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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:43 So 23.03.2014 | | Autor: | Trolli |
| Aufgabe | [mm] $-u''(x)+2u'(x)=x^2,\ [/mm] \ [mm] x\in [/mm] (0,2.5)$
$u(0)=1,\ \ u(2.5)=3$
Führen Sie eine Finite-Differenzen-Diskretisierung mit der Gitterweite h=1/2 durch, d.h. stellen Sie das zu lösende Gleichungssysten auf. Benutzen Sie dabei für die Approximation der ersten Ableitung den zentralen Differenzenquotienten
[mm] $u'(x)\approx \frac{u(x+h)-u(x-h)}{2h}$ [/mm] |
Hallo,
habe hier eine Übungsaufgabe (leider nur schlecht kopiert) und komme nicht zurecht. Das Skript kann ich mir erst nächste Woche besorgen und hoffe mir kann dabei jemand weiterhelfen.
[mm] $u''(x)\approx\frac{u(x_{i+1})-2u(x_i)+u(x_{i-1})}{h^2}$
[/mm]
[mm] $u''_i(x)\approx\frac{u_{i+1}-2u_i+u_{i-1}}{h^2}$
[/mm]
[mm] $u'_i(x)\approx\frac{u_{i+1}-u_{i-1}}{2h}$
[/mm]
Auf dem Intervall [0,2.5] mit Schrittweite 0.5 gibt es 4 innere Punkte, also müssen 4 Gleichungen aufgestellt werden.
Bei den linken Seiten der Gleichungen wird ja nur eingesetzt und [mm] $u_0$ [/mm] und [mm] $u_5$ [/mm] fallen weg. Aber wie kommen die rechten Seiten zustande? Leider ist bei der Kopie der Rand sehr verschwommen, ich konnte nur das Ergebnis von i=2 und i=3 erkennen.
i=1 [mm] $-(\frac{u_2-2u_1+u_0}{h^2})+2(\frac{u_2-u_0}{2h})=x_1^2$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \frac{-u_2+2u_1}{h^2}+\frac{u_2}{h}=x_1^2=?$
[/mm]
i=2 [mm] $-(\frac{u_3-2u_2+u_1}{h^2}+2(\frac{u_3-u_1}{2h})=x_2^2$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow\frac{-u_3+2u_2-u_1}{h^2}+\frac{u_3-u_1}{h}=x_2^2=1 [/mm] ?$
i=3 [mm] $-(\frac{u_4-2u_3+u_2}{h^2})+2(\frac{u_4-u_2}{2h})=x_3^2$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow\frac{-u_4+2u_3-u_2}{h^2}+\frac{u_4-u_2}{h}=x_3^2=\frac{9}{4}$?
[/mm]
i=4 [mm] $-(\frac{u_5-2u_4+u_3}{h^2})+2(\frac{u_5-u_3}{2h})=x_4^2$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow\frac{2u_4-u_3}{h^2}-\frac{u_3}{h}=x_4^2=?$
[/mm]
Die Aufgabe geht noch weiter aber die Gleichungen müssen ja erstmal aufgestellt werden.
Kann mir jemand dabei weiterhelfen?
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Hallo Trolli,
> [mm]-u''(x)+2u'(x)=x^2,\ \ x\in (0,2.5)[/mm]
> [mm]u(0)=1,\ \ u(2.5)=3[/mm]
>
> Führen Sie eine Finite-Differenzen-Diskretisierung mit der
> Gitterweite h=1/2 durch, d.h. stellen Sie das zu lösende
> Gleichungssysten auf. Benutzen Sie dabei für die
> Approximation der ersten Ableitung den zentralen
> Differenzenquotienten
> [mm]u'(x)\approx \frac{u(x+h)-u(x-h)}{2h}[/mm]
> Hallo,
>
> habe hier eine Übungsaufgabe (leider nur schlecht kopiert)
> und komme nicht zurecht. Das Skript kann ich mir erst
> nächste Woche besorgen und hoffe mir kann dabei jemand
> weiterhelfen.
>
> [mm]u''(x)\approx\frac{u(x_{i+1})-2u(x_i)+u(x_{i-1})}{h^2}[/mm]
> [mm]u''_i(x)\approx\frac{u_{i+1}-2u_i+u_{i-1}}{h^2}[/mm]
> [mm]u'_i(x)\approx\frac{u_{i+1}-u_{i-1}}{2h}[/mm]
>
> Auf dem Intervall [0,2.5] mit Schrittweite 0.5 gibt es 4
> innere Punkte, also müssen 4 Gleichungen aufgestellt
> werden.
> Bei den linken Seiten der Gleichungen wird ja nur
> eingesetzt und [mm]u_0[/mm] und [mm]u_5[/mm] fallen weg. Aber wie kommen die
> rechten Seiten zustande? Leider ist bei der Kopie der Rand
> sehr verschwommen, ich konnte nur das Ergebnis von i=2 und
> i=3 erkennen.
>
> i=1
> [mm]-(\frac{u_2-2u_1+u_0}{h^2})+2(\frac{u_2-u_0}{2h})=x_1^2[/mm]
> [mm]\Rightarrow \frac{-u_2+2u_1}{h^2}+\frac{u_2}{h}=x_1^2=?[/mm]
>
> i=2 [mm]-(\frac{u_3-2u_2+u_1}{h^2}+2(\frac{u_3-u_1}{2h})=x_2^2[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow\frac{-u_3+2u_2-u_1}{h^2}+\frac{u_3-u_1}{h}=x_2^2=1 ?[/mm]
>
> i=3
> [mm]-(\frac{u_4-2u_3+u_2}{h^2})+2(\frac{u_4-u_2}{2h})=x_3^2[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow\frac{-u_4+2u_3-u_2}{h^2}+\frac{u_4-u_2}{h}=x_3^2=\frac{9}{4}[/mm]?
>
> i=4
> [mm]-(\frac{u_5-2u_4+u_3}{h^2})+2(\frac{u_5-u_3}{2h})=x_4^2[/mm]
> [mm]\Rightarrow\frac{2u_4-u_3}{h^2}-\frac{u_3}{h}=x_4^2=?[/mm]
>
Es ist doch [mm]x_{i}=i*h=i*\bruch{1}{2}, \ i=1,2,3,4[/mm]
> Die Aufgabe geht noch weiter aber die Gleichungen müssen
> ja erstmal aufgestellt werden.
> Kann mir jemand dabei weiterhelfen?
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:44 Mo 24.03.2014 | | Autor: | Trolli |
Hallo,
war heute zum Glück wieder fit und konnte mir das Skript schon früher holen. Jetzt klappt auch alles ;)
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