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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:17 Mo 01.06.2009 | | Autor: | idonnow |
| Aufgabe | Die FibonacciFolge ist durch
a1 = a2 = 1 an+2 = an+1 + an (1)
definiert.
Sei [mm]r= \bruch {1+\wurzel {5} } {2 }[/mm]
und [mm]\sigma = \bruch {1-\wurzel {5} } {2} [/mm]
(a) Begründen Sie, warum [mm] \bruch {1} \wurzel {5} [/mm] [mm] (r^n [/mm] - [mm] \sigma^n)
[/mm]
eine ganze Zahl ist. Hinweis: Lösen Sie erst
die anderen Teilaufgaben.
(b) Zeigen Sie, dass [mm] r^2 [/mm] = r + 1 gilt. Finden Sie eine analoge Gleichung für [mm] \sigma.
[/mm]
(c) Zeigen Sie, dass an = [mm] \bruch {1}{\wurzel {5}} [/mm] [mm] (r^n [/mm] - [mm] \sigma^n)
[/mm]
gilt, d.h. zeigen Sie, dass die Gleichungen (1) erfüllt sind. Hinweis: Verwenden Sie (b) |
Halloihr Lieben!
Hier sind meine Lösungen:
b) (r= [mm] \bruch {1+\wurzel {5}} {2} [/mm]) * ( r= [mm] \bruch {1+\wurzel {5}} {2} [/mm]) = r+1
2,62 = 1,62 +1
2,62= 2,62
[mm] (\sigma [/mm] =[mm] \bruch {1- \wurzel {5}} {2} [/mm][mm] )*(\sigma [/mm] =[mm] \bruch {1} {2} - \wurzel {5} [/mm][mm] )=\sigma [/mm] +1
0,38= -0,62 +1
0,38= 0,38
Ist b) korrekt gelöst worden oder sollte man diese Aufgabe nur anhand von Buchstaben lösen??
c) a1=a2=1
a1 = [mm] \bruch {1} \wurzel {5} [/mm] [mm] (r^1 [/mm] - [mm] \sigma^1)=a2 [/mm] = [mm] \bruch {1} \wurzel {5} [/mm] [mm] (r^2 [/mm] - [mm] \sigma^2)= [/mm] 1
Da a1=1 (ungerade Potenz ändert das Minus in der Klammer)
a2=1(gerade Potenz ändert nicht das Minus in der Klammer )
an+2=an+1+an
a1 = [mm] \bruch {1} \wurzel {5} [/mm] [mm] (r^1 [/mm] + [mm] \sigma^1)+a1 [/mm] = [mm] \bruch {1} \wurzel {5} [/mm] [mm] (r^1 [/mm] - [mm] \sigma^1)+1= [/mm] a1 = [mm] \bruch {1} \wurzel {5} [/mm] [mm] (r^1 [/mm] - [mm] \sigma^1)+2
[/mm]
=>1+2=3 Ist das richtig oder reicht das als Antwort nicht aus??
a)an = [mm] \bruch {1} \wurzel {5} [/mm] [mm] (r^n [/mm] - [mm] \sigma^n) [/mm] ist eine ganze Zahl, da?????Keine Ahnung wie ich das erklären soll
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:21 Mo 01.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo idonnow!
> b) (r= [mm]\bruch {1} {2} +\wurzel {5} [/mm]) * ( r= [mm]\bruch {1} {2} +\wurzel {5} [/mm]) = r+1
>
> 2,62 = 1,62 +1
> 2,62= 2,62
>
> [mm](\sigma[/mm] =[mm] \bruch {1} {2} - \wurzel {5}[/mm][mm] )*(\sigma[/mm] =[mm] \bruch {1} {2} - \wurzel {5}[/mm][mm] )=\sigma[/mm] +1
>
> 0,38= -0,62 +1
> 0,38= 0,38
Das solltest Du schon jeweils mit den korrekten Werten (und nicht mit gerundeten Werten) nachweisen:
[mm] $$r^2 [/mm] \ = \ [mm] \left(\bruch{1+\wurzel{5}}{2}\right)^2 [/mm] \ = \ ...$$
$$r+1 \ = \ [mm] \bruch{1+\wurzel{5}}{2}+1 [/mm] \ = \ ...$$
Analog dann für [mm] $\sigma$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 Mo 01.06.2009 | | Autor: | idonnow |
Hallo!
Was meinst du mit korrekten Werten?
Statt 1,62 soll ich dann 1,618033989 schreiben oder wie ist das gemeint?
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:45 Mo 01.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo idonnow!
Nein, Du sollst ganz konkret mit der Wurzel rechnen. So wie von mir bereits begonnen ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:44 Mo 01.06.2009 | | Autor: | idonnow |
$ [mm] r^2 [/mm] \ = \ [mm] \left(\bruch{1+\wurzel{5}}{2}\right)^2 [/mm] \ = \ ... $
Sorry, aber ich bin wirklich nicht so gut in Mathe. Wie sieht es weiter aus? Etwa so = [mm] \left(\bruch{1+\wurzel{5}}{2}\right) [/mm] * [mm] \left(\bruch{1+\wurzel{5}}{2}\right)\ [/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:47 Mo 01.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo idonnow!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Nun die beiden Klammern ausmultiplizieren bzw. eine binomische Formel anwenden.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:56 Mo 01.06.2009 | | Autor: | idonnow |
Hallo nochmal!
Ich weiß zwar mit binomischen Formeln umzugehen, aber in diesem Fall haben wir ja zwei Brüche. Wie soll hier ein Ausmultiplizieren gehen?
Ich bin verwirrt. Ich würde so weiter machen, dass ich nur noch die Werte in die Klammern einsetze, aber das ist bestimmt zu einfach!
(1,62)*(1,62)=0,62+1???????????????
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:04 Mo 01.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo idonnow!
Das ist Schulstoff 8. Klasse. Du wirst doch zwei Brüche bzw. zwei Wurzeln miteinander multiplizieren können ... ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
$$ [mm] r^2 [/mm] \ = \ [mm] \left(\bruch{1+\wurzel{5}}{2}\right)^2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\left(1+\wurzel{5} \ \right)^2}{2^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1+2*1*\wurzel{5}+\left( \ \wurzel{5} \ \right)^2}{4} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:28 Mo 01.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo idonnow!
Diese Teilaufgabe schreit ja förmlich nach einer vollständigen Induktion.
Ich habe es nun nicht im einzelnen durchgerechnet: aber im Induktionsschritt sollte man dann die Gleichung(en) aus Teilaufgabe (b) verwenden.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:36 Mo 01.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo idonnow!
Betrachte die rekursive Darstellung der Fibonacci-Folge mit [mm] $a_{n+2} [/mm] \ = \ [mm] a_{n+1}+a_n$ [/mm] .
Dabei wird immer die Summe aus zwei genzen Zahlen gebildet. Was heißt das dann für das Ergebnis?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:45 Mo 01.06.2009 | | Autor: | idonnow |
Ähm! Aus der Summe von zwei ganzen Zahlen kommt wieder eine ganze Zahl raus! Oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:47 Mo 01.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo idonnow!
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:37 Mo 01.06.2009 | | Autor: | idonnow |
Reicht das denn als Antwort oder müsste ich noch was ergänzen??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:42 Mo 01.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo idonnow!
Wenn Du die anderen beiden Teilaufgaben korrekt gelöst hast, reicht das aus.
Gruß
Loddar
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