www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Uni-Analysis" - Fibonaccifolgen
Fibonaccifolgen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Fibonaccifolgen: explizite Darstellung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:24 Mo 03.01.2005
Autor: ALT-F4

hallo
ich hoffe die Fibonaccifolge ist bekannt...

Ich habe schon gezeigt, dass die PR [mm] a_{n}x^{n} [/mm] für alle |x| <  [mm] \bruch{1}{2} [/mm] konv.

Außerdem habe ich schon gezeigt, dass f(x) = [mm] (1-x-x^{2})^{-1} [/mm] ist.

Nun soll ich eine explizite Darstellung der Folgenglieder angeben und mir fehlt jeglicher Ausgangspunkt...

vielen Dank

        
Bezug
Fibonaccifolgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:32 Mo 03.01.2005
Autor: moudi

Also das funktioniert ungefähr so.

Man schreibt die Rekursion in Matrizenform.
Sei [mm]a_0=1, a_1=1[/mm] und [mm]a_n=a_{n-1}+a_{n-2}[/mm], dann gilt
[mm]\underbrace{\pmat{0 & 1 \\ 1 & 1}}_{A}\vektor{a_0 \\ a_1}=\vektor{a_1 \\ a_2}[/mm]
und a forteriori
[mm]A^n\vektor{a_0 \\ a_1}=\vektor{a_n \\ a_{n+1}}[/mm]
Die Idee ist, dass man jetzt die Matrix A diagonalisiert (die Eigenwerte [mm]\lambda_1[/mm] und [mm]\lambda_2[/mm] sind gerade der goldene Schnitt und der negative Kehrwert davon).
Dann kann man [mm]A^n[/mm] mit Hilfe der Transformationsmatrix T explizit berechnen:
Gilt [mm]T^{-1}AT=\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2)[/mm], dann ist [mm]A^n=T\,\operatorname{diag}(\lambda_1^n,\lambda_2^n)\,T^{-1}[/mm].
Und mit Hilfe von [mm]A^n[/mm] (siehe oben) erhält man eine explizite Formel für [mm]a_n[/mm].

Die Transformationsmatrix zu berechne (sie besteht aus den Eigenvektoren) ist relativ mühsam. Aber die explizite Formel für
die Fibonaccifolge sieht relativ kompliziert aus.

mfG Moudi




Bezug
                
Bezug
Fibonaccifolgen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:11 Di 04.01.2005
Autor: ALT-F4

vielen dank, aber das hört dich ja sehr nach LA an..

nun ja, die Aufgabe steht so auf meinem ANA I Blatt
also denke ich doch, dass es eine etwas einfachere Lösung geben muss
ein Freund meinte gestern, dass der Prof. etwas von dem Idenditätssatz für Potenzreihen gemurmelt hat, nur ich hab doch nur eine PR....

Bezug
                        
Bezug
Fibonaccifolgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:01 Di 04.01.2005
Autor: andreas

hi

ich hätte folgende idee, die aber vermutlich nicht wirklich ausgereift ist, sie hat aber immerhin etwas mit dem identitätssatz für potenzreihen zu tun: berechen die nullstellen [m] x_1, x_2 \in \mathbb{R} [/m] von [m] 1 - x - x^2 [/m] und stelle dann

[m] \frac{1}{1 - x - x^2} = \frac{A}{x - x_1} + \frac{B}{x - x_2} [/m]

mit geeigenten koeffizienten [m] A, B \in \mathbb{R} [/m] dar (die zahlen [m] x_1, x_2, A, B [/m] haben alle etwas mit dem goldenen schnitt zu tun, das könnte also eine etwas unangenehmere rechnerei werden).
dann kann man die ausdrücke auf der linken seite mit hilfe der geometrischen reihe in potenzreihen entwickeln und erhält als eine darstellung der form

[m] \sum_{n=0}^\infty F_n x^n = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n [/m],

wobei die [mm] $a_n$ [/mm] die summe der beiden koeffizienten aus den geometrischen reihen sind. dann sollten dir die [mm] $a_n$ [/mm] eine explizite darstellung für die [mm] $F_n$ [/mm] geben nach dem identitätssatz für potenzreihen.

hoffe das führt zum ziel. du kannst ja dann deine ergebniss hier reinstellen.


grüße
andreas

Bezug
                                
Bezug
Fibonaccifolgen: Lösung?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:19 Di 04.01.2005
Autor: ALT-F4

[mm] \sum_{n=1}^\infty~a_{n}x^{n} [/mm] = f(x) = [mm] -\frac{1}{x^{2}+x-1} [/mm] = [mm] \frac{1}{(x-x_{1})(x-x_{2})} [/mm]

nach ein "wenig" rumrechnen bin ich dann auf:

[mm] \frac{1}{\sqrt{5}} \sum_{n=1}^\infty~(\frac{1}{x_{1}^{n+1}}-\frac{1}{x_{2}^{n+1}}) [/mm]

Nun kann ich ja [mm] a_{n} [/mm] mit [mm] (\frac{1}{x_{1}^{n+1}}-\frac{1}{x_{2}^{n+1}}) [/mm] gleichsetzen.

Als Endergebnis komme ich dann auf:

[mm] a_{n-1} [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{5}}((\frac{2}{-1+\sqrt{5}})^{n}-(\frac{2}{-1-\sqrt{5}})^{n}) [/mm]
also explizite Darstellung

vlt kennt ja einer das Ergebniss und kann mein Ergebniss mal vergleichen.

Bezug
                                        
Bezug
Fibonaccifolgen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:58 Di 04.01.2005
Autor: andreas

hi

wenn man die fibonacci-zahlen als [m] F_0 := 0, \; F_1 := 1, \; F_{n+2} := F_{n+1} + F_n , \; n \in \mathbb{N} [/m] definiert, so kenne ich die darstellung

[m] F_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left[ \left( \frac{1+ \sqrt{5}}{2} \right)^n - \left( \frac{1- \sqrt{5}}{2} \right)^n \right] [/m]

die als formel von binet bekannt ist.

bei sowas kann man seine rechnung ja im allgemeinen auch ganz gut prüfen, indem man ein paar werte einsetzt.

grüße
andreas

Bezug
                                                
Bezug
Fibonaccifolgen: danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:06 Di 04.01.2005
Autor: ALT-F4

vielen dank
wenn man meine Lösung umformt (nenner rational machen) dann komme ich auch auf die lösung..
wunderbar!

Bezug
                        
Bezug
Fibonaccifolgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:59 Mi 05.01.2005
Autor: Fibonacchi

Trotz verspätetem Lesen, hier meine  Idee, das Problem anzugehen. Zunächst gehe ich nur von Intuition aus, beweise das so gefundende Ergebnis abschließend durch vollständige Induktion:

lim(a(n)/a(n-1)) = [mm] (5^0,5+1)/2:=L [/mm] ist bekannt. Geht man ein paar Werte durch, eröffnet sich schnell die Monotonie des Quotienten a(n)/a(n-1), der auch beschränkt ist im Intervall [1;L[, also einem relativ kleinem Spielraum.
Wir können also a(n)/a(n-1) guten Gewissens als konstant betrachten, nämlich L, wie es ja auch  wegen anfangs errrechnetem Grenzwert nahe liegt. Dies wiederum impliziert das exponentielle Wachstum von a(n) zur Basis L. Schnell zeigt sich: L^(n-1) =< [mm] a(n)= Richten wir nun unser Augenmerk auf die Differenz [mm] L^n-a(n). [/mm] Die Gesetzmäßigkeit fällt leicht ins Auge: es lässt sich eine ein-fache Rekursionsformel entwickeln: a(n)= [mm] L^n-2/L*a(n-1). [/mm]
-2/L:= M

Entwickelt man  so die Fibonacchifolge, wird schnell deutschlich: a(n) = Summation von k=0 bis n:( [mm] L^{n-k}*M^k), [/mm] was eine geometrische Reihe wäre. Somit kommt man auf das unkonventionellere Ergebnis:

a(n)= [mm] L^n*(L^2+(-1/L)^n)/(1+L^2) [/mm]

PS: Sorry für das Layout...

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de