Fixpunkte ermitteln < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:30 Sa 22.04.2006 | | Autor: | Yna |
| Aufgabe | | Gegeben sei die Abbildungsmatrix [mm] A= \pmat{ \bruch{1}{2}\wurzel{3} & -\bruch{1}{2}\\ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{2}\wurzel{3} } [/mm] . Ermitteln Sie die Fixpunkte dieser Abbildung. |
Hallo, ich brauche mal wieder Eure Hilfe.
Soweit ich weiss, sind Fixpunkte Punkte, die gleichzeitig ihr eigener Bildpunkt sind. (Stimmt das soweit?)
Bildpunkte bestimmt man ja so:
[mm] \overrightarrow{OP'} = T * \overrightarrow{OP} [/mm]
Ich habe mir überlegt, dass man vielleicht so
[mm] \pmat{ \bruch{1}{2}\wurzel{3} & -\bruch{1}{2}\\ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{2}\wurzel{3} } * \vektor{x \\ y} = \vektor{x \\ y} [/mm]
auf das Ergebnis kommen könnte. P' muss ja gleich P sein um die Bedingung für eine Fixpunkt zu erfüllen.
Wenn ich das dann auflöse, komme ich irgendwie zu keinem Ergebnis:
[mm]\bruch{1}{2}\wurzel{3}*x - \bruch{1}{2}*y = x[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}*x + \bruch{1}{2}\wurzel{3}*y = y [/mm]
[mm]\bruch{1}{2}\wurzel{3}*x - x= \bruch{1}{2}*y [/mm]
[mm] \bruch{1}{2}*x =y -\bruch{1}{2}\wurzel{3}*y [/mm]
[mm](\bruch{1}{2}\wurzel{3} - 1)*x= \bruch{1}{2}*y [/mm]
[mm] x = (1 -\bruch{1}{2}\wurzel{3})*2y [/mm]
[mm](\bruch{1}{2}\wurzel{3} - 1)* (1 -\bruch{1}{2}\wurzel{3})*2y = \bruch{1}{2}*y [/mm]
an der Stelle stecke ich fest, das y kann man ja einfach kürzen... ich hoffe mir kann jemand einen Tipp geben, wie ich das richtig anstelle. :)
LG,
Yna
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:14 Sa 22.04.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hallo Yna,
> Soweit ich weiss, sind Fixpunkte Punkte, die gleichzeitig
> ihr eigener Bildpunkt sind. (Stimmt das soweit?)
>
> Bildpunkte bestimmt man ja so:
>
> [mm]\overrightarrow{OP'} = T * \overrightarrow{OP}[/mm]
>
> Ich habe mir überlegt, dass man vielleicht so
>
> [mm]\pmat{ \bruch{1}{2}\wurzel{3} & -\bruch{1}{2}\\ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{2}\wurzel{3} } * \vektor{x \\ y} = \vektor{x \\ y}[/mm]
>
> auf das Ergebnis kommen könnte. P' muss ja gleich P sein um
> die Bedingung für eine Fixpunkt zu erfüllen.
Das ist bisher absolut richtig ! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
(naja kürzen darf man nur, wenn y nicht 0 ist...)
mal ein kürzerer Ansatz:
Also die Determinante ist ja 1, deshalb gibt es eine eindeutige Lösung und diese ist als Fixpunkt immer vorhanden : nämlich [mm] $\vektor{0\\0}$
[/mm]
(mache dir mal klar, warum dies immer ein Fixpunkt ist, egal wie die Matrix aussieht)
Allerdings wird dir auch sicher jemand das Gleichungsystem lösen können.
(und weil ich nicht weiß, ob ihr Determinante und eindeutigkeit der Lösung damit schon hattet, mal nur teilweise beantwortet)
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:39 Sa 22.04.2006 | | Autor: | Yna |
> Hallo Yna,
Hallo DaMenge :)
erstmal danke für die Antwort!
> (naja kürzen darf man nur, wenn y nicht 0 ist...)
>
das ist mir schon klar, nur dachte ich irgendwie, dass y nicht 0 sein darf/soll oder sowas ;)
> mal ein kürzerer Ansatz:
> Also die Determinante ist ja 1, deshalb gibt es eine
> eindeutige Lösung und diese ist als Fixpunkt immer
> vorhanden : nämlich [mm]\vektor{0\\0}[/mm]
> (mache dir mal klar, warum dies immer ein Fixpunkt ist,
> egal wie die Matrix aussieht)
> Allerdings wird dir auch sicher jemand das Gleichungsystem
> lösen können.
> (und weil ich nicht weiß, ob ihr Determinante und
> eindeutigkeit der Lösung damit schon hattet, mal nur
> teilweise beantwortet)
Determinanten und auch Eindeutigkeit der Lösung haben wir leider gar nicht gemacht (oder nur ganz am Rande, so dass ich davon gar nichts mehr weiss... ). :/ Ich zweifle auch, dass wir das in den verbliebenen 3 Wochen noch machen werden. ;)
Daher ist mir leider nicht ganz klar, wie du auf das Ergebnis gekommen bist... aber werde mir diese Determinantensache mal selbst anschaun und hoffentlich verstehen. :)
> viele Grüße
> DaMenge
LG,
Yna
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:07 Sa 22.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Yna
> [mm](\bruch{1}{2}\wurzel{3} - 1)* (1 -\bruch{1}{2}\wurzel{3})*2y = \bruch{1}{2}*y[/mm]
>
> an der Stelle stecke ich fest, das y kann man ja einfach
> kürzen... ich hoffe mir kann jemand einen Tipp geben, wie
> ich das richtig anstelle. :)
Wenn du kürzt, dann nur falls [mm] y\ne0 [/mm] aber dann kommt Unsinn raus! Folgerung einzige mögliche Lösung ist y=0! entsprechen bei x.
Wenn ihr schon mehr lin. Algebra gemacht habt, kannst du sehen, dass die Matrix keine reellen Eigenwerte hat, also keinen reelen Eigenvektor.
2. [mm] \bruch{1}{2}*\wurzel{3}=cos30; [/mm] 1/2=sin30. wenn du das siehst, weisst du vielleicht, dass das ne Drehung um den O-Pkt ist , die natürlich nur den fest lässt.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:46 Sa 22.04.2006 | | Autor: | Yna |
> Hallo Yna
Hallo Leduart :)
> > [mm](\bruch{1}{2}\wurzel{3} - 1)* (1 -\bruch{1}{2}\wurzel{3})*2y = \bruch{1}{2}*y[/mm]
>
> Wenn du kürzt, dann nur falls [mm]y\ne0[/mm] aber dann kommt Unsinn
> raus! Folgerung einzige mögliche Lösung ist y=0!
> entsprechen bei x.
aaaha... dann macht das Sinn. ;) Mit dem ungleich 0 war mir schon klar, nur habe ich das einfach als Möglichkeit ausgeschlossen, weil ich dachte genau das macht auch keinen Sinn.
> Wenn ihr schon mehr lin. Algebra gemacht habt, kannst du
> sehen, dass die Matrix keine reellen Eigenwerte hat, also
> keinen reelen Eigenvektor.
Also das sagt mir jetzt nichts...
> 2. [mm]\bruch{1}{2}*\wurzel{3}=cos30;[/mm] 1/2=sin30. wenn du das
> siehst, weisst du vielleicht, dass das ne Drehung um den
> O-Pkt ist , die natürlich nur den fest lässt.
Stimmt, das habe ich nicht gesehen, haben wir aber schon gemacht. Wäre ich von alleine nicht drauf gekommen!
Vielen Dank für deine Hilfe!
> Gruss leduart
LG,
Yna
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:14 So 23.04.2006 | | Autor: | Yna |
Hallo,
ich habe noch eine kleine Frage (hoffe es ist ok, wenn ich die noch hier hin poste?):
wenn ich bei einer solchen Rechnung y=y bzw. x=x herausbekomme, bedeutet das dann genau das Gleiche? Also das mein einziger Fixpunkt (0|0) ist? Bin gerade etwas durcheinander...
LG,
Yna
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:56 Mo 24.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Y
wenn du aus ner Gleichung y=y rauskriegst, heisst das alle y erfüllen die Gleichung. wenn dann etwa noch x=3 rauskommt dann ist die Gerade x=3 Fixgerade.
wenn y=y UND x=x rauskommt dann hast du die Identität, alle Punkte sind Fixpkt! such mal die Fixpunkte von :
[mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
Gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:41 Di 25.04.2006 | | Autor: | Yna |
Hallo Leduart,
bei [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm] käme dann ja auch y=y und x=x heraus. Vielleicht weil das eine Einheitsmatrix ist?
Gruss
Yna
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