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Fixpunktiteration: Umformulierung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:37 Fr 17.12.2010
Autor: dennis2

Aufgabe
Gegeben sei die Funktion [mm] f(x)=x^3-x-1 [/mm] mit einer Nullstelle im Bereich [1,2].

a) Warum versagt die Fixpunktiteration [mm] x_{i+1}=f(x_i)+x_i [/mm] mit dem Startwert [mm] x_0=2? [/mm]

b) Formulieren Sie die Iterationsvorschrift um, um für [mm] i\rightarrow\infty [/mm] Konvergenz zu erreichen.

c) Schätzen Sie mit Hilfe von [mm] x_0 [/mm] und [mm] x_1 [/mm] ab, nach wie vielen Schritten der umformulierten Iterationsvorschrift der Fixpunkt mit einem Restfehler von [mm] 10^{-6} [/mm] gefunden wird.


Hallo!

Zu a):

[mm] x_{i+1}=f(x_i)+x_i=x_i^3-x_i-1+x_i=x_i^3-1 [/mm]

Das bedeutet, die zugehörige Iterationsfunktion [mm] \phi [/mm] lautet [mm] \phi(x)=x^3-1. [/mm]

Ich habe mir nun überlegt (motiviert durch ein Beispiel in der Vorlesung), dass man überprüfen könnte, ob die Funktion [mm] \phi [/mm] kontrahierend ist.

Dies ist sie für den Startwert [mm] x_0=2 [/mm] nicht, denn

[mm] |\phi'(x)|=|3x^2| [/mm] und dies nimmt für [mm] x_0=2 [/mm] den Wert 12 an, der größer als 1 ist.

Aus diesem Grund versagt die Fixpunktiteration hier.
Ist das korrekt?

Zu b):

Hier muss man jetzt den Ausdruck aus a) so umformen, dass Kontraktion gilt. Aber mir will nicht die richtige Idee kommen. Sieht hier jemand, wie man umformen könnte?

Zu c):

Hier verwende ich eine Apriori-Fehlerabschätzung, mit der man die Anzahl k der Iterationen abschätzen kann, nämlich:

[mm] ||\overline{x}-x^k||\le \bruch{q^k}{1-q}||x_1-x_0||. [/mm]

Doch ich benötige ja die Iterationsvorschrift aus b), um rechnen zu können.

Darum wäre es sehr nett, wenn mir jemand eine Idee für eine Umformulierung geben könnte.



LG Dennis

        
Bezug
Fixpunktiteration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:04 Fr 17.12.2010
Autor: MathePower

Hallo dennis2,

> Gegeben sei die Funktion [mm]f(x)=x^3-x-1[/mm] mit einer Nullstelle
> im Bereich [1,2].
>  
> a) Warum versagt die Fixpunktiteration [mm]x_{i+1}=f(x_i)+x_i[/mm]
> mit dem Startwert [mm]x_0=2?[/mm]
>  
> b) Formulieren Sie die Iterationsvorschrift um, um für
> [mm]i\rightarrow\infty[/mm] Konvergenz zu erreichen.
>  
> c) Schätzen Sie mit Hilfe von [mm]x_0[/mm] und [mm]x_1[/mm] ab, nach wie
> vielen Schritten der umformulierten Iterationsvorschrift
> der Fixpunkt mit einem Restfehler von [mm]10^{-6}[/mm] gefunden
> wird.
>  
> Hallo!
>  
> Zu a):
>  
> [mm]x_{i+1}=f(x_i)+x_i=x_i^3-x_i-1+x_i=x_i^3-1[/mm]
>  
> Das bedeutet, die zugehörige Iterationsfunktion [mm]\phi[/mm]
> lautet [mm]\phi(x)=x^3-1.[/mm]
>  
> Ich habe mir nun überlegt (motiviert durch ein Beispiel in
> der Vorlesung), dass man überprüfen könnte, ob die
> Funktion [mm]\phi[/mm] kontrahierend ist.
>  
> Dies ist sie für den Startwert [mm]x_0=2[/mm] nicht, denn
>  
> [mm]|\phi'(x)|=|3x^2|[/mm] und dies nimmt für [mm]x_0=2[/mm] den Wert 12 an,
> der größer als 1 ist.
>  
> Aus diesem Grund versagt die Fixpunktiteration hier.
>  Ist das korrekt?


Ja.


>  
> Zu b):
>  
> Hier muss man jetzt den Ausdruck aus a) so umformen, dass
> Kontraktion gilt. Aber mir will nicht die richtige Idee
> kommen. Sieht hier jemand, wie man umformen könnte?


Schreibe mal f(x) so: [mm]\psi^{3}\left(x\right)-x-1=0[/mm]
und löse nach [mm]\psi\left(x\right)[/mm] auf.

[mm]\psi\left(x\right)[/mm] ist dann die neue Iterationsfunktion.

Es gilt dann: [mm]x_{i+1}=\psi\left(x_{i}\right)[/mm]


>  
> Zu c):
>  
> Hier verwende ich eine Apriori-Fehlerabschätzung, mit der
> man die Anzahl k der Iterationen abschätzen kann,
> nämlich:
>  
> [mm]||\overline{x}-x^k||\le \bruch{q^k}{1-q}||x_1-x_0||.[/mm]
>  
> Doch ich benötige ja die Iterationsvorschrift aus b), um
> rechnen zu können.
>  
> Darum wäre es sehr nett, wenn mir jemand eine Idee für
> eine Umformulierung geben könnte.
>  
>
>
> LG Dennis


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Fixpunktiteration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:13 Fr 17.12.2010
Autor: dennis2

$ [mm] \psi^{3}\left(x\right)-x-1=0 [/mm] $

Ich verstehe das leider nicht, begriffsstutzig wie immer.

f(x)=$ [mm] \psi^{3}\left(x\right)-x-1=0 [/mm] $ ??

Bezug
                        
Bezug
Fixpunktiteration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:22 Fr 17.12.2010
Autor: MathePower

Hallo dennis2,

> [mm]\psi^{3}\left(x\right)-x-1=0[/mm]
>  
> Ich verstehe das leider nicht, begriffsstutzig wie immer.
>  
> f(x)=[mm] \psi^{3}\left(x\right)-x-1=0[/mm] ??


Die gegebene Iterationsvorschrift [mm]\phi\left(x\right)[/mm] ist nicht
kontrahierend für den Startwert [mm]x_{0}=2[/mm], daher ist
die inverse Funktion [mm]\psi\left(x\right)[/mm] einzuführen.


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Fixpunktiteration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:39 Fr 17.12.2010
Autor: dennis2

Aufgabe
Hm, es geht mir immer noch kein Licht auf.

Inverse?? Wovon?

Tut mir leid.

Bezug
                                        
Bezug
Fixpunktiteration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:52 Fr 17.12.2010
Autor: MathePower

Hallo dennis2,

> Hm, es geht mir immer noch kein Licht auf.
>  
> Inverse?? Wovon?


Die Inverse der Iterationsfunktion [mm]\phi\left(x\right)[/mm].


>  Tut mir leid.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
Fixpunktiteration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:02 Fr 17.12.2010
Autor: dennis2

Aufgabe
Das wäre dann:

[mm] \phi(x)^{-1}=\bruch{1}{x^3-1} [/mm]

Und das ist nun die neue Iterationsfunktion, mit der das konvergiert?


Denn [mm] x=x^3-1=\phi(x)\gdw \phi(x)^{-1}=\bruch{1}{x^3-1}?? [/mm]

Und daher nimmt man halt diese inverse Funktion, für die ja offensichtlich gilt, dass sie für [mm] x_0=2 [/mm] kontrahierend ist?

Bezug
                                                        
Bezug
Fixpunktiteration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:31 Fr 17.12.2010
Autor: MathePower

Hallo dennis2,

> Das wäre dann:
>  
> [mm]\phi(x)^{-1}=\bruch{1}{x^3-1}[/mm]


Das ist nicht die Inverse zu [mm]\phi\left(x\right)[/mm]

Löse doch die Gleichung

[mm]\phi\left(x\right)=x^{3}-1[/mm]

nach x auf.


>  
> Und das ist nun die neue Iterationsfunktion, mit der das
> konvergiert?


Das sollte so sein.


>  
> Denn [mm]x=x^3-1=\phi(x)\gdw \phi(x)^{-1}=\bruch{1}{x^3-1}??[/mm]
>  
> Und daher nimmt man halt diese inverse Funktion, für die
> ja offensichtlich gilt, dass sie für [mm]x_0=2[/mm] kontrahierend
> ist?


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                
Bezug
Fixpunktiteration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:46 Fr 17.12.2010
Autor: dennis2

Aufgabe
Achja, die Umkehrfunktion ist ja gesucht...
Wie blöd von mir!

[mm] \phi(x)^{-1}=(1+x)^{\bruch{1}{3}} [/mm]

Okay und nun die Ableitung:

Diese lautet [mm] \bruch{1}{3(x+1)^{\bruch{2}{3}}}. [/mm]

Dieser Ausdruck ist dann für [mm] x_0=2 [/mm] <1.



Bezug
                                                                        
Bezug
Fixpunktiteration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:48 Fr 17.12.2010
Autor: MathePower

Hallo dennis2,

> Achja, die Umkehrfunktion ist ja gesucht...
>  Wie blöd von mir!
>  
> [mm]\phi(x)^{-1}=(1+x)^{\bruch{1}{3}}[/mm]


>  Okay und nun die Ableitung:
>  
> Diese lautet [mm]\bruch{1}{3(x+1)^{\bruch{2}{3}}}.[/mm]
>  
> Dieser Ausdruck ist dann für [mm]x_0=2[/mm] <1.
>  


Stimmt. [ok]


Gruss
MathePower  

Bezug
                                                                                
Bezug
Fixpunktiteration: Lösung der Aufgabe
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:59 Fr 17.12.2010
Autor: dennis2

Hier nochmal abschließend die Lösung im Überblick:

a)

[mm] x_{i+1}=f(x_i)+x_i=x_i^3-x_i-1+x_i=x_i^3-1 [/mm]

Die zugehörige Iterationsfkt. lautet demnach

[mm] \phi(x)=x^3-1. [/mm]

Der Startwert sei [mm] x_0=2. [/mm]

[mm] |\phi(2)'|=12>1, [/mm] d.h. die Funktion ist nicht kontrahierend. Darum versagt hier die Fixpunktiteration.

b)

Umformulierung:
[mm] x=\phi(x)=x^3-1\gdw \phi(x)^{-1}=(1+x)^{1/3} [/mm]

Setze daher [mm] \psi(x)=(1+x)^{1/3}. [/mm]
Mit [mm] \psi(x)'=\bruch{1}{3(x+1)^{2/3}} [/mm] folgt dann:
[mm] |\psi(2)'|=0.16025<1. [/mm]

Zudem gilt [mm] \psi([1,2])\subseteq [/mm] [1,2] und somit "funktioniert" das Iterationsverfahren hier.

c)

Man verwende die Apriori-Fehlerabschätzung (*):
[mm] ||\overline{x}-x^k||\le \bruch{q^k}{1-q}||x^1-x^0||. [/mm]

Wobei sich die Anzahl k der nötigen Iterationsschritte ergibt aus:

[mm] k=\log(\bruch{\epsilon (1-q)}{||x^1-x^0||})/\log(q). [/mm]

[mm] max_{x\in [1,2]}|\psi(x)'|=\underbrace{0,16025}_{=q}; [/mm]
[mm] \epsilon=10^{-6}; [/mm]
[mm] x_0=2, x_1=\psi(2)=1.44225 [/mm]

Diese Werte eingesetzt in (*) ergeben, dass ungefähr 7,3 Iterationsschritte nötig sind: Dann ist der Fixpunkt im Intervall [1,2] bis auf einen Restfehler von [mm] 10^{-6} [/mm] approximiert.


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