Filtrierung < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Guten Tag
Ich habe ein Frage zu Filtrierungen. Wenn ich eine Filtrierung [mm] $(\mathcal{F}_t)_t$ [/mm] betrachte und nun die Filtrierung [mm] $(\mathcal{F}_{t-})$ [/mm] bilde, wobei
[mm]\mathcal{F}_{t-}:=\sigma(\cup_{s
Es ist klar, dass [mm] $\mathcal{F}_{(t-)-}\subset \mathcal{F}_{t-}$.
[/mm]
Gilt aber auch $ [mm] \mathcal{F}_{(t-)}\subset \mathcal{F}_{(t-)-}$, [/mm] dann würde folgen:$ [mm] \mathcal{F}_{t-} [/mm] = [mm] \mathcal{F}_{(t-)-}$
[/mm]
Wenn ja, wie zeig ich die zweite Behauptung?
Liebe Grüsse
Marianne88
|
|
| |
|
Hallo Marianne,
> Es ist klar, dass [mm]\mathcal{F}_{(t-)-}\subset \mathcal{F}_{t-}[/mm].
Also klar ist mir das erstmal gar nicht (ich zweifel es sogar an).
Was soll [mm] $\mathcal{F}_{(t-)-}$ [/mm] denn für ein Objekt sein?
Rein formal wäre das ja: [mm] $\sigma(\bigcup_{s<(t-)} \mathcal{F}_s)$
[/mm]
was aber keinen Sinn macht.
Ich vermute mal, du meinst damit:
[mm] $\mathcal{F}_{(t-)-} [/mm] = [mm] \sigma(\bigcup_{s
Setzen wir nochmals die Definition ein, steht ja dort:
[mm] $\mathcal{F}_{(t-)-} [/mm] = [mm] \sigma(\bigcup_{s
Dann ist deine Aussage:
> Es ist klar, dass [mm]\mathcal{F}_{(t-)-}\subset \mathcal{F}_{t-}[/mm].
alles andere als "klar", ganz im Gegenteil, die andere Inklusion [mm] $\supset$ [/mm] ist durch
[mm] $\mathcal{F}_{(t-)-} [/mm] = [mm] \sigma(\bigcup_{s
offensichtlich 
Dass im Allgemeinen aber auch die (für dich "klare") Rückrichtung gilt, wage ich zu bezweifeln.
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
Gut Tag Gono
>
> Ich vermute mal, du meinst damit:
>
> [mm]\mathcal{F}_{(t-)-} = \sigma(\bigcup_{s
>
Genau
> Setzen wir nochmals die Definition ein, steht ja dort:
>
> [mm]\mathcal{F}_{(t-)-} = \sigma(\bigcup_{s
>
>
> Dann ist deine Aussage:
> > Es ist klar, dass [mm]\mathcal{F}_{(t-)-}\subset \mathcal{F}_{t-}[/mm].
>
> alles andere als "klar", ganz im Gegenteil, die andere
> Inklusion [mm]\supset[/mm] ist durch
>
> [mm]\mathcal{F}_{(t-)-} = \sigma(\bigcup_{s
>
> offensichtlich
>
Genau so kann ich aber folgendes machen:
[mm]\mathcal{F}_{(t-)-} = \sigma(\bigcup_{s
Da ja gilt : [mm] $\mathcal{F}_{t-}\subset \mathcal{F}_t$.
[/mm]
Ist meine Überlegung falsch?
|
|
|
| |
|
Hiho,
> Da ja gilt : [mm]\mathcal{F}_{t-}\subset \mathcal{F}_t[/mm].
wenn das gilt, kannst du es ja sicherlich zeigen
Ich hab eben ein bisschen rumgegrübelt und bin mir sicher, dass du damit schon recht hast (auch wenn es nicht unbedingt sofort offensichtlich ist ^^).
Zur Übung zeig mir das doch mal
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
Guten Tag Gono
Ich habe das wie folgt gedacht,
Zu zeigen ist;
[mm]\mathcal{F}_{t-}\subset \mathcal{F}_{t}[/mm]
Beweis: Nach Definition, gilt [mm]\mathcal{F}_{t-}=\sigma(\cup_{s
Da es sich ja um eine Filtration handelt, gilt ja für alle $s [mm] \le [/mm] t$: [mm]\mathcal{F}_{s}\subset \mathcal{F}_{t} [/mm]. Nun kommt ein Schritt, bei welchem ich nicht ganz sicher bin, ob das mengentheoretisch ok ist:
Da jedes einzelne [mm]\mathcal{F}_{s} [/mm] eine Teilsigma Algebra von [mm]\mathcal{F}_{t} [/mm] ist, für [mm] $s\le [/mm] t$ gilt:
[mm]\mathcal{F}_t\supset \cup_{s\le t}\mathcal{F}_{s} \supset \cup_{s< t}\mathcal{F}_{s}[/mm]
Also ich weiss nicht ob gilt: [mm] $A_\alpha \subset [/mm] B [mm] \forall \alpha \in [/mm] J$ wobei $J$ eine beliebige Indexmenge ist, dann folge $ [mm] \cup_{\alpha \in J}A_\alpha \subset [/mm] B$. (In der Mengentheorie gelten ja manchmal solch logische Dinge für beliebige Indexmengen nicht.
Mit dem ist ja dann alles klar.
Gruss
Marianne88
|
|
|
| |
|
Hiho,
> ein Schritt, bei welchem ich nicht ganz sicher bin, ob das
> Mengentheoretisch ok ist:
>
> Da jedes einzelne [mm]\mathcal{F}_{s}[/mm] eine Teilsigma Algebra
> von [mm]\mathcal{F}_{t}[/mm] ist, für [mm]s\le t[/mm] gilt:
> [mm]\mathcal{F}_t\supset \cup_{s\le t}\mathcal{F}_{s} \supset \cup_{s< t}\mathcal{F}_{s}[/mm]
jop, genau das dachte ich mir, dass du da ins Schwimmen kommst 
Aber die Sache ist wirklich so einfach, wenn man sich mal klar macht, wie die Vereinigung (auch) über eine beliebige Indexmenge definiert ist:
Es gilt nämlich: $x [mm] \in \bigcup_{j \in I} A_j \gdw \exists\, j\in [/mm] I: [mm] \; [/mm] x [mm] \in A_j$
[/mm]
Damit kannst du dir klar machen, dass für s < t aus [mm] $F_s \subset F_t$ [/mm] wirklich sofort
[mm] $\bigcup_{s
MFG,
Gono.
|
|
|
|
