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Fibonacci: Explizite Darstellung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:54 Sa 05.01.2008
Autor: Cora4ka

Aufgabe
Hallo alle zusammen!
Würd mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen könnte:

[mm] a_{1}*\bruch{1}{2}(1+\wurzel{5})+a_{2}*\bruch{1}{2}(1-\wurzel{5})=1 [/mm]
[mm] a_{1}*\bruch{1}{2}(1+\wurzel{5})^{2}+a_{2}*\bruch{1}{2}(1-\wurzel{5})^{2}=1 [/mm]

wie kommt man da zu [mm] a_{1}= \bruch{1}{\wurzel{5}} [/mm] ; [mm] a_{2}=-\bruch{1}{\wurzel{5}} [/mm]  

Beweisen sie die Formel von Moivre-Binet  durch vollständige Induktion.
Wie soll das gehen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Fibonacci: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:49 Sa 05.01.2008
Autor: steppenhahn

Induktionshilfen gibt es eigentlich genug, deswegen führe ich sie einfach mal aus:

Induktionsanfang: n = 0 und n = 1:
Zu zeigen: [mm] a_{0} [/mm] = 0 und [mm] a_{1} [/mm] = 1
Beweis: Man setzt n = 0 und n = 1 in die allgemeine Form der Formel ein:

[mm] a_{0} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}}((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{0} [/mm] - [mm] (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{0}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}}*(1-1) [/mm] = 0.

[mm] a_{1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}}((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{1} [/mm] - [mm] (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{1}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}}*(\wurzel{5}) [/mm] = 1.

Also stimmt die Formel offenbar für 0 und 1, der Induktionsanfang ist geschafft.
Nun der Induktionsschritt: Wir dürfen als gegeben benutzen, dass

[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}}((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n} [/mm] - [mm] (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n}) [/mm]

[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}}((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n+1} [/mm] - [mm] (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n+1}) [/mm]

Und müssen zeigen, dass dann gilt:

[mm] a_{n+2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}}((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n+2} [/mm] - [mm] (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n+2}). [/mm]

BEWEIS:

[mm] a_{n+2} [/mm] = [mm] a_{n+1} [/mm] + [mm] a_{n}, [/mm]

nach Voraussetzung also

= [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}}((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n} [/mm] - [mm] (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n}) [/mm] + [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}}((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n+1} [/mm] - [mm] (\bruch{1-(\wurzel{5}}{2})^{n+1}) [/mm]

= [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}}((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n}*(1 [/mm] + [mm] \bruch{1+\wurzel{5}}{2}) [/mm] - [mm] (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n}*(1 [/mm] + [mm] \bruch{1-\wurzel{5}}{2})) [/mm]

= [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}}((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n}*(\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{2} [/mm] - [mm] (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n}*(\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{2}) [/mm]

= [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}}((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n+2} [/mm] - [mm] (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n+2}). [/mm]

Fertig! Wir haben hergeleitet, was nun [mm] a_{n+2} [/mm] sein müsste!
(Übrigens wurde benutzt:

1 + [mm] \bruch{1\pm \wurzel{5}}{2} [/mm]
= 1 + [mm] \bruch{2\pm 2\wurzel{5}}{4} [/mm]
= [mm] \bruch{6 \pm 2\wurzel{5}}{4} [/mm]
= [mm] \bruch{1 \pm 2\wurzel{5} + 5}{4} [/mm]
= [mm] (\bruch{1 \pm \wurzel{5}}{2})^{2} [/mm]

Guck es dir mal genau an, eigentlich dürfte alles klar sein...

Bezug
                
Bezug
Fibonacci: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:15 Mo 07.01.2008
Autor: Cora4ka

Aufgabe
Ok, danke erstmal.
Und kann mir bitte noch jmd. sagen wie ich aus den beiden obenstehenden Gleichungen auf [mm] a_{1} [/mm] und [mm] a_{2} [/mm] komme? Also wenn man das nachrechnen würde?

Ok, danke erstmal.
Und kann mir bitte noch jmd. sagen wie ich aus den beiden obenstehenden Gleichungen auf [mm] a_{1} [/mm] und [mm] a_{2} [/mm] komme? Also wenn man das nachrechnen würde?

Bezug
                
Bezug
Fibonacci: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:15 Mo 07.01.2008
Autor: Cora4ka

Aufgabe
Ok, danke erstmal.
Und kann mir bitte noch jmd. sagen wie ich aus den beiden obenstehenden Gleichungen auf [mm] a_{1} [/mm] und [mm] a_{2} [/mm] komme? Also wenn man das nachrechnen würde?

Ok, danke erstmal.
Und kann mir bitte noch jmd. sagen wie ich aus den beiden obenstehenden Gleichungen auf [mm] a_{1} [/mm] und [mm] a_{2} [/mm] komme? Also wenn man das nachrechnen würde?

Bezug
                        
Bezug
Fibonacci: 2 x 2 LGS
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:41 Mo 07.01.2008
Autor: chrisno

Hallo Cora4ka,

löse beide Gleichungen nach a-1 auf. (Also [mm] a_1 [/mm] = ...)
Dann setze die beiden Terme für [mm] a_1 [/mm] gleich.
Dann sortiere dies so lange um, bis da [mm] a_2 [/mm] = ... da steht.
Dann setze diesen Wert für [mm] a_2 [/mm] in eine der beiden Gleichungen  für [mm] a_1 [/mm] ein.


Bezug
                                
Bezug
Fibonacci: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:26 Mo 07.01.2008
Autor: Cora4ka

Ok, danke. Das muss ich mir erst mal näher ansehen...
Nun habe ich ein Problem bei der Herleitung.

[mm] q^{2}-q-1=0 [/mm]

wieso rechnet man bei der Lösungsfindung:

[mm] \bruch{1\pm\wurzel{1-4*1*(-1)}}{2} [/mm]

Das, was unter der Wurzel steht leuchtet mir nicht ein????

Bezug
                                        
Bezug
Fibonacci: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:41 Di 08.01.2008
Autor: steppenhahn

Da wurde offenbar die Lösungsformel für quadratische Gleichungen angewandt und dann noch ein bisschen umgeformt (bzw. es wurde eine schon umgeformte quadratische Lösungsformel benutzt):

[mm] q^2 [/mm] + a*q + b = 0

Bei dir ist:

a = -1
b = -1

Quadratische Lösungsformel:

[mm] q_{1/2} [/mm] = [mm] -\bruch{a}{2} \pm \wurzel{(-\bruch{a}{2})^{2}-b} [/mm]

Speziell hier für a = -1 und b = -1

[mm] q_{1/2} [/mm] = [mm] -\bruch{-1}{2} \pm \wurzel{(-\bruch{-1}{2})^{2}-(-1)} [/mm]
    = [mm] \bruch{1}{2} \pm \wurzel{(\bruch{1}{2})^{2}-(-1)} [/mm]

Und nun wurde praktisch überall [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ausgeklammert:

[mm] q_{1/2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*(1 \pm [/mm] 2 * [mm] \wurzel{(\bruch{1}{2})^{2}-(-1)}) [/mm]
    = [mm] \bruch{1}{2}*(1 \pm \wurzel{4} [/mm] * [mm] \wurzel{(\bruch{1}{2})^{2}-(-1)}) [/mm]
    = [mm] \bruch{1}{2}*(1 \pm \wurzel{4 * ((\bruch{1}{2})^{2}-(-1))}) [/mm]
    = [mm] \bruch{1}{2}*(1 \pm \wurzel{4 * \bruch{1}{4}- 4 * (-1)}) [/mm]
    = [mm] \bruch{1}{2}*(1 \pm \wurzel{1 - 4 * (-1)}) [/mm]
    = [mm] \bruch{1 \pm \wurzel{1 - 4 * (-1)}}{2} [/mm]

Bezug
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