Filter (Berührpunkt gdw) < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:37 Fr 09.03.2012 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Man beweise folgendes Lemma:
Ein Punkt [mm] $x\in [/mm] X$ ist genau dann Berührpunkt eines Filters [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] auf X, wenn es einen Filter [mm] $\mathcal{G}$ [/mm] auf X gibt, der feiner als [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] ist und gegen x konvergiert. |
Moin, moin!
Die Rückrichtung ist mir klar:
Sei [mm] $\mathcal{G}$ [/mm] Filter auf X mit [mm] $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{G}$ [/mm] und [mm] $\mathcal{G}\to [/mm] x$. Dann gilt erstens, daß [mm] $U\in\mathcal{G}~\forall~U\in\mathcal{U}(x)$ [/mm] und zweitens [mm] $F\in\mathcal{G}~\forall~F\in\mathcal{F}$.
[/mm]
Da [mm] $\mathcal{G}$ [/mm] Filter ist, muss gelten, daß [mm] $U\cap F\neq\emptyset$ [/mm] für alle [mm] $U\in\mathcal{U}(x)$ [/mm] und alle [mm] $F\in\mathcal{F}$, [/mm] denn endliche Schnitte sind enthalten, nicht aber die leere Menge.
Die Beweisrichtung von links nach rechts ist mir nicht ganz so klar, im Boto von Querenburg steht sinngemäß:
Sei also x Berührpunkt eines Filters [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] auf X, das bedeutet [mm] $F\cap U\neq\emptyset$ [/mm] für alle [mm] $U\in\mathcal{U}(x)$ [/mm] und für alle [mm] $F\in\mathcal{F}$.
[/mm]
Jetzt bilden alle [mm] $F\cap [/mm] U$ eine Filterbasis für einen Filter, der feiner als [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] ist und gegen x konvergiert. Das möchte ich gerne nachvollziehen.
Ich versuche gerade die Filterbasis-Eigenschaften dafür nachzuweisen:
Behauptet wird, daß [mm] $\left\{F\cap U~|~U\in\mathcal{U}(x),F\in\mathcal{F}\right\}$ [/mm] eine Filterbasis ist:
1.) Die leere Menge ist nicht enthalten, da die Schnitte ja allesamt nicht leer sind.
2.) Die Menge ist auch nicht leer, weil ja zumindestens x enthalten ist.
3.) Für einen Schnitt aus zwei Elementen der Menge gibt es ein Element, das in dem Schnitt liegt:
[mm] $(U_1\cap F_1)\cap (U_2\cap F_2)=\underbrace{(U_1\cap U_2)}_{=:U_3}\cap \underbrace{(F_1\cap F_2)}_{=:F_3}$.
[/mm]
Inwiefern gibt es jetzt ein Element aus der Filterbasis, das in diesem Schnitt liegt?
Der von der obigen Filterbasis erzeugte Filter (ich nenne ihn [mm] $\mathcal{G}$) [/mm] sieht dann jedenfalls so aus:
[mm] $\mathcal{G}=\left\{C\subseteq X~|~\exists U\cap F, U\in\mathcal{U}(x),F\in\mathcal{F}: U\cap F\subseteq C\right\}$
[/mm]
Dieser ist natürlich feiner als [mm] $\mathcal{F}$, [/mm] denn [mm] $U\cap F\subseteq F~\forall~F\in\mathcal{F}$.
[/mm]
Ebenso: [mm] $U\cap F\subseteq U~\forall~U\in\mathcal{U}(x)$, [/mm] womit [mm] $\mathcal{G}$ [/mm] gegen x konvergiert.
Unklar ist mir also nur, wie man die Filterbasis-Eigenschaften nachweist. Wenn mir dabei jemand helfen könnte, würde ich mich sehr freuen.
glG
mikexx
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:29 Fr 09.03.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Man beweise folgendes Lemma:
>
> Ein Punkt [mm]x\in X[/mm] ist genau dann Berührpunkt eines Filters
> [mm]\mathcal{F}[/mm] auf X, wenn es einen Filter [mm]\mathcal{G}[/mm] auf X
> gibt, der feiner als [mm]\mathcal{F}[/mm] ist und gegen x
> konvergiert.
>
>
> Moin, moin!
>
> Die Rückrichtung ist mir klar:
>
> Sei [mm]\mathcal{G}[/mm] Filter auf X mit [mm]\mathcal{F}\subseteq \mathcal{G}[/mm]
> und [mm]\mathcal{G}\to x[/mm]. Dann gilt erstens, daß
> [mm]U\in\mathcal{G}~\forall~U\in\mathcal{U}(x)[/mm] und zweitens
> [mm]F\in\mathcal{G}~\forall~F\in\mathcal{F}[/mm].
>
> Da [mm]\mathcal{G}[/mm] Filter ist, muss gelten, daß [mm]U\cap F\neq\emptyset[/mm]
> für alle [mm]U\in\mathcal{U}(x)[/mm] und alle [mm]F\in\mathcal{F}[/mm], denn
> endliche Schnitte sind enthalten, nicht aber die leere
> Menge.
>
>
> Die Beweisrichtung von links nach rechts ist mir nicht
> ganz so klar, im Boto von Querenburg steht sinngemäß:
>
> Sei also x Berührpunkt eines Filters [mm]\mathcal{F}[/mm] auf X,
> das bedeutet [mm]F\cap U\neq\emptyset[/mm] für alle
> [mm]U\in\mathcal{U}(x)[/mm] und für alle [mm]F\in\mathcal{F}[/mm].
>
> Jetzt bilden alle [mm]F\cap U[/mm] eine Filterbasis für einen
> Filter, der feiner als [mm]\mathcal{F}[/mm] ist und gegen x
> konvergiert. Das möchte ich gerne nachvollziehen.
>
> Ich versuche gerade die Filterbasis-Eigenschaften dafür
> nachzuweisen:
>
> Behauptet wird, daß [mm]\left\{F\cap U~|~U\in\mathcal{U}(x),F\in\mathcal{F}\right\}[/mm]
> eine Filterbasis ist:
>
>
> 1.) Die leere Menge ist nicht enthalten, da die Schnitte ja
> allesamt nicht leer sind.
>
> 2.) Die Menge ist auch nicht leer, weil ja zumindestens x
> enthalten ist.
>
> 3.) Für einen Schnitt aus zwei Elementen der Menge gibt es
> ein Element, das in dem Schnitt liegt:
>
> [mm](U_1\cap F_1)\cap (U_2\cap F_2)=\underbrace{(U_1\cap U_2)}_{=:U_3}\cap \underbrace{(F_1\cap F_2)}_{=:F_3}[/mm].
>
>
> Inwiefern gibt es jetzt ein Element aus der Filterbasis,
> das in diesem Schnitt liegt?
Da [mm] $F_1,F_2 \in \mathcal{F}$, [/mm] gilt auch [mm] $F_3\in\mathcal{F}$. [/mm] Außerdem ist, da sowohl [mm] $U_1$ [/mm] als auch [mm] $U_2$ [/mm] Umgebungen von $x$ sind, auch ihr Durchschnitt [mm] $U_3$ [/mm] eine Umgebung von $x$: [mm] $U_3\in \mathcal [/mm] U(x)$. Damit ist
[mm] U_3\cap F_3 \in \left\{F\cap U\mid U\in\mathcal{U}(x),F\in\mathcal{F}\right\}[/mm]
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:09 Sa 10.03.2012 | | Autor: | mikexx |
> Da [mm]F_1,F_2 \in \mathcal{F}[/mm], gilt auch [mm]F_3\in\mathcal{F}[/mm].
Das verstehe ich, denn das gilt aufgrund der Filtereigenschaft, daß endliche Schnitte von Elementen des Filters auch wieder in dem Filter enthalten sind.
> Außerdem ist, da sowohl [mm]U_1[/mm] als auch [mm]U_2[/mm] Umgebungen von [mm]x[/mm]
> sind, auch ihr Durchschnitt [mm]U_3[/mm] eine Umgebung von [mm]x[/mm]: [mm]U_3\in \mathcal U(x)[/mm].
Aber wieso? Wieso ist der Durchschnitt zweier Umgebungen von x auch eine Umgebung von x?
Sei [mm] $U_1$ [/mm] Umgebung von x, d.h. es gibt eine offene Menge [mm] $O_1$, [/mm] s.d.
[mm] $x\in O_1\subseteq U_1$
[/mm]
Sei [mm] $U_2$ [/mm] Umgebung von x, d.h. es gibt eine offene Menge [mm] $O_2$, [/mm] s.d.
[mm] $x\in O_2\subseteq U_2$.
[/mm]
Sei [mm] $U_3=U_1\cap U_2$.
[/mm]
Dann muss ja jetzt, wenn [mm] $U_3$ [/mm] Umgebung von x ist, gelten:
[mm] $\exists O_3: x\in O_3\subseteq U_3$
[/mm]
Kann man dann jetzt sagen:
[mm] $x\in O_3\subseteq U_3\subseteq U_1$?
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:36 Sa 10.03.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> > Da [mm]F_1,F_2 \in \mathcal{F}[/mm], gilt auch [mm]F_3\in\mathcal{F}[/mm].
>
> Das verstehe ich, denn das gilt aufgrund der
> Filtereigenschaft, daß endliche Schnitte von Elementen des
> Filters auch wieder in dem Filter enthalten sind.
>
> > Außerdem ist, da sowohl [mm]U_1[/mm] als auch [mm]U_2[/mm] Umgebungen von [mm]x[/mm]
> > sind, auch ihr Durchschnitt [mm]U_3[/mm] eine Umgebung von [mm]x[/mm]: [mm]U_3\in \mathcal U(x)[/mm].
>
> Aber wieso? Wieso ist der Durchschnitt zweier Umgebungen
> von x auch eine Umgebung von x?
>
> Sei [mm]U_1[/mm] Umgebung von x, d.h. es gibt eine offene Menge [mm]O_1[/mm],
> s.d.
>
> [mm]x\in O_1\subseteq U_1[/mm]
>
> Sei [mm]U_2[/mm] Umgebung von x, d.h. es gibt eine offene Menge [mm]O_2[/mm],
> s.d.
>
> [mm]x\in O_2\subseteq U_2[/mm].
>
> Sei [mm]U_3=U_1\cap U_2[/mm].
>
> Dann muss ja jetzt, wenn [mm]U_3[/mm] Umgebung von x ist, gelten:
>
> [mm]\exists O_3: x\in O_3\subseteq U_3[/mm]
[mm] $O_3= O_1\cap O_2 \subseteq U_1\cap U_2 [/mm] = [mm] U_3$ [/mm] ist offen.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
|
