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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:22 Di 28.05.2013 | | Autor: | love |
Hallo,
ich soll folgende Aufgabe zeigen: zeigen sie ,dass das Polynom [mm] p:\IC\to\IC
[/mm]
[mm] p(z)=z^5+z+\bruch{1}{8} [/mm] im Kreis B1/2(0) genau eine Nullstelle hat. Berechnen Sie eine Näherung.
ICh muss doch erst [mm] p(0)=\bruch{1}{8}. [/mm] Um zu zeigen,dass es nur eine Nullstelle gibt [mm] p´(z)=5z^4+1 [/mm] p´(0)=1>0,dh f streng mon.wachsend es gibt nur eine nullstelle. Aber wie berechne ich die näherung?
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Hallo love,
hier würde ich lieber den Fixpunktsatz anwenden. Wenn du eine Nullstelle einer Funktion berechnen willst, setzt du sie ja gleich Null, dass kannst du hier auch tun: [mm] 0=z+z^{5}+\bruch{1}{8} \gdw [/mm] z= [mm] -z^{5}-\bruch{1}{8}.
[/mm]
Beim Fixpunktsatz sollst du ja zeigen:
Es gibt ein k<1, so dass gilt
|f(y)-f(x)| [mm] \le [/mm] k* |y-x|
Also muss man von der linken Seite zur Rechten umformen:
[mm] |(-y^{5}-\bruch{1}{8})-(-x^{5}-\bruch{1}{8})| [/mm] = ... [mm] \le [/mm] ...
Da gibt es in mehreren Skripts ein paar Tricks, vielleicht kommst du ja auch drauf.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:50 Di 28.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> ich soll folgende Aufgabe zeigen: zeigen sie ,dass das
> Polynom [mm]p:\IC\to\IC[/mm]
> [mm]p(z)=z^5+z+\bruch{1}{8}[/mm] im Kreis B1/2(0) genau eine
> Nullstelle hat. Berechnen Sie eine Näherung.
> ICh muss doch erst [mm]p(0)=\bruch{1}{8}.[/mm] Um zu zeigen,dass es
> nur eine Nullstelle gibt [mm]p´(z)=5z^4+1[/mm] p´(0)=1>0,dh f
> streng mon.wachsend es gibt nur eine nullstelle.
Das ist doch kompletter Unsinn !
Wir sind in [mm] \IC [/mm] ind da haben wir keine Ordnung !
Mach es so, wie meine Vorrednerin es gesagt hat.
Man kan auch den Satz von Rouche heranziehen !
FRED
> Aber wie
> berechne ich die näherung?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:15 Di 28.05.2013 | | Autor: | love |
ich komme nicht drauf :(
[mm] ..=|(-y^5-\bruch{1}{8}-(-x^5-\bruch{1}{8})|=|-y^5+x^5|
[/mm]
hier ist doch dann mein k=1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:35 Di 28.05.2013 | | Autor: | fred97 |
Sei [mm] f(z)=-z^5-\bruch{1}{8}
[/mm]
Für die Anwendung des Fixpunktsatzes sind 2 Sachen zu zeigen:
1. Ist |z| [mm] \le [/mm] 1/2, so ist f(z)| [mm] \le [/mm] 1/2
Kriegst Du das hin ?
2. Es ex. ein k [mm] \in [/mm] (0,1) mit |f(z)-f(w)| [mm] \le [/mm] k|z-w| für |z|,|w| [mm] \le [/mm] 1/2.
Da helf ich Dir mal auf die Sprünge:
Seien z,w [mm] \in \IC [/mm] und |z|,|w| [mm] \le [/mm] 1/2.
Dann:
[mm] |f(z)-f(w)|=|z^5-w^5|=|(z-w)(z^4+z^3w+z^2w^2+zw^3+w^4)| \le |z-w|*(|z|^4+|z|^3|w|+|z|^2|w|^2+|z||w|^3+|w|^4) \le \bruch{5}{16}|z-w|
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:54 Di 28.05.2013 | | Autor: | love |
geht das so?
[mm] |f(z)|=|-z^5-\bruch{1}{8}|
[/mm]
[mm] =-|z^5|-\bruch{1}{8}
[/mm]
[mm] =-1-\bruch{1}{8}
[/mm]
[mm] =-\bruch{9}{8}
[/mm]
[mm] <\bruch{1}{2}
[/mm]
ich hoffe,dass das jetzt zu der ersten teilaufgabe richtig ist:(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:11 Di 28.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> geht das so?
> [mm]|f(z)|=|-z^5-\bruch{1}{8}|[/mm]
> [mm]=-|z^5|-\bruch{1}{8}[/mm]
> [mm]=-1-\bruch{1}{8}[/mm]
> [mm]=-\bruch{9}{8}[/mm]
> [mm]<\bruch{1}{2}[/mm]
> ich hoffe,dass das jetzt zu der ersten teilaufgabe richtig
> ist:(
nein. Ich schaue in einen Abrund ! Denkst Du eigentlich über das , was Du tust auch nach ?
Wohl kaum ! Wie kann denn |f(z)|= [mm] -\bruch{9}{8} [/mm] sein ????
Der komplexe Betrag ist immer [mm] \ge [/mm] 0 !!!
Für |z| [mm] \le [/mm] 1/2 ist
$ |f(z)| [mm] \le |z|^5+\bruch{1}{8} \le \bruch{1}{32}+\bruch{1}{8} \le \bruch{1}{2}$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:38 Di 28.05.2013 | | Autor: | love |
ja tut mir leid fred :( ich weiss dass der betrag >0 sein muss, aber ich kam nicht auf <1/2 :( jetzt muss ich doch nur noch in z einsetzen 0 und dann 1/8 etc oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:43 Di 28.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> ja tut mir leid fred :( ich weiss dass der betrag >0 sein
> muss, aber ich kam nicht auf <1/2 :( jetzt muss ich doch
> nur noch in z einsetzen 0 und dann 1/8 etc oder?
Wozu das denn ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:45 Di 28.05.2013 | | Autor: | love |
da stand noch in der Aufgabe berechnen sie eine Näherung..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:51 Di 28.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> da stand noch in der Aufgabe berechnen sie eine Näherung..
Ach so, Du meinst die Folge [mm] (z_n) [/mm] der sukzessiven Approximationen,
also [mm] z_{n+1}=f(z_n).
[/mm]
Ja, da kannst Du [mm] z_0=0 [/mm] wählen.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:52 Di 28.05.2013 | | Autor: | love |
vielenDank fred97
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