Fischer - Riesz < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:14 Do 01.05.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Tag!
Ich studiere den Satz von Fischer - Riesz und habe zu dem Beweis ein paar Fragen! Die mit nicht schlüssigen Stellen sind "rot" geschrieben. Ich hoffe, dass mir jemand behilflich sein kann...
SATZ :
[mm] L^p (X) [/mm] ist ein Banach - Raum für [mm] 1 \le p < \infty [/mm].
Zu dem Satz wurde noch das folgenden Lemma aufgeschrieben:
Lemma :
Sei [mm] 1 \le p < \infty [/mm] und [mm] f_n [/mm] eine Folge in [mm] \mathcal L^p (X) [/mm], die f.ü. punktweise gegen f konvergiert.
Es gebe eine messbare numerische Funktion [mm] g \ge 0 [/mm] auf X mit [mm] \| g \|_p < \infty [/mm] und [mm] \left| f_n(x) \right| \le g(x) , \forall x \in X, n \in \mathbb N [/mm].
Dann ist [mm] f \in \mathcal L^p (X) [/mm] und [mm] \| f_n - f \|_p \to 0 [/mm].
Beweis :
Sei [mm] (a_n ) [/mm] eine Cauchy - Folge in [mm] L^p (X) [/mm].
Das heißt:
Zu jedem [mm] \epsilon > 0 [/mm] gibt es ein [mm] N \in \mathbb N [/mm], so dass [mm] \| a_n - a_m \| < \epsilon [/mm] für [mm] n, m \ge N [/mm].
Wir müssen zeigen:
Die Folge [mm] (a_n ) [/mm] konvergiert.
Um zu zeigen, dass eine Cuchy - Folge konvergiert, genügt es zu zeigen, dass eine Teilfolge konvergiert.
( Frage : Warum reicht das? )
Indem wir zu einer Teilfolge von [mm] (a_n ) [/mm] übergehen, können wir annehmen: [mm] \| a_{n+1 } - a_n \| < \bruch{1}{2^n } [/mm].
Es gibt [mm] f_n \in \mathcal L^p (X) [/mm] mit [mm] a_n = \tilde f_n [/mm]
Sei [mm] g_n := f_{n+1} - f_n [/mm].
Sei [mm]g_n:= f_{n+1 } - f_n [/mm]. Dann ist [mm] \| g_n \|_{p} = \| a_{n+1} - a_n \| \le \bruch{1}{2^n} [/mm]
[mm] g:= \summe_{n=1}^{\infty} \left| g_n \right| [/mm]
[mm] ( \integral g^p d \mu )^{ \bruch{1}{p} }\mathop{=}_{\overbrace{ monot. Konv }} ( \sup_{n} \integral ( \summe_{ k=1}^n \left|g_k \right| ) ^p d \mu )^{ \bruch{1}{p} } \mathop{\le}_ {\overbrace{Minkowski}} \sup_{n} \summe_{ k=1}^n ( \integral \left|g_k \right| ^p d \mu )^{ \bruch{1}{p} } = \sup_n \summe_{ k=1}^n \| g_k \| _p \le \sup_n \summe_{ k=1}^n \bruch{1}{2^k} = 1 [/mm]
( 2. Frage :
Warum darf man die Minkowskische Ungleichung anwenden ? )
Daher ist [mm] g^p [/mm] integrierbar , also f.ü. endlich.
( 3. Frage :
Ist denn dieses [mm] g^p [/mm] richtig? Wenn ja ,warum hoch p ? )
[mm] \rightarrow \summe_{k=1}^{ \infty } g_k [/mm] konvergiert fast überall absolut.
Wegen [mm] \summe_{k=1}^{ n } g_k = (f_2 - f_1) + ( f_3 - f_ 2)+ ... + (f_{n+1} - f_n ) = f_{n+1) - f_1 [/mm] folgt:
[mm] (f_n) [/mm] konvergiert f.ü. punktweise
[mm] \left| f_n+1 \right| = \left| f_1 + \summe_{k=1}^{ n } g_k \right| \le \left| f_1 \right| + g [/mm]
( 4. Frage :
Wurde hiermit die punktweise Konvergenz gezeigt? )
Nach Minkowski ist dann [mm] \| \left| f_1 \right| \|_p \le \| f \|_p + \| g \|_p < \infty [/mm]
Also können wir das Lemma anwenden und erhalten:
( 5. Frage:
Warum kann man das Lemma anwenden? Wo gilt denn die Voraussetzung [mm] \left| f_n(x) \right| \le g(x) [/mm] )
[mm] f [mm] \in \mathcal L^p [/mm] (X) [/m] mit [mm] \| f_n - f \|_p \to 0 [/mm] für [mm] n \to \infty [/mm].
Setze [mm] a:= \tolde f \in L^p(X) [/mm].
Dann ist [mm] \| a_n - a \|_p \to 0 , n \to \infty [/mm]
Schon mal vielen Dank für die Mühe!
Viele liebe Grüße
Irmchen
|
|
| |
|
" Um zu zeigen, dass eine Cauchy - Folge konvergiert, genügt es zu zeigen, dass eine Teilfolge konvergiert.
( Frage : Warum reicht das? )"
Wenn eine Teilfolge der Cauchyfolge konvergiert, dann heißt das, dass es für eine Teilfolge [mm] $(a_n_k)$ [/mm] ein [mm] $\alpha$ [/mm] gibt, so dass [mm] $\|a_n_k [/mm] - [mm] \alpha \| \rightarrow [/mm] 0$
Da sich für ein kleines [mm] $\varepsilon$ [/mm] stets große n und m finden lassen, so dass die Differenz zweier Folgenglieder [mm] $a_n [/mm] , [mm] a_m$ [/mm] in Norm stets kleiner als [mm] $\varepsilon$ [/mm] ist (Cauchyeigenschaft), kannst du ohne große Mühe zeigen, dass dein gefundenes [mm] $\alpha$ [/mm] auch für die Ganze Folge die Konvergenzbedingung erfüllt.
"( 2. Frage :
Warum darf man die Minkowskische Ungleichung anwenden ? )"
Ja, warum denn nicht? Du hast eine Summe mit n Summanden, musst sie also nur endlich oft anwenden, das dürfte also nicht das Problem sein. Deine Summanden sind auch alle p-integrierbar, also sind doch alle Voraussetzungen erfüllt.
"( 3. Frage :
Ist denn dieses $ [mm] g^p [/mm] $ richtig? Wenn ja ,warum hoch p ? )"
Du weißt ja, dass g p-integrierbar ist, d.h.
[mm] $\int [/mm] |g(x)|^pdx < [mm] \infty$
[/mm]
Das heißt dann aber auch, dass [mm] $|g(x)|^p [/mm] = [mm] |g(x)^p|$ [/mm] 1-integrierbar ist, da das integral ja das selbe ist wie oben und somit endlich.
"konvergiert f.ü. punktweise"
Es wurde ja gezeigt, dass gilt
[mm] $|f_{n+1}(x)| \leq \left| f_1(x) + \summe_{k=1}^{ n } g_k (x) \right|$ [/mm] (dies gilt punktweise)
und da die Summe der [mm] $g_k$ [/mm] fast überall konvergiert, konvergiert also die ganze rechte Seite und nach dem Einschließungssatz konvergiert also auch die linke (dies alles gilt natürlich nur punktweise, da du den Betrag, und nicht die Maximumsnorm betrachtest).
"(5. Frage:
Warum kann man das Lemma anwenden?)"
Wenn du definierst
[mm] $\hat{g}(x) [/mm] = [mm] \left| f_1(x) + \summe_{k=1}^{ n } g_k (x) \right|$
[/mm]
was ja fast überall existiert, dann kannst du dein Lemma mit [mm] $\hat{g}$ [/mm] statt g anwenden.
Gruß
Patrick.
Ich hoffe, ich konnte helfen.
|
|
|
|
