Fixpunkt einer stetigen Fkt < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei [mm] \math{X} [/mm] ein kompakter und metrischer Raum, wobei [mm] \math{d} [/mm] die auf [mm] \math{X} [/mm] definierte Metrik ist. Sei [mm] \math{f} [/mm] eine stetige Abbildung, welche für [mm] \math{x \not= y \in \math{X} }, \math{d(f(x),f(y)) |
Hallihallo,
ich bräuchte dringend eure Hilfe. Der Prof meinte, der sei eine leichte Abwandlung des Banachschen Fixpunktsatzes. Nur der ist so umfangreich und wird mit Iteration bewiesen.
Kann man den auch nicht zeigen, in dem man wg der Kompaktheit eine Teilfolge betrachtet, die gegen einen Grenzwert konvergiert. Dabei zieht man den Max oder Min betrachten, oder?!
Ich danke sehr für eure Hinweise!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:20 Di 08.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]\math{X}[/mm] ein kompakter und metrischer Raum, wobei
> [mm]\math{d}[/mm] die auf [mm]\math{X}[/mm] definierte Metrik ist. Sei
> [mm]\math{f}[/mm] eine stetige Abbildung, welche für [mm]\math{x \not= y \in \math{X} }, \math{d(f(x),f(y))
> erfüllt. Beweise, dass [mm]\math{f}[/mm] genau einen Fixpunkt
> besitzt.
> Hallihallo,
> ich bräuchte dringend eure Hilfe. Der Prof meinte, der
> sei eine leichte Abwandlung des Banachschen Fixpunktsatzes.
> Nur der ist so umfangreich und wird mit Iteration bewiesen.
> Kann man den auch nicht zeigen, in dem man wg der
> Kompaktheit eine Teilfolge betrachtet, die gegen einen
> Grenzwert konvergiert. Dabei zieht man den Max oder Min
> betrachten, oder?!
>
> Ich danke sehr für eure Hinweise!!
>
> favourite
Ich behaupte: es gibt ein q [mm] \in [/mm] [0,1) mit:
(*) $ [mm] \math{d(f(x),f(y)) \le q*d(x,y)} [/mm] $ für alle x,y [mm] \in [/mm] X.
Wenn Du das gezeigt hast, folgt die Beh. aus dem Banachschen Satz.
Nimm an, (*) gelte nicht. Dann gibt es zu jedem n [mm] \in \IN [/mm] Elemente [mm] x_n,y_n \in [/mm] X mit der Eigenschaft
$ [mm] \math{d(f(x_n),f(y_n)) >(1-1/n) *d(x_n,y_n)} [/mm] $
So, jetzt nutze die (Folgen-)Kompaktheit von X, die Stetigkeit der Metrik und die Stetigkeit von f, um zu einem Widerspruch zu kommen.
Viel Erfolg
FRED
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