Fibonacci-Zahlen vollst. Induk < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:14 Sa 06.11.2010 | | Autor: | Pia90 |
Hallo zusammen,
ich habe folgende Aufgabe, bei der ich wieder einmal nicht weiterkomme.
Und zwar soll ich mit vollständiger Induktion beweisen, dass [mm] a_n \le (\bruch{1 + \wurzel{5}}{2})^{n-1} [/mm] gilt.
Ich habe nun wie folgt angefangen:
(IA) Für n=2 gilt die Behauptung, denn [mm] a_2 \le (\bruch{1 + \wurzel{5}}{2})^{2-1} \gdw [/mm] 1 [mm] \le \bruch{1 + \wurzel{5}}{2}
[/mm]
(IV) Es gelte die Behauptung für ein n [mm] \in \IN [/mm] , n [mm] \ge [/mm] 2.
(IS) n [mm] \to [/mm] n+1
z.z. [mm] a_{n+1} \le (\bruch{1 + \wurzel{5}}{2})^{n}
[/mm]
[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] a_n [/mm] + [mm] a_{n-1} \le [/mm] (IV) [mm] (\bruch{1 + \wurzel{5}}{2})^{n-1} [/mm] + [mm] a_{n-1}
[/mm]
Hier komme ich nun aber irgendwie nicht weiter, weil ich keine Idee habe, wie ich weiter umformen könnte...
Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich weiter vorgehen kann?
Danke schonmal im Voraus!
LG Pia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:21 Sa 06.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Pia!
Mit [mm]a_n[/mm] scheinen also die Fibonacci-Zahlen gemeint zu sein.
Zu Deinem Induktionsschritt: Du kannst auch [mm]a_{n-1}[/mm] abschätzen mit [mm]< \ \left(\bruch{1+\wurzel{5}}{2}\right)^{n-2}[/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:26 Sa 06.11.2010 | | Autor: | Pia90 |
Genau, mit [mm] a_n [/mm] sind die Fibonacci-Zahlen gemeint... Sorry, ich sehe, ich habe dieses Detail nicht direkt erwähnt :)
Wenn ich allerdings [mm] a_{n-1} [/mm] < [mm] (\bruch{1 + \wurzel{5}}{2})^{n-2} [/mm] benutze, muss ich das dann nicht auch per Induktion beweisen? Das wäre ja im Grunde der Fall für n [mm] \to [/mm] n-1
LG Pia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:29 Sa 06.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Pia!
Durch die Induktionsvoraussetzung nimmst Du die Richtigkeit der Behauptung für $n_$ einschließlich aller kleineren Werte bis zum Induktionsanfang an.
Damit gibt es den Schritt [mm] $n\rightarrow [/mm] n-1$ nicht.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 Sa 06.11.2010 | | Autor: | Pia90 |
Das bedeutet dann also im Grunde, dass ich das ohne Beweis für meinen Induktionsschluss benutzen kann, oder?
dann hätte ich ja
[mm] (\bruch{1 + \wurzel{5}}{2})^{n-1} [/mm] + [mm] a_{n-1} [/mm] = [mm] \bruch{(\bruch{1 + \wurzel{5}}{2})^{n}}{(\bruch{1 + \wurzel{5}}{2})} [/mm] + [mm] \underbrace{a_{n-1}}_{\le (\bruch{1 + \wurzel{5}}{2})^{n-2}} \le (\bruch{1 + \wurzel{5}}{2})^{n}
[/mm]
Wäre das so korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:45 Sa 06.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Pia!
Vor dem letzten Ungleichheitszeichen gehören aber noch einige Zwischenschritte / Umformungen hin.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:47 Sa 06.11.2010 | | Autor: | Pia90 |
Ok, ich muss zugeben, die Umformungen sind schwieriger als erwartet...
Also meine bisherige Überlegung...
( [mm] \bruch{1 + \wurzel{5}}{2})^n [/mm] / ( [mm] \bruch{1 + \wurzel{5}}{2}) [/mm] + [mm] a_{n-1}
[/mm]
= [mm] \bruch{( \bruch{1 + \wurzel{5}}{2})^{n} + ( \bruch{1 + \wurzel{5}}{2})^{n-1}}{( \bruch{1 + \wurzel{5}}{2})} [/mm] = [mm] \underbrace{\bruch{2}{1+\wurzel{5}}}_{<1} \*(( \bruch{1 + \wurzel{5}}{2})^n [/mm] + ( [mm] \bruch{1 + \wurzel{5}}{2})^{n-1})
[/mm]
da fehlen aber nun immer noch umformungen bis zum schritt [mm] \le [/mm] ( [mm] \bruch{1 + \wurzel{5}}{2})^n [/mm] ... irgendwie muss ich noch ( [mm] \bruch{1 + \wurzel{5}}{2})^{n-1} [/mm] wegbekommen, oder? aber leider hab ich keine Idee wie.. weil das ja in der Summe steht...
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Hallo,
ich schreib aus Bequemlichkeit mal [mm] \phi:=\bruch{1+\wurzel{5}}{2}.
[/mm]
Im Induktionsschluß möchtest Du zeigen [mm] a_{n+1}\le\phi^n.
[/mm]
Es ist [mm] a_{n+1}=a_n+a_{n-1}\le \phi^{n-1} [/mm] + [mm] \phi^{n-2}= \phi^{n-2}*(\phi [/mm] + 1)
Nun wünschst Du Dir ja fürs richtige Ergebnis, daß [mm] \phi+1=\phi^2 [/mm] ist,
und ob dies tatsächlich zutrifft, solltest Du mal nachrechnen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:10 So 07.11.2010 | | Autor: | Pia90 |
Vielen, vielen Dank!
Auf den Schritt [mm] \phi^{n-2}= \phi^{n-2}\cdot{}(\phi [/mm] + 1) bin ich leider nicht gekommen, aber wenn ich den jetzt so sehe, ist das alles sehr viel logischer für mich :)
LG Pia
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:36 So 14.11.2010 | | Autor: | Sprudel |
Wieso wird denn hier n->n-1 und nicht n->n+1 als induktionsanfang verwendet.
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Hallo,
weil es keinen unterschied macht. das ist lediglich eine umindexierung. schreibe n-1=m und n=m+1 dann hast du [mm] P(m)\Rightarrow [/mm] P(m+1) .
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:56 So 14.11.2010 | | Autor: | Sprudel |
Danke schönnnn.....
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> Hallo,
>
> weil es keinen unterschied macht. das ist lediglich eine
> umindexierung. schreibe n-1=m und n=m+1 dann hast du
> [mm]P(m)\Rightarrow[/mm] P(m+1) .
>
> LG
Hallo,
Du antwortest hier aber auf eine Frage, die Sprudel nicht gestellt hat:
auf die Frage nach dem Schluß von n-1 auf n.
Gruß v. Angela
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> Wieso wird denn hier n->n-1 und nicht n->n+1 als
> induktionsanfang verwendet.
Hallo,
kannst Du etwas genauer sagen, worauf Du Dich beziehst?
Der Induktionsanfang ist weder [mm] n\to [/mm] n+1, noch [mm] n\to [/mm] n-1, sindern im Induktionsanfang wir die Aussage für ein ganz konkretes n gezeigt, etwa für n=1.
Aber auch im Induktionsschluß wird man nie von n auf n-1 schließen, sondern von n auf n+1 oder auch von n-1 auf n.
Gruß v. Angela
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