Fkt. 3. Grades mit 1 Nullstel < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Eine ganzrationale Funktion dritten Grades kann entweder eine, zwei oder drei Nullstellen haben.
Wie müssen a und b zueinander stehen, damit eine Funktion der Form
f(x) = [mm] x^{3} [/mm] + [mm] ax^{2} [/mm] + bx
genau eine Nullstelle hat? |
Ich habe das anhand einer Reihe von Beispielen durchprobiert, aber am Ende kam ich da völlig durcheinander. Da sah ich nur noch irgendwelche Zahlen und Kurven.
Folgende Indizien habe ich gefunden ("Indizien" als Gegensatz zu "Beweis"):
Egal, welche Werte a und b annehmen: alle Kurven gehen durch den Ursprung. Es darf also für [mm] x\not=0 [/mm] keine weiteren Nullstellen geben.
Für die Kombination a=2 / b=1 gibt es genau zwei Nullstellen. Also müsste genau dort die Grenze zwischen einer und drei Nullstellen liegen.
Bei a=3 ergab sich, dass b>2.25 sein muss.
Und bei a=-3 muss 0<b<2.25 sein
Es ist [mm] \bruch{3^{2}}{4} [/mm] = 2.25 , genauso wie [mm] \bruch{2^{2}}{4} [/mm] = 1 ist, wodurch sich ein Zusammenhang von [mm] \bruch{a^{2}}{4} [/mm] = b ergibt.
Aus diesen Indizien ergibt sich:
Falls a>0 ist, dann muss [mm] b>\bruch{a^{2}}{4} [/mm] sein,
falls a<0 ist, dann muss [mm] 0
und falls a=0 ist, dann muss [mm] b\ge0 [/mm] sein,
damit die Funktion f(x) = [mm] x^{3} [/mm] + [mm] ax^{2} [/mm] + bx genau eine Nullstelle hat?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:18 Sa 16.08.2014 | | Autor: | fred97 |
Es ist
$ f(x) = [mm] x^{3} [/mm] + [mm] ax^{2} [/mm] + bx [mm] =x(x^2+ax+b)$
[/mm]
Also:
$f(x)=0$ [mm] \gdw [/mm] $x=0$ oder [mm] $x^2+ax+b=0$.
[/mm]
Das bedeutet: f hat mindestens eine Nullstelle [mm] x_0=0.
[/mm]
Ob und wieviele weitere Nullstellen die Funktion $f$ besitzt, entscheidet die Lösungsmenge der quadratische Gleichung
(*) [mm] $x^2+ax+b=0$.
[/mm]
Für die Gleichung (*) gibt es eine Lösungsformel, benannt nach dem Chinesen Pee Quu.
FRED
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> (*) [mm]x^2+ax+b=0[/mm].
>
> Für die Gleichung (*) gibt es eine Lösungsformel, benannt
> nach dem Chinesen Pee Quu.
Ah, you mean the p-q-Formula ?
p-q : I thought this is what you can see in front of the ladies' restroom when the bus made a stop ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:41 Sa 16.08.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ah, you mean the p-q-Formula ?
>
> p-q : I thought this is what you can see in front of the
> ladies' restroom when the bus made a stop ?
https://img0.etsystatic.com/037/0/7764872/il_340x270.585498824_5prw.jpg
FRED
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![[]](/images/popup.gif) Fred was here
O.K. : das haben wir schon seit längerer Zeit zur Kenntnis genommen ...
Aber eben : meistens ist eben auch rechts die Schlange ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:29 Sa 16.08.2014 | | Autor: | DieAcht |
Widersprich niemals einer Frau, denn sie wird sich von selbst
widersprechen. 
Gruß
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:43 Sa 16.08.2014 | | Autor: | rabilein1 |
> Ob und wieviele weitere Nullstellen die Funktion [mm]f[/mm] besitzt,
> entscheidet die Lösungsmenge der quadratische Gleichung
>
> (*) [mm]x^2+ax+b=0[/mm].
Das ist eine geniale Überlegung.
Das erklärt übrigens auch die Sache mit dem [mm] \bruch{a^{2}}{4}=b
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:42 Sa 16.08.2014 | | Autor: | fred97 |
> > Ob und wieviele weitere Nullstellen die Funktion [mm]f[/mm] besitzt,
> > entscheidet die Lösungsmenge der quadratische Gleichung
> >
> > (*) [mm]x^2+ax+b=0[/mm].
>
> Das ist eine geniale Überlegung.
Nun übertreib mal nicht......
Der "Satz vom Nullprodukt" ist doch Folklore...
FRED
>
> Das erklärt übrigens auch die Sache mit dem
> [mm]\bruch{a^{2}}{4}=b[/mm]
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:16 Sa 16.08.2014 | | Autor: | rabilein1 |
> > Das ist eine geniale Überlegung.
>
> Nun übertreib mal nicht......
Ich fand deine Überlegung / Formel aus dem Grunde genial, weil ich den halben Tag mit unzähligen Beispielen daran rumprobiert habe, und dann kommt da am Ende so etwas raus wie dieser Wurzelausdruck aus der p-q-Formel.
Manche Probleme erscheinen kompliziert, und die Lösung ist dann ganz einfach (wenn man sie kennt oder darauf kommt)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:50 Sa 16.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Eine ganzrationale Funktion dritten Grades kann entweder
> eine, zwei oder drei Nullstellen haben.
>
>
> Wie müssen a und b zueinander stehen, damit eine Funktion
> der Form
>
> f(x) = [mm]x^{3}[/mm] + [mm]ax^{2}[/mm] + bx
>
> genau eine Nullstelle hat?
Fred hat ja schon eine Methode vorgestellt, hier eine andere, denn
eigentlich brauchen wir keine pq-Formel:
Es ist - wie bei Fred:
[mm] $f(x)=x*(x^2+ax+b)\,.$
[/mm]
Die Gleichung [mm] $g(x)=x^2+ax+b\,$ [/mm] beschreibt offensichtlich den Graph einer nach
oben geöffneten Parabel. Der x-Wert des Scheitelpunkt dieser berechnet
sich aus
[mm] $g\,'(x)=0$ $\iff$ $2x+a=0\,$ $\iff$ $x=-a/2\,,$
[/mm]
und genau dann, wenn der zugehörige y-Wert (echt) positiv ist, hat [mm] $f\,$ [/mm]
genau die Nullstelle [mm] $x=0\,.$
[/mm]
Es ist aber
[mm] $g(-a/2)=a^2/4-a^2/2+b$
[/mm]
und daher
$g(-a/2) > 0$ [mm] $\iff$ $b\,$ $>\,$ $a^2/4\,.$
[/mm]
Also: Für $b > [mm] (a/2)^2$ [/mm] hat [mm] $g\,$ [/mm] keine und [mm] $f\,$ [/mm] damit genau eine Nullstelle.
Mit analogen Überlegungen solltest Du Dich überzeugen können:
Für [mm] $b=(a/2)^2\,$ [/mm] hat [mm] $g\,$ [/mm] genau eine Nullstelle und [mm] $f\,$ [/mm] daher genau zwei.
Für [mm] $b\,$ $<\,$ $(a/2)^2$ [/mm] hat [mm] $g\,$ [/mm] genau zwei und damit [mm] $f\,$ [/mm] genau drei Nullstellen.
P.S. Die Bestimmung des Scheitelpunkts von [mm] $g\,$ [/mm] mit [mm] $g'\,$ [/mm] habe ich nur deswegen
gemacht, weil das so relativ elegant ist. Natürlich könntest Du den
Scheitelpunkt auch mit quadratischer Ergänzung herleiten.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:08 Sa 16.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Eine ganzrationale Funktion dritten Grades kann entweder
> eine, zwei oder drei Nullstellen haben.
>
>
> Wie müssen a und b zueinander stehen, damit eine Funktion
> der Form
>
> f(x) = [mm]x^{3}[/mm] + [mm]ax^{2}[/mm] + bx
>
> genau eine Nullstelle hat?
> Ich habe das anhand einer Reihe von Beispielen
> durchprobiert, aber am Ende kam ich da völlig
> durcheinander. Da sah ich nur noch irgendwelche Zahlen und
> Kurven.
>
>
> Folgende Indizien habe ich gefunden ("Indizien" als
> Gegensatz zu "Beweis"):
>
> Egal, welche Werte a und b annehmen: alle Kurven gehen
> durch den Ursprung. Es darf also für [mm]x\not=0[/mm] keine
> weiteren Nullstellen geben.
>
> Für die Kombination a=2 / b=1 gibt es genau zwei
> Nullstellen. Also müsste genau dort die Grenze zwischen
> einer und drei Nullstellen liegen.
>
> Bei a=3 ergab sich, dass b>2.25 sein muss.
> Und bei a=-3 muss 0<b<2.25 sein
>
>
> Es ist [mm]\bruch{3^{2}}{4}[/mm] = 2.25 , genauso wie
> [mm]\bruch{2^{2}}{4}[/mm] = 1 ist, wodurch sich ein Zusammenhang von
> [mm]\bruch{a^{2}}{4}[/mm] = b ergibt.
>
>
> Aus diesen Indizien ergibt sich:
>
> Falls a>0 ist, dann muss [mm]b>\bruch{a^{2}}{4}[/mm] sein,
> falls a<0 ist, dann muss [mm]0
das letzte passt nicht zu meinem Ergebnis und da kann ich auch ein
Gegenbeispiel liefern:
betrachte [mm] $f(x):=x^3+(-4)*x^2+1.5*x\,,$
[/mm]
diese hat 3 Nullstellen, obwohl $a=-4 < [mm] 0\,$ [/mm] und $0 < 1.5=b < 16/4=4$ gilt.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:49 So 17.08.2014 | | Autor: | rabilein1 |
> das letzte passt nicht zu meinem Ergebnis und da kann ich
> auch ein Gegenbeispiel liefern:
>
> betrachte [mm]f(x):=x^3+(-4)*x^2+1.5*x\,,[/mm]
>
> diese hat 3 Nullstellen, obwohl [mm]a=-4 < 0\,[/mm] und [mm]0 < 1.5=b < 16/4=4[/mm]
> gilt.
Das ist richtig. Ich hatte auch nicht alle Möglichkeiten durchprobiert, bzw. hätte die Fallunterscheidungen mit a>0 und a<0 gar nicht machen müssen. da [mm] b>\bruch{a^{2}}{4} [/mm] immer gilt.
Das wusste ich zu dem Zeitpunkt aber noch nicht.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:03 So 17.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hi,
>
> > das letzte passt nicht zu meinem Ergebnis und da kann ich
> > auch ein Gegenbeispiel liefern:
> >
> > betrachte [mm]f(x):=x^3+(-4)*x^2+1.5*x\,,[/mm]
> >
> > diese hat 3 Nullstellen, obwohl [mm]a=-4 < 0\,[/mm] und [mm]0 < 1.5=b < 16/4=4[/mm]
> > gilt.
>
> Das ist richtig. Ich hatte auch nicht alle Möglichkeiten
> durchprobiert, bzw. hätte die Fallunterscheidungen mit a>0
> und a<0 gar nicht machen müssen. da [mm]b>\bruch{a^{2}}{4}[/mm]
> immer gilt.
Du meinst, dass im Falle $b > [mm] a^2/4$ [/mm] das Gefragte immer gilt. (Eigentlich sogar
genau dann!)
> Das wusste ich zu dem Zeitpunkt aber noch nicht.
Macht ja nichts, ich wollte nur das ursprüngliche 'Ergebnis' Deinerseits
korrigieren.
Gruß,
Marcel
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Hallo!
Naja, was ist aber, wenn 0 keine NST ist und das Raten einer NST mal nicht klappt?
Dann kann man die Ableitungen betrachten. Wenn es nur ein Extremum gibt ( wie bei [mm] x^3 [/mm] ), ist die Funktion monoton steigend/fallend und es gibt nur eine NST. Ansonsten muß man testen, ob die zwei Extrema beide entweder oberhalb oder unterhalb der x-Achse liegen.
Aber hier gibt es ja eine sehr elegante Lösung ohne Ableiten.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:51 Mo 18.08.2014 | | Autor: | rabilein1 |
> Hallo!
>
> Naja, was ist aber, wenn 0 keine NST ist und das Raten
> einer NST mal nicht klappt?
>
> Dann kann man die Ableitungen betrachten...
> Aber hier gibt es ja eine sehr elegante Lösung ohne Ableiten.
Bevor ich die (recht vereinfachte) Ursprungsaufgabe hatte, hatte ich eine Aufgabe mit anderen Zahlen.
So etwa wie [mm] f(x)=x^{3}-ax^{2}+3x-10
[/mm]
und man sollte feststellen, für welche a es genau eine Nullstelle gibt.
Dann kam nach Ableiten, Einsetzen und Vereinfachen am Ende so etwas raus wie
[mm] -2a^{3}-2a^{2}\wurzel{a^{2}-3}+9a+6\wurzel{a^{2}-3}=5,
[/mm]
und da müsste man dann das a bestimmen, um zu sehen, wo es genau zwei Nullstellen gäbe.
Da gilt dann wohl eher das Motto "Probieren geht über Studieren", d.h. anstelle von Ableiten, Einsetzen und Vereinfachen, wo man am Ende mit einer ebenso komplizierten Formel dasteht wie am Anfang und daher kein bisschen weiter ist, wäre es wohl zielführender, den Graphen mit unterschiedlichen a zu zeichnen (bzw. von einem Programm zeichnen zu lassen).
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:58 Mo 18.08.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> > Aber hier gibt es ja eine sehr elegante Lösung ohne
> Ableiten.
>
> Bevor ich die (recht vereinfachte) Ursprungsaufgabe hatte,
> hatte ich eine Aufgabe mit anderen Zahlen.
> So etwa wie [mm]f(x)=x^{3}-ax^{2}+3x-10[/mm]
> und man sollte feststellen, für welche a es genau eine
> Nullstelle gibt.
Und dann ist die Aufgabe eben genau so gemeint, dass man diejenigen a bestimmen soll, für welche der Tiefpunkt der Funktion psoitiv ist oder das Schaubild keine Extrema besitzt.
>
> Dann kam nach Ableiten, Einsetzen und Vereinfachen am Ende
> so etwas raus wie
> [mm]-2a^{3}-2a^{2}\wurzel{a^{2}-3}+9a+6\wurzel{a^{2}-3}=5,[/mm]
Wenn man im Rahmen einer Abituraufgabe nach Ausschluss möglicher Fehler auf eine solche Gleichung kommt, darf man mit größter Sicherheit davon ausgehen, dass man etwas völlig falsch verstanden hat.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:12 Mo 18.08.2014 | | Autor: | rabilein1 |
> > Dann kam nach Ableiten, Einsetzen und Vereinfachen am
> > Ende so etwas raus wie
> > [mm]-2a^{3}-2a^{2}\wurzel{a^{2}-3}+9a+6\wurzel{a^{2}-3}=5,[/mm]
>
> Wenn man im Rahmen einer Abituraufgabe nach Ausschluss
> möglicher Fehler auf eine solche Gleichung kommt, darf man
> mit größter Sicherheit davon ausgehen, dass man etwas
> völlig falsch verstanden hat.
Das Problem ist ja, dass man vorher nie weiß / nie abschätzen kann, ob sich die Gleichung eventuell "in Wohlgefallen auflöst" (sprich: das Meiste wegfällt, weil sich gewisse Ausdrücke gegenseitig aufheben).
Selbst ein komplizierter Ausdruck muss ja nicht von vorneherein falsch sein; sicherlich hat der obige Ausdruck auch irgendwelche Lösungen.
Okay, bei Abituraufgaben weiß man eventuell "aus Erfahrung", bis zu welchem Schwierigkeitsgrad eine Formel, auf die man kommt, sein darf. Zum Beispiel: Gnazrationale Funktion zweiten Grades ist okay; ein gemischter Ausdruck mit Wurzeln (wie oben) ist mit "einfachen Mitteln" nicht lösbar, und deshalb muss ein Fehler (Denk- oder Rechenfehler) vorliegen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:49 Di 19.08.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
>
> > > Dann kam nach Ableiten, Einsetzen und Vereinfachen am
> > > Ende so etwas raus wie
> > >
> [mm]-2a^{3}-2a^{2}\wurzel{a^{2}-3}+9a+6\wurzel{a^{2}-3}=5,[/mm]
> >
> > Wenn man im Rahmen einer Abituraufgabe nach Ausschluss
> > möglicher Fehler auf eine solche Gleichung kommt, darf man
> > mit größter Sicherheit davon ausgehen, dass man etwas
> > völlig falsch verstanden hat.
>
> Das Problem ist ja, dass man vorher nie weiß / nie
> abschätzen kann, ob sich die Gleichung eventuell "in
> Wohlgefallen auflöst" (sprich: das Meiste wegfällt, weil
> sich gewisse Ausdrücke gegenseitig aufheben).
>
> Selbst ein komplizierter Ausdruck muss ja nicht von
> vorneherein falsch sein; sicherlich hat der obige Ausdruck
> auch irgendwelche Lösungen.
>
> Okay, bei Abituraufgaben weiß man eventuell "aus
> Erfahrung", bis zu welchem Schwierigkeitsgrad eine Formel,
> auf die man kommt, sein darf. Zum Beispiel: Gnazrationale
> Funktion zweiten Grades ist okay; ein gemischter Ausdruck
> mit Wurzeln (wie oben) ist mit "einfachen Mitteln" nicht
> lösbar, und deshalb muss ein Fehler (Denk- oder
> Rechenfehler) vorliegen.
>
Auch Wurzelgleichungen sind in einem gewissen Rahmen lösbar, da man sie durch Potenzieren ja stets in algebraische Gleichungen umwandeln kann. Mir ging es hier um etwas anderes (ich ging davon aus, dass du auch Nachhilfeunterricht gibst?): Solche Fragestellungen haben im Rahmen von Abituraufgaben einen Kontext, der einem meist schon verrät, um welche Art von Ansatz es geht.
Man sollte also solche Probleme zumindest dann, wenn man das hier erarbeitete Wissen an Schüler weitergibt, im Zusammenhang der ganzen Aufgabe bearbeiten und nicht isoliert, was ja eben, wie hier zu sehen ist zu falschen oder unnötig komplizierten Ansätzen führt.
Wenn man sich mit einer solchen Aufgabe nur für sich selbst 'just for fun' sozusagen herumschlägt, dann sieht das natürlich anders aus.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:43 Di 19.08.2014 | | Autor: | rabilein1 |
> Wenn man sich mit einer solchen Aufgabe nur für sich
> selbst 'just for fun' sozusagen herumschlägt, dann sieht
> das natürlich anders aus.
Ich hatte mir die Augabe "just for fun" gestellt, wusste also von vorneherein gar nicht, ob es eine ausrechenbare Lösung gibt und wie diese aussieht.
Dass es grundsätzlich eine Lösung gibt, war mir zwar klar: Da jede ganzrationale Funktion dritten Grades entweder eine, zwei oder drei Nullstellen hat, muss es also für jede solche Funktion auch eine Lösungsmenge mit genau einer Nullstelle geben. Nur wie man auf die Lösung kommt, wusste ich vorher nicht.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:46 Mo 18.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo rabilein,
> > Hallo!
> >
> > Naja, was ist aber, wenn 0 keine NST ist und das Raten
> > einer NST mal nicht klappt?
> >
> > Dann kann man die Ableitungen betrachten...
>
> > Aber hier gibt es ja eine sehr elegante Lösung ohne
> Ableiten.
>
> Bevor ich die (recht vereinfachte) Ursprungsaufgabe hatte,
> hatte ich eine Aufgabe mit anderen Zahlen.
> So etwa wie [mm]f(x)=x^{3}-ax^{2}+3x-10[/mm]
> und man sollte feststellen, für welche a es genau eine
> Nullstelle gibt.
>
> Dann kam nach Ableiten, Einsetzen und Vereinfachen am Ende
> so etwas raus wie
> [mm]-2a^{3}-2a^{2}\wurzel{a^{2}-3}+9a+6\wurzel{a^{2}-3}=5,[/mm]
> und da müsste man dann das a bestimmen, um zu sehen, wo
> es genau zwei Nullstellen gäbe.
>
> Da gilt dann wohl eher das Motto "Probieren geht über
> Studieren", d.h. anstelle von Ableiten, Einsetzen und
> Vereinfachen, wo man am Ende mit einer ebenso komplizierten
> Formel dasteht wie am Anfang und daher kein bisschen weiter
> ist, wäre es wohl zielführender, den Graphen mit
> unterschiedlichen a zu zeichnen (bzw. von einem Programm
> zeichnen zu lassen).
nein, das kann man anders lösen: Wir betrachten
[mm] $f(x)=x^3-ax^2+3x-10\,.$
[/mm]
Dann ist
[mm] $f\,'(x)=3x^2-2ax+3=3*(x^2-\tfrac{2a}{3}x+1)\,,$
[/mm]
also
[mm] $f\,'(x)=0$ [/mm]
[mm] $\iff$
[/mm]
[mm] $x=x_{1,2}:=\frac{a}{3}\pm \sqrt{\frac{a^2-9}{9}}\,.$
[/mm]
Ferner ist
[mm] $f\,''(x)=6x-2a\,.$
[/mm]
Also ist
[mm] $f\,'(x_{1,2})=\pm \sqrt{\frac{a^2-9}{9}}\,.$
[/mm]
Für $|a| > [mm] 3\,$ [/mm] liegt also an [mm] $x_1=\frac{a}{3}+ \sqrt{\frac{a^2-9}{9}}$ [/mm] ein Minimum vor, und an
[mm] $x_2=\frac{a}{3}- \sqrt{\frac{a^2-9}{9}}$ [/mm] ein Maximum.
Für $|a| < [mm] 3\,$ [/mm] hat [mm] $f\,'$ [/mm] keine Nullstellen. Was bedeutet das wohl?
Die Fälle [mm] $a=3\,$ [/mm] bzw. [mm] $a=-3\,$ [/mm] würde ich gesondert behandeln. (Unter Einbeziehung
obiger Rechenergebnisse).
Im Falle $|a| > [mm] 3\,$:
[/mm]
Berechne mal
[mm] $f(x_1)$ [/mm] und [mm] $f(x_2)\,.$
[/mm]
Damit kannst Du weiter argumentieren...
(Diophants Ergebnis ist ja schon relativ verkürzt: Dass die Aufgabe äquivalent
dazu ist, dass der Graph der Funktion keine Extrema hat oder dass der
(lokale) Tiefpunkt *positiv ist* [gemeint ist hier der y-Wert dieses Punktes],
hätte ich so direkt nicht gesehen. Ich hätte gesagt, dass Folgendes gleichwertig
zur Aufgabenstellung ist:
- Der lokale Tiefpunkt muss echt oberhalb der x-Achse liegen
ODER
- Der lokale Hochpunkt muss echt unterhalb der x-Achse liegen
ODER
- Die Funktion hat keine Extrema.
Man kann sicher nachrechnen, dass der lokale Hochpunkt, wenn es denn
einen gibt, immer oberhalb der x-Achse liegt (das habe ich jetzt nur mit
einem Funktionenplotter, der auch Parametereingabe erlaubt, geprüft):
Es wäre also [mm] $f(x_2) [/mm] > [mm] 0\,.$
[/mm]
Daher dann Diophants Charakterisierung der Aufgabenstellung.)
P.S. Auch, wenn es hier nie so richtig erwähnt wird: Hier spielt eigentlich
der Zwischenwertsatz, also die Stetigkeit (der erwähnten Funktionen),
irgendwie immer mit.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:00 Mo 18.08.2014 | | Autor: | rabilein1 |
> Also ist
>
> [mm]f\,'(x_{1,2})=\pm \sqrt{\frac{a^2-9}{9}}\,.[/mm]
Genau so weit war ich ja auch. Und dann hatte ich diese Werte in die Ausgangsgleichung eingesetzt, so dass die x wegfielen und nur noch a auftauchte. Und genau an der Stelle wurde Gleichung dann so kompliziert (bis unlösbar)
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> Hallo!
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> Naja, was ist aber, wenn 0 keine NST ist und das Raten
> einer NST mal nicht klappt?
>
> Dann kann man die Ableitungen betrachten. Wenn es nur ein
> Extremum gibt ( wie bei [mm]x^3[/mm] ), ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Die Funktion mit $\ f(x)\ =\ [mm] x^3\qquad (x\in\IR)$ [/mm] hat gar kein Extremum,
weder ein lokales noch ein globales !
Gemeint hast du möglicherweise: "Wenn die Ableitungsfunktion f'
nur eine Nullstelle hat, dann ......"
Und besser wäre dann gewesen: "Wenn f'(x) höchstens eine Nullstelle hat, dann ......"
(immer in Bezug auf kubische Funktionen)
> ist die Funktion monoton
> steigend/fallend und es gibt nur eine NST. Ansonsten muß
> man testen, ob die zwei Extrema beide entweder oberhalb
> oder unterhalb der x-Achse liegen.
LG , Al-Chw.
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![[]](https://img0.etsystatic.com/037/0/7764872/il_340x270.585498824_5prw.jpg){kind=small}
Fred was here![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]"){kind=small}
![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]"){kind=small}
