | | Autor: | Robert- |
| Aufgabe | Fibonacci-Zahlen
Beweisen sie folgende Aussagen:
a) [mm] F_{n+1} [/mm] * [mm] F_{n-1} [/mm] - [mm] F^{2}_{n} [/mm] = [mm] (-1)^{n} [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 1
b) [mm] F_{n+k} [/mm] = [mm] F_{k} [/mm] * [mm] F_{n+1} [/mm] + [mm] F_{k-1} [/mm] * [mm] F_{n} [/mm] für k [mm] \ge [/mm] 1, n [mm] \ge [/mm] 0
c) [mm] F_{k*n} [/mm] ist ein Vielfaches von [mm] F_{n} [/mm] für k [mm] \ge [/mm] 1
Zur Verfügung stehende Formeln:
[mm] F_{n+1} [/mm] = [mm] F_{n} [/mm] + [mm] F_{n-1} [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 1
[mm] F_{0} [/mm] = 0
[mm] F_{1} [/mm] = 1 |
Hallo!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Diese Aufgaben muss ich lösen. Ich komme bisher allerdings auf keinen grünen Zweig. In unserer Übungsgruppe haben wir die oben angegebenen "zur Verfügung stehenden Formeln" erarbeitet. Zusätzlich dazu haben wir noch eine Formel für [mm] F_{n} [/mm] aus der Vorlesung:
[mm] F_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel5} [/mm] * [mm] ((\bruch{1+\wurzel5}{2})^{n} [/mm] - [mm] (\bruch{1-\wurzel5}{2})^{n})
[/mm]
Bei Aufgabe a) habe ich diese Formel für [mm] F_{n} [/mm] und analog für [mm] F_{n+1} [/mm] und [mm] F_{n-1} [/mm] benutzt. Dann hab ich nachher einen riesen großen Term, der mich vor ein paar Rätsel stellt. Zumindest mit meinem/unserem jetztigem Wissen lässt sich dieser Term nicht wirklich lösen, zumindest nicht so, dass nachher [mm] (-1)^{n} [/mm] herauskommt.
Mein zweiter Ansatz war, dass ich es durch Umformungen von [mm] F_{n+1} [/mm] = [mm] F_{n} [/mm] + [mm] F_{n-1} [/mm] versuche. Dann komme ich allerdings zwangsläufig zu Rechnungen wie [mm] F_{n} [/mm] * [mm] F_{n-1} [/mm] und dies stellt mich auch vor ein Hindernis.
Nun bin ich etwas verwirrt. Diese Aufgabe scheint auf den ersten Blick nicht allzu schwer zu sein. Habe ich nun ein Brett vor dem Kopf oder gehe ich die Sache völlig falsch an? Ich bin um jeden Tipp, jede Idee, jede Lösung dankbar.
Gruss
Roberto
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> Fibonacci-Zahlen
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> Beweisen sie folgende Aussagen:
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> a) [mm]F_{n+1}[/mm] * [mm]F_{n-1}[/mm] - [mm]F^{2}_{n}[/mm] = [mm](-1)^{n}[/mm] für n [mm]\ge[/mm] 1
> Zur Verfügung stehende Formeln:
>
> [mm]F_{n+1}[/mm] = [mm]F_{n}[/mm] + [mm]F_{n-1}[/mm] für n [mm]\ge[/mm] 1
> [mm]F_{0}[/mm] = 0
> [mm]F_{1}[/mm] = 1
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Hast Du es denn schonmal mit vollständiger Induktion versucht? das bietet sich bei rekursiv definierten Folgen oftmals an.
Induktionsanfang n=1: stimmt. (Überzeuge Dich davon)
Induktionsannahme: es gilt [mm]F_{n+1}[/mm] * [mm]F_{n-1}[/mm] - [mm]F^{2}_{n}[/mm] = [mm](-1)^{n}[/mm] für ein n.
Induktionsschluß [mm] n\to [/mm] n+1:
Unter dieser Annahme ist zu zeigen: [mm]F_{n+2}[/mm] * [mm]F_{n}[/mm] - [mm]F^{2}_{n+1}[/mm] = [mm](-1)^{n+1}[/mm]
Beweis:
[mm]F_{n+2}[/mm] * [mm]F_{n}[/mm] - [mm]F^{2}_{n+1}[/mm]
[mm] =(F_{n+1}+F_n)F_n-[/mm] [mm]F^{2}_{n+1}[/mm]
[mm] =F_{n+1}F_n [/mm] + [mm] F_n^2 [/mm] - [mm] F^{2}_{n+1}
[/mm]
= .... (Jetzt verwende für [mm] F_n^2 [/mm] die Induktionsannahme. Dann weiterrechnen.)
Vielleicht kommst Du anschließend allein mit den anderen Teilaufgaben zurecht.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:53 Di 18.11.2008 | | Autor: | Robert- |
Hey Angela,
schonmal vielen Dank für deine Hilfe. Hatte jetzt gerade Zeit mir deinen Tipp anzuschauen und habe dann folgendes probiert:
[mm] F_{n+1} [/mm] * [mm] F_{n-1} [/mm] - [mm] F^{2}_{n} [/mm] = [mm] (-1)^{n}
[/mm]
umgeformt in: [mm] F^{2}_{n} [/mm] = - [mm] (-1)^{n} [/mm] + [mm] (F_{n+1} [/mm] * [mm] F_{n-1})
[/mm]
dies dann wie du es geschrieben hast eingesetzt:
[mm] (F_{n+1} [/mm] * [mm] F_{n}) [/mm] - [mm] (-1)^{n} [/mm] + [mm] (F_{n+1} [/mm] * [mm] F_{n-1}) [/mm] - [mm] F^{2}_{n+1} [/mm] = [mm] (-1)^{n+1}
[/mm]
dann habe ich [mm] F_{n+1} [/mm] ausgeklammert:
[mm] F_{n+1} [/mm] * [mm] (F_{n} [/mm] + [mm] F_{n-1} [/mm] - [mm] F_{n+1}) [/mm] - [mm] (-1)^{n} [/mm] = [mm] (-1)^{n+1}
[/mm]
Ist das soweit richtig?
Ist dann der nächste Schritt möglich bzw sinnvoll?
Ich benutze die Formel [mm] F_{n+1} [/mm] = [mm] F_{n} [/mm] + [mm] F_{n-1} [/mm] und setze sie in die entstandene Klammer ein. Aufgrund des Minus-Zeichens vor der Klammer ändert sich dann das + in ein - und somit wird die Klammer 0. Damit würde die Multiplikation wegfallen und übrig wäre nurnoch:
- [mm] (-1)^{n} [/mm] = [mm] (-1)^{n+1}
[/mm]
Das sieht schon fast nach einer Lösung aus.. aber leider nur fast. Hast du noch einen Tipp für mich? 
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> Hey Angela,
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> schonmal vielen Dank für deine Hilfe. Hatte jetzt gerade
> Zeit mir deinen Tipp anzuschauen und habe dann folgendes
> probiert:
>
> [mm]F_{n+1}[/mm] * [mm]F_{n-1}[/mm] - [mm]F^{2}_{n}[/mm] = [mm](-1)^{n}[/mm]
>
> umgeformt in: [mm]F^{2}_{n}[/mm] = - [mm](-1)^{n}[/mm] + [mm](F_{n+1}[/mm] * [mm]F_{n-1})[/mm]
>
> dies dann wie du es geschrieben hast eingesetzt:
> [mm](F_{n+1}[/mm] * [mm]F_{n})[/mm] - [mm](-1)^{n}[/mm] + [mm](F_{n+1}[/mm] * [mm]F_{n-1})[/mm] -
> [mm]F^{2}_{n+1}[/mm] = [mm] \red{(-1)^{n+1}}
[/mm]
Hallo, und Achtung!
Das Rote darfst Du nicht schreiben, das willst Du ja erst ausrechnen.
>
> dann habe ich [mm]F_{n+1}[/mm] ausgeklammert:
> [mm]F_{n+1}[/mm] * [mm] (\underbrace{F_{n}+ F_{n-1}}_{=F_{n+1}}-[/mm] [mm]F_{n+1})[/mm] - [mm](-1)^{n}[/mm] =
> [mm](-1)^{n+1}[/mm]
>
> Ist das soweit richtig?
Ja.
>
> Ist dann der nächste Schritt möglich bzw sinnvoll?
>
> Ich benutze die Formel [mm]F_{n+1}[/mm] = [mm]F_{n}[/mm] + [mm]F_{n-1}[/mm] und setze
> sie in die entstandene Klammer ein. Aufgrund des
> Minus-Zeichens vor der Klammer ändert sich dann das + in
> ein - und somit wird die Klammer 0.
Genau.
Dann hast Du
[mm] ...=-(-1)^n [/mm] = [mm] (-1)*(-1)^n= (-1)^{n+1}.
[/mm]
Ist doch super gelaufen!
Gruß v. Angela
Damit würde die
> Multiplikation wegfallen und übrig wäre nurnoch:
> - [mm](-1)^{n}[/mm] = [mm](-1)^{n+1}[/mm]
>
> Das sieht schon fast nach einer Lösung aus.. aber leider
> nur fast. Hast du noch einen Tipp für mich?
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