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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:07 Fr 25.09.2009 | | Autor: | tynia |
| Aufgabe | Die Gleichung x + ln(x) = 0 soll iterativ gelöst werden.
a) Schätzen Sie anhand einer gra fischen Darstellung die Lösung x*.
b) Welche der folgenden Iterationsfunktionen eignet sich nicht zur Berechnung von x*?
- [mm] \Phi_{1}(x)=-ln(x)
[/mm]
- [mm] \Phi_{2}(x)=e^{-x}
[/mm]
- [mm] \Phi_{3}(x)=0.5(x+e^{-x}) [/mm] |
Hallo. Ich habe eine Frage zum obigen Aufgabentyp. Die Aufgabe an sich habe ich verstanden. Ich poste mal meine Lösung.
Zeichnung:
[Dateianhang nicht öffentlich]
x* [mm] \approx [/mm] 0,55
[mm] \Phi_{1}(x)=-ln(x) [/mm] eignet sich nicht, weil [mm] |\Phi_{1}(x)'|<1 [/mm] gelten muss. [mm] |\Phi_{1}(x)'|=|-\bruch{1}{x*}|<1.
[/mm]
[mm] |\Phi_{1}(x)'|=|-\bruch{1}{0,55} \Rightarrow [/mm] |-1,8181| > 1.
Jetzt würde ich aber gerne mal wissen, wie das ist wenn ich so eine Funktion habe, mit 2 Schnittpunkten.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Muss ich dann jede Iterationsfunktion für jedes x* untersuchen? Ich meine jetzt zum Beispiel, wenn ich jetzt einfach die Iterationsfunktion [mm] \Phi_{1}(x)=-ln(x) [/mm] nehmen würde. Würde ich dann die Ableitung bilden und dann für alle beide x* prüfen, ob es kleiner 1 ist?
Danke schonmal
LG
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> Die Gleichung x + ln(x) = 0 soll iterativ gelöst werden.
>
> a) Schätzen Sie anhand einer gra fischen Darstellung die
> Lösung x*.
> b) Welche der folgenden Iterationsfunktionen eignet sich
> nicht zur Berechnung von x*?
> - [mm]\Phi_{1}(x)=-ln(x)[/mm]
> - [mm]\Phi_{2}(x)=e^{-x}[/mm]
> - [mm]\Phi_{3}(x)=0.5(x+e^{-x})[/mm]
> Hallo. Ich habe eine Frage zum obigen Aufgabentyp. Die
> Aufgabe an sich habe ich verstanden. Ich poste mal meine
> Lösung.
>
> Zeichnung:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> x* [mm]\approx[/mm] 0,55
>
> [mm]\Phi_{1}(x)=-ln(x)[/mm] eignet sich nicht, weil [mm]|\Phi_{1}(x)'|<1[/mm]
> gelten muss. [mm]|\Phi_{1}(x)'|=|-\bruch{1}{x*}|<1.[/mm]
> [mm]|\Phi_{1}(x)'|=|-\bruch{1}{0,55} \Rightarrow[/mm] |-1,8181| >
> 1.
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> Jetzt würde ich aber gerne mal wissen, wie das ist wenn
> ich so eine Funktion habe, mit 2 Schnittpunkten.
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Muss ich dann jede Iterationsfunktion für jedes x*
> untersuchen? Ich meine jetzt zum Beispiel, wenn ich jetzt
> einfach die Iterationsfunktion [mm]\Phi_{1}(x)=-ln(x)[/mm] nehmen
> würde. Würde ich dann die Ableitung bilden und dann für
> alle beide x* prüfen, ob es kleiner 1 ist?
>
> Danke schonmal
>
> LG
>
Hallo tynia,
zuerst zu den Zeichnungen: sinnvollerweise solltest
du sie an der x-Achse spiegeln, damit man wirklich
die Graphen der Funktionen [mm] y=\Phi_i(x) [/mm] und $y=x$ vor
sich hat.
Im Fall von zwei oder mehr Schnittpunkten müsste
man jeden einzeln behandeln, möglicherweise also
mit unterschiedlichen [mm] \Phi [/mm] - Funktionen, weil es ja
auf deren lokale Steigung bei jedem Schnittpunkt
ankommt.
LG Al-Chw.
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Gleichungen lösen durch Iteration
> Jetzt würde ich aber gerne mal wissen, wie das ist wenn
> ich so eine Funktion habe, mit 2 Schnittpunkten.
> Muss ich dann jede Iterationsfunktion für jedes x*
> untersuchen?
> Würde ich dann die Ableitung bilden und dann für
> alle beide x* prüfen, ob es kleiner 1 ist?
>
> Danke schonmal
Hallo tynia,
ich habe mir ein Beispiel ausgedacht mit drei Schnitt-
punkten mit unterschiedlichem Verhalten bezüglich
Konvergenz der Iteration:
| Aufgabe | Bestimme alle reellen Lösungen der Gleichung
$\ [mm] x=2*sin(x)+\frac{1}{4}$
[/mm]
durch Iteration [mm] x_{k+1}:=\Phi_i(x_k) [/mm] mit geeigneten Funktionen [mm] \Phi_i(x) [/mm] . |
Die Frage ist vor allem, wie man durch Umformung
der Gleichung auf geeignete [mm] \Phi [/mm] - Funktionen kommt.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Sa 03.10.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Wie kommst du darauf, dass du in die Ableitung das schon fertige Ergebnis einsetzt und dass dann < 1 gelten muss??
Was nützten dir überhaupt diverse Funktionen für eine Iteration, wenn dir die Lösung schon bekannt ist?
Entweder ich verstehe deinen Aufgabentyp nicht, oder bei dir ist einiges durcheinander geraten.
Ich gehe davon aus, dass die Lösung für x im vornherein NICHT bekannt ist.
Aus diesem Grund versucht man diverse Funktionen zu finden, die für die Iteration geeignet sind um überhaupt erst an die Lösung zu kommen!
An eine solche Funktion müssen u.a. folgende Vorraussetzungen gegeben sein (Banachscher Fixpunktsatz):
- die Funktion ist eine Selbstabbildung
- die Funktion verhält sich auf ihrem Def.-Bereich kontrahierend
Wenn du also für die 3 gegebenen Funktionen untersuchen sollst, ob sie für die Fixpunktiteration geeignet sind, solltest du genau diese 2 Sachen überprüfen.
Dazu musst du einen geeigneten Intervall wählen, für den die 2 Bedingungen erfüllt sind (selbstabbildung auf diesem intervall und kontraktion), womit sich auch das "Problem" mit den 2 Lösungen erledigt, denn dich interessiert hier nur eine Lösung für f(x)=0.
Wenn du die Funktion für die Iteration auf einen geeigneten Intervall beschränkst, schliesst das die zweite Lösung ohnehin aus!!!
nochmal zur Kontraktion:
um zu prüfen ob es eine kontraktion ist, setzt du NICHT die Lösung und die Ableitung ein und schaust ob es < 1 ist !!!!!!!
du bildest die ableitung und betrachtest, ob das supremum auf dem betrachteten Intervall < 1 ist!
http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/aussage/aussage681/
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