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| Aufgabe | Untersuchen Sie die Abbildung auf Fixpunkte und bestimmen Sie diese. Geben Sie zu jedem Fixpunkt an, ob lokale Konvergenz vorliegt und welche Konvergenzordnung erreicht wird:
[mm] \phi(x1, x2)=0.25x_{1}^2 [/mm] - [mm] 0.5x_{1} [/mm] +1.25
[mm] \phi(x1, x2)=0.1875x_{1}+0.5x_{2}^2+0.25 x_{1}x_{2}+0.125x_{1}+1.75x_{2}-0.3125 [/mm] |
Hi,
ehrlich gesagt habe ich absolut keinen Ansatz. Wäre das Problem eindimensional, so würde ich es mit x gleichsetzen und nach x umstellen, den daraus resultierenden Fixpunkt dann in die 1., 2., ... Ableitung einsetzen, um Konvergenz zu bestimmen.
Aber wie muss ich hier vorgehen?
Beste Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:28 So 09.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Untersuchen Sie die Abbildung auf Fixpunkte und bestimmen
> Sie diese. Geben Sie zu jedem Fixpunkt an, ob lokale
> Konvergenz vorliegt und welche Konvergenzordnung erreicht
> wird:
> [mm]\phi(x1, x2)=0.25x_{1}^2[/mm] - [mm]0.5x_{1}[/mm] +1.25
> [mm]\phi(x1, x2)=0.1875x_{1}+0.5x_{2}^2+0.25 x_{1}x_{2}+0.125x_{1}+1.75x_{2}-0.3125[/mm]
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> Hi,
> ehrlich gesagt habe ich absolut keinen Ansatz. Wäre das
> Problem eindimensional, so würde ich es mit x gleichsetzen
> und nach x umstellen, den daraus resultierenden Fixpunkt
> dann in die 1., 2., ... Ableitung einsetzen, um Konvergenz
> zu bestimmen.
> Aber wie muss ich hier vorgehen?
> Beste Grüße
Kann es sein, dass da steht
$ [mm] \phi_1(x_1, x_2)=0.25x_{1}^2 [/mm] $ - $ [mm] 0.5x_{1} [/mm] $ +1.25
$ [mm] \phi_2(x_1, x_2)=0.1875x_{1}+0.5x_{2}^2+0.25 x_{1}x_{2}+0.125x_{1}+1.75x_{2}-0.3125 [/mm] $
?
Wenn ja, sollst Du möglicherweise [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] so bestimmen, dass
[mm] \phi_1(x_1, x_2)=x_1 [/mm] und [mm] \phi_2(x_1, x_2)=x_2.
[/mm]
Zu bestimmen sind dann Fixpunkte der Abb. [mm] \phi=(\phi_1,\phi_2)
[/mm]
FRED
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Ja genau, das habe ich übersehen.
also setze ich die erste gleichung = [mm] x_{1} [/mm] und die zweite Gleichung = [mm] x_{2} [/mm] und kann es dann mit dem Newtonverfahren lösen?
quasi
[mm] 0=0.25x_{1}^2 [/mm] - [mm] 0.5x_{1}-1.25 -x_{1}
[/mm]
[mm] 0=0.1875x_{1}+0.5x_{2}^2+0.25 x_{1}x_{2}+0.125x_{1}+1.75x_{2}-0.3125 [/mm] - [mm] x_{2}
[/mm]
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Hiho,
> also setze ich die erste gleichung = [mm]x_{1}[/mm] und die zweite
> Gleichung = [mm]x_{2}[/mm] und kann es dann mit dem Newtonverfahren lösen?
> quasi
das "quasi" trifft es ganz gut. So wie die Aufgabe gestellt ist, sollst du ALLE Fixpunkte finden. Da wird das Newton-Verfahren allein dir wohl nicht weiterhelfen ohne weitere Arbeit reinzustecken.
Kennst du denn andere Verfahren?
Es geht hier augenscheinlich wesentlich einfacher.... schau dir mal die erste Fixpunktgleichung an, was fällt dir auf?
Gruß,
Gono.
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