Fibonacci- Partialbruchzerl. < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:00 Mo 24.12.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Erzeugte Funktion F(z)= [mm] \sum_{n=0}^\infty F_n z^n [/mm] der Fibonacci Zahlen
[mm] F_0=F_1=1
[/mm]
wir haben hergeleitet in der vo:
F(z)= [mm] \frac{1}{1-z-z^2}
[/mm]
Nun wurde die Partialbruchzerlegung gemacht:
F(z)= [mm] \frac{1}{\beta - \alpha} (\frac{\beta}{1-\beta z} [/mm] - [mm] \frac{\alpha}{1-\alpha z})
[/mm]
wobei [mm] \alpha= \frac{1- \sqrt{5}}{2}, \beta= \frac{1+ \sqrt{5}}{2} [/mm] die lösungen der quadratischen Glg [mm] 0=1-z-z^2 [/mm] sind |
Meine Frage: Ich komme leider nicht auf die Partialbruchzerlegung:
F(z)= [mm] \frac{1}{\beta - \alpha} (\frac{\beta}{1-\beta z} [/mm] - [mm] \frac{\alpha}{1-\alpha z})
[/mm]
Ich habe versucht:
[mm] \frac{1}{1-z-z^2}= \frac{A}{1- \beta z} [/mm] - [mm] \frac{B}{1- \alpha z}
[/mm]
<=>
1 - [mm] \alpha [/mm] z - [mm] \beta [/mm] z + [mm] \beta \alpha z^2 [/mm] = (A- A [mm] \alpha [/mm] z) *( 1 - z - [mm] z^2) [/mm] - (B- B [mm] \beta [/mm] z) * (1- z [mm] -z^2)
[/mm]
<=>
1 + (- [mm] \alpha [/mm] - [mm] \beta [/mm] ) z + [mm] \beta \alpha z^2 [/mm] = A - B + z * (-A - [mm] \alpha [/mm] A + B + B [mm] \beta) [/mm] + [mm] z^2 [/mm] (-A + A [mm] \alpha+ [/mm] B - B [mm] \beta) [/mm] + [mm] z^3 [/mm] (A [mm] \alpha [/mm] - B [mm] \beta)
[/mm]
Bei einen Koeffizientenvergleich sind ja nun 3 Geichungen für 2 unbekannte. Ich komme aber nicht auf die Lösung vom Skriptum....
LG, Frohes Fest
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:44 Mo 24.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sissile,
rote Teile können ignoriert werden - das Missverständnis beruht
einfach darauf, dass bei Wiki die Fibonaccifolge mit dem Wert [mm] $0\,$
[/mm]
anfängt, in dem von Sissile verlinkten Skript aber mit [mm] $1\,$!!
[/mm]
> Erzeugte Funktion F(z)= [mm]\sum_{n=0}^\infty F_n z^n[/mm] der
> Fibonacci Zahlen
> [mm]F_0=F_1=1[/mm]
> wir haben hergeleitet in der vo:
> F(z)= [mm]\frac{1}{1-z-z^2}[/mm]
> Nun wurde die Partialbruchzerlegung gemacht:
> F(z)= [mm]\frac{1}{\beta - \alpha} (\frac{\beta}{1-\beta z}[/mm] -
> [mm]\frac{\alpha}{1-\alpha z})[/mm]
> wobei [mm]\alpha= \frac{1- \sqrt{5}}{2}, \beta= \frac{1+ \sqrt{5}}{2}[/mm]
> die lösungen der quadratischen Glg [mm]0=1-z-z^2[/mm] sind
> Meine Frage: Ich komme leider nicht auf die
> Partialbruchzerlegung:
> F(z)= [mm]\frac{1}{\beta - \alpha} (\frac{\beta}{1-\beta z}[/mm] -
> [mm]\frac{\alpha}{1-\alpha z})[/mm]
>
>
> Ich habe versucht:
> [mm]\frac{1}{1-z-z^2}= \frac{A}{1- \beta z}[/mm] - [mm]\frac{B}{1- \alpha z}[/mm]
>
> <=>
> 1 - [mm]\alpha[/mm] z - [mm]\beta[/mm] z + [mm]\beta \alpha z^2[/mm] = (A- A [mm]\alpha[/mm]
> z) *( 1 - z - [mm]z^2)[/mm] - (B- B [mm]\beta[/mm] z) * (1- z [mm]-z^2)[/mm]
> <=>
> 1 + (- [mm]\alpha[/mm] - [mm]\beta[/mm] ) z + [mm]\beta \alpha z^2[/mm] = A - B + z *
> (-A - [mm]\alpha[/mm] A + B + B [mm]\beta)[/mm] + [mm]z^2[/mm] (-A + A [mm]\alpha+[/mm] B - B
> [mm]\beta)[/mm] + [mm]z^3[/mm] (A [mm]\alpha[/mm] - B [mm]\beta)[/mm]
>
> Bei einen Koeffizientenvergleich sind ja nun 3 Geichungen
> für 2 unbekannte. Ich komme aber nicht auf die Lösung vom
> Skriptum....
> LG, Frohes Fest
ich hab' nun nichts nachgerechnet, aber machen wir's mal allgemein:
Sei
[mm] $$f(x)=\frac{1}{(x-x_1)*(x-x_2)}\,.$$
[/mm]
(Achtung: Unten habe ich eine Anmerkung (rot) gemacht - diese Rechnung
hier passt eigentlich nicht. Aber meine Überlegungen resultieren daraus,
dass Sissile eine falsche erzeugende Funktion angegeben hat (bzw. in der
Vorlesung wurde evtl. eine falsche angegeben). Ich lasse das ganze nun
aber doch so stehen, weil es nur eine kleine Aufgabe ist, die Überlegungen
analog bzgl. der "richtigen erzeugenden Funktion" durchzuführen:
Man hat dann
[mm] $$f(x)=\frac{\red{x}}{(x-x_1)*(x-x_2)}$$ [/mm]
zu betrachten!)
Dann gilt doch (für alle [mm] $x\not=x_1$ [/mm] und $x [mm] \not=x_2$)
[/mm]
[mm] $$\frac{1}{(x-x_1)*(x-x_2)}=\frac{A}{x-x_1}+\frac{B}{x-x_2}\,.$$
[/mm]
Also (für alle [mm] $x\,$ [/mm] wie oben)
[mm] $$\ldots \iff (A+B)*x-B*x_1-A*x_2=1\,.$$
[/mm]
In Deinem Fall wissen wir schon, dass [mm] $x_1,x_2 \not=0\,,$ [/mm] und in diesem
Fall folgt
[mm] $$\iff [/mm] A+B=0 [mm] \text{ und } -Bx_1-Ax_2=1\,,$$
[/mm]
also
[mm] $$\iff A=-B=\frac{1+Ax_2}{x_1}\,.$$
[/mm]
Insgesamt also wegen [mm] $x_1 \not=x_2$
[/mm]
[mm] $$A=\frac{1}{x_1-x_2}=-B\,.$$
[/mm]
Damit
[mm] $$f(x)=\frac{1}{(x-x_1)(x-x_2)}=\frac{1}{x_1-x_2}*\frac{1}{x-x_1}\;-\;\frac{1}{x_1-x_2}*\frac{1}{x-x_2}\,.$$
[/mm]
Das kannst Du natürlich auch schreiben als
[mm] $$f(x)=\frac{1}{x_2-x_1}*\frac{1}{x_1-x}\;-\;\frac{1}{x_2-x_1}*\frac{1}{x_2-x}=\frac{1}{x_2-x_1}*\left(\frac{1}{x_1-x}-\frac{1}{x_2-x}\right)=\frac{1}{x_2-x_1}*\left(\frac{1}{x_1-x}-\frac{1}{x_2-x}\right)$$
[/mm]
(wobei man sich das auch schneller als mit Partialbruchzerlegung hätte
herleiten können - aber nun gut...)
Daher
[mm] $$f(x)=\frac{1}{x_2-x_1}*\left(\frac{x_2}{x_1x_2-x_2x}-\frac{x_1}{x_1x_2-x_1x}\right)\,.$$
[/mm]
Und hier hör' ich jetzt mal gerade auf. Wir werden so nämlich nicht
zum gewünschten Ziel kommen. Denn Du hast oben einen Fehler, vgl.
![[]](/images/popup.gif) mit Wiki, erzeugende Funktion Fibonacci-Zahlen (klick!)
Es ist
[mm] $$f(z)=\frac{\mathbf{\red{z}}}{1-z-z^2}$$
[/mm]
die erzeugende Funktion, für welche Du eine Partialbruchzerlegung
machen sollst. Daher: Versuch' nun das ganze, was ich oben mit der von
Dir falsch angegebenen Funktion [mm] $f=f(z)\,$ [/mm] gerechnet habe, auf diese
richtige Funktion anzuwenden - also analog bzw. neu durchzurechnen.
Da vielleicht eh auch einfach Dein Problem daraus resultierte, dass Du
anstatt [mm] $f(z)=z/\ldots$ [/mm] oben [mm] $f(z)=1/\ldots$ [/mm] betrachtet hast, halte ich
das nun eh für das sinnvollste, dass Du das selbst nochmal rechnest und
schaust, ob sich damit Deine Probleme dann beheben lassen!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:54 Mo 24.12.2012 | | Autor: | sissile |
Nur kurze Anmerkung.
Ich verstehe nicht ganz was falsch sein soll, vlt reden wir auch aneinander vorbei oder du verstehst mich falsch.
Skriptum:http://www.mat.univie.ac.at/~mfulmek/documents/ws10/skriptum.pdf
S.47 unten interne Zählung, herleitung von erzegenden Funktion.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:20 Mo 24.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sissile,
> Nur kurze Anmerkung.
> Ich verstehe nicht ganz was falsch sein soll, vlt reden
> wir auch aneinander vorbei oder du verstehst mich falsch.
>
> Skriptum:http://www.mat.univie.ac.at/~mfulmek/documents/ws10/skriptum.pdf
> S.47 unten interne Zählung, herleitung von erzegenden
> Funktion.
die - im Skript - angegebene Funktion ist falsch. Es ist NICHT
[mm] $$F(z)=\frac{1}{1-z-z^2}\,,$$
[/mm]
sondern
[mm] $$F(z)=\frac{\red{z}}{1-z-z^2}\,.$$
[/mm]
(Siehe Wiki-Link (klick!))
Je nach Schrift kann der-/diejenige, der/die das Skript abtippt, vermutlich
mal nicht alles genau lesen und hat da eine [mm] $1\,$ [/mm] anstatt eines [mm] $z\,$
[/mm]
abgetippt - auch bzw. gerade ein Skript ist nicht immer vor Fehlern sicher,
auch nicht vor Abtipp- bzw. Abschreibefehlern!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 16:26 Mo 24.12.2012 | | Autor: | sissile |
Sry aber das wird im Skriptum andauernd verwendet und auch in der vorlesung so vorgetragen. Auch der Beweis überzeugt 100%. Was soll den an dem verkehrt sein?
Ich denke dass du das vlt nicht wie wir aufschreibst oder da irgendwo eine Verwirrung drinsteckt. : F(z)= [mm] \sum_{n=0}^\infty F_n z^n.
[/mm]
..
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:57 Mo 24.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sissile,
> Sry aber das wird im Skriptum andauernd verwendet und auch
> in der vorlesung so vorgetragen. Auch der Beweis überzeugt
> 100%. Was soll den an dem verkehrt sein?
> Ich denke dass du das vlt nicht wie wir aufschreibst oder
> da irgendwo eine Verwirrung drinsteckt. : F(z)=
> [mm]\sum_{n=0}^\infty F_n z^n.[/mm]
> ..
okay, Du hast Recht, aber das Problem war viel einfacher: Bei Wiki war
[mm] $f_0:=0\,$ [/mm] und [mm] $f_1:=1\,,$ [/mm] bei Euch ist [mm] $F_0=F_1:=1\,.$
[/mm]
So, nun denn: Da müssen wir uns das nochmal angucken, wie meine
Rechnung da weitergeht. Dann stimmt nämlich die Rechnung aus meiner
ersten Antwort.
Ich schau' mir das gleich nochmal an!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:33 Di 25.12.2012 | | Autor: | sissile |
Ah okay jetzt ist es klar, dass es nicht übereinstimmt. An das hätte ich im ersten Moment nicht gedacht.
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:18 Mo 24.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sissile,
also, wie gesagt: der Wiki-Link passt leider nicht, weil bei Wiki die
Fibonaccifolge minimal anders aussieht als bei Euch.
Was wissen wir also bisher?
[mm] $$F(z)=\frac{1}{1-z-z^2}$$
[/mm]
und nachgerechnet haben wir (erste Antwort)
> [mm] $$f(x)=\frac{1}{x_2-x_1}\cdot{}\left(\frac{1}{x_1-x}-\frac{1}{x_2-x}\right)\,,$$
[/mm]
also
[mm] $$F(z)=\frac{1}{z_2-z_1}\cdot{}\left(\frac{1}{z_1-z}-\frac{1}{z_2-z}\right)\,.$$
[/mm]
wobei [mm] $z_1,z_2$ [/mm] die Nullstellen von $z [mm] \mapsto1-z-z^2$ [/mm] bzw. $z [mm] \mapsto z^2+z-1$ [/mm] sind.
(Und HIER steht im Skriptum ein kleiner Fehler: Dort steht nämlich [mm] $x^2 \red{\;\;-\;\;}x-1=0\,.$)
[/mm]
Und es gilt
[mm] $$z^2+z-1=0$$
[/mm]
[mm] $$\iff z_{1,2}=\frac{-1}{2}\pm\sqrt{\frac 5 4}=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}\,.$$
[/mm]
Soweit, so gut. Wie die im Skript auf das kommen, was da steht, weiß ich
allerdings gerade auch nicht wirklich...
Vielleicht hat ja noch jemand anderes eine Idee!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Mi 26.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Mi 26.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
