Fixpunktiteration < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist die nichtlineare Gleichung f(x)=0 mit [mm] f(x)=\bruch{e^{-x}}{3}-\wurzel{x}
[/mm]
a) Überführen Sie das Problem in ein Fixpunktproblem und formulieren Sie die Iterationsvorschrift der Fixpunktiteration
b) Zeige, dass das Fixpunktproblem eine eindeutige Lösung im Intervall [0,1] hat.
c) Berechnen vom Startvektor [mm] x^{(0)}=0 [/mm] ausgehend, wieviele Schritte k des Fixpunktverfahren mindestens nötig sind, um einen maximalen Fehler [mm] e_{max}=10^{-2} [/mm] zu garantieren. Nutze die Lipschitzkonstante [mm] q=\bruch{2}{9} [/mm] |
Hallo.
Ich präsentiere mal, was ich habe und es wäre nett, wenn mal jemand drüber guckt:
Zu a)
f(x)=0 <=> [mm] e^{-x} [/mm] = 3* [mm] \wurzel{x} [/mm] <=> [mm] \bruch{e^{-2x}}{9}=x [/mm] (Betrag kann man weglassen, da wegen der Wurzel nur positive x-Werte und die 0 zugelassen sind)
Definiere [mm] g(x)=\bruch{1}{9}*e^{-2x}
[/mm]
Fixpunktiteration wäre dann [mm] x^{k+1}=g(x^k)=\bruch{1}{9}*e^{-2x^k}
[/mm]
Zu b)
G:=[0,1] ist abgeschlossen und die Abbildung g ist bzgl. der Menge G eine Selbstabb., denn [mm] g(0)=\bruch{1}{9} [/mm] und [mm] g(1)=\bruch{1}{9e^2}<1
[/mm]
Um Kontraktion zu zeigen, zeige ich, dass [mm] \sup_{x \in G}\parallel [/mm] Dg(x) [mm] \parallel [/mm] <1
[mm] Dg(x)=-\bruch{2}{9}*e^{-2x} [/mm] und in der Norm kann man den e-Term abschätzen <1 und [mm] \bruch{2}{9}<1. [/mm] Also habe ich Kontraktion gezeigt. Der Satz von Banach liefert dann die zu zeigende Aussage.
Zu c)
Ich wollte die Aprioriabschätzung benutzen
[mm] x^{(0)}=0
[/mm]
[mm] x^{(1)}=g(0)=\bruch{1}{9}
[/mm]
[mm] \parallel x^k-x^\* \parallel \le (\bruch{2}{9})^k*\bruch{1}{7}
[/mm]
Nur jetzt bin ich überfragt. Soll ich einfach Werte einsetzen, bis das Ergebnis mindestens 0,1 ist? Das ist eine AUfgabe aus einer Klausur, in der man kein Taschenrechner benutzen darf.
Vielen Dank für jede Antwort
Lieben Gruß
TheBozz-mismo
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Hiho,
> Definiere [mm]g(x)=\bruch{1}{9}*e^{-2x}[/mm]
> Fixpunktiteration wäre dann
> [mm]x^{k+1}=g(x^k)=\bruch{1}{9}*e^{-2x^k}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Zu b)
> G:=[0,1] ist abgeschlossen und die Abbildung g ist bzgl. der Menge G eine Selbstabb.,
> denn [mm]g(0)=\bruch{1}{9}[/mm] und [mm]g(1)=\bruch{1}{9e^2}<1[/mm]
Na das reicht noch nicht als Begründung. Wer sagt dir, dass [mm] $g\left(\frac{1}{2}\right)$ [/mm] nicht 2 ist?
Also mindestens ein Argument fehlt da noch als Begründung…
> Um Kontraktion zu zeigen, zeige ich, dass [mm]\sup_{x \in G}\parallel[/mm] Dg(x) [mm]\parallel[/mm] <1
Wir sind in [mm] $\IR$, [/mm] da solltest du g' schreiben statt Dg
> [mm]Dg(x)=-\bruch{2}{9}*e^{-2x}[/mm]
> und in der Norm
In welcher?
> kann man den e-Term abschätzen <1
1.) Eher [mm] $\le [/mm] 1$
2.) aber auch hier wie oben: Warum?
Wenn du das allerdings oben begründest, brauchst du das hier nicht mehr machen.
> und [mm]\bruch{2}{9}<1.[/mm] Also habe ich Kontraktion gezeigt. Der Satz von Banach liefert dann die zu zeigende Aussage.
>
> Zu c)
> Ich wollte die Aprioriabschätzung benutzen
> [mm]x^{(0)}=0[/mm]
> [mm]x^{(1)}=g(0)=\bruch{1}{9}[/mm]
> [mm]\parallel x^k-x^\* \parallel \le (\bruch{2}{9})^k*\bruch{1}{7}[/mm]
> Nur jetzt bin ich überfragt. Soll ich einfach Werte
> einsetzen, bis das Ergebnis mindestens 0,1 ist?
Nein, denn du sollst ja bis zu einer Genauigkeit von 0,01 gehen.
Aber dafür reicht jetzt hier einsetzen, ja!
Man sieht ja recht schnell, dass k=0 oder k=1 nicht ausreichen, wenn du also bei k=2 anfängst, wird das ein kurzes Spiel…
Gruß,
Gono
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Hallo.
Danke für deine Antwort
> Hiho,
>
> > Definiere [mm]g(x)=\bruch{1}{9}*e^{-2x}[/mm]
> > Fixpunktiteration wäre dann
> > [mm]x^{k+1}=g(x^k)=\bruch{1}{9}*e^{-2x^k}[/mm]
>
>
>
> > Zu b)
> > G:=[0,1] ist abgeschlossen und die Abbildung g ist
> bzgl. der Menge G eine Selbstabb.,
>
> > denn [mm]g(0)=\bruch{1}{9}[/mm] und [mm]g(1)=\bruch{1}{9e^2}<1[/mm]
> Na das reicht noch nicht als Begründung. Wer sagt dir,
> dass [mm]g\left(\frac{1}{2}\right)[/mm] nicht 2 ist?
> Also mindestens ein Argument fehlt da noch als
> Begründung…
>
Meinst du das Argument, dass das Intervall konvex ist, da es eine Gerade aus Zahlenpunkten ist?
>
> > Um Kontraktion zu zeigen, zeige ich, dass [mm]\sup_{x \in G}\parallel[/mm]
> Dg(x) [mm]\parallel[/mm] <1
> Wir sind in [mm]\IR[/mm], da solltest du g' schreiben statt Dg
>
Ok. Merk ich mir.
> > [mm]Dg(x)=-\bruch{2}{9}*e^{-2x}[/mm]
>
>
> > und in der Norm
> In welcher?
>
Ich würde hier die Betragsnorm nehmen, aber spielt ja dann keine Rolle, wenn es ausreicht, dass die Menge konvex ist.
> > kann man den e-Term abschätzen <1
> 1.) Eher [mm]\le 1[/mm]
> 2.) aber auch hier wie oben: Warum?
> Wenn du das allerdings oben begründest, brauchst du das
> hier nicht mehr machen.
>
> > und [mm]\bruch{2}{9}<1.[/mm] Also habe ich Kontraktion gezeigt. Der
> Satz von Banach liefert dann die zu zeigende Aussage.
>
>
>
>
> >
> > Zu c)
> > Ich wollte die Aprioriabschätzung benutzen
> > [mm]x^{(0)}=0[/mm]
> > [mm]x^{(1)}=g(0)=\bruch{1}{9}[/mm]
> > [mm]\parallel x^k-x^\* \parallel \le (\bruch{2}{9})^k*\bruch{1}{7}[/mm]
>
>
>
>
> > Nur jetzt bin ich überfragt. Soll ich einfach Werte
> > einsetzen, bis das Ergebnis mindestens 0,1 ist?
> Nein, denn du sollst ja bis zu einer Genauigkeit von 0,01
> gehen.
> Aber dafür reicht jetzt hier einsetzen, ja!
> Man sieht ja recht schnell, dass k=0 oder k=1 nicht
> ausreichen, wenn du also bei k=2 anfängst, wird das ein
> kurzes Spiel…
>
Ok. Also ich habe [mm] x^{2} [/mm] berechnet und bei mir kommt da [mm] \bruch{1}{e^{\bruch{2}{9}}} [/mm] heraus. Wenn ich nun [mm] x^{(2)}-x^{(1)} [/mm] berechne, dann komme ich auf [mm] \bruch{1}{e^{\bruch{2}{9}}}-\bruch{1}{9}. [/mm] Und ich seh grad nicht, wie ich das per Hand lösen kann.
Oder soll ich alles nochmal in die Apriori-Abschätzung einsetzen?
Kann mir jemand helfen?
Vielen Dank und lieben Gruß
TheBozz-mismo
> Gruß,
> Gono
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:26 Di 11.04.2017 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst doch nur [mm] (2/9)^k*1/7 [/mm] <0,01 bestimmen also [mm] (2/9)^k<0.07 [/mm] bestimmen und da setzt man mal k=2 ein!
Gruß leduart
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Danke. Ich hab es jetzt gecheckt.
Lieben Gruß
TheBozz-mismo
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Hiho,
> Meinst du das Argument, dass das Intervall konvex ist, da
> es eine Gerade aus Zahlenpunkten ist?
nee, das hat gar nix mit dem Intervall zu tun.
Betrachte doch mal bspw.
$g(x) = [mm] 5\sin(\pi [/mm] x)$ da ist $g(0) = 0$ und $g(1) = 0$. Ist das deswegen eine Selbstabbildung auf $[0,1]$?
> Oder soll ich alles nochmal in die Apriori-Abschätzung einsetzen?
Du hast doch die Apriori-Abschätzung schon hingeschrieben!
Setz doch mal k=2 ein!
Gruß,
Gono
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