Fkt. komplex differenzierbar? < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimme die Punkte [mm] $z_{0}\in\IC$ [/mm] wo die folgenden auf [mm] \IC [/mm] definierten Funktionen komplex differenzierbar sind:
1) $f(x+i*y) = x*y + i*x*y\ $
2) $g(z) = [mm] y^{2}*\sin(x) [/mm] + i*y$
3) $h(z) = |z|\ $ |
Hallo!
Ich habe Fragen zur partiellen / totalen Differenzierbarkeit und eben zu den Aufgaben oben:
A. 1) Es ist ja $f(x+i*y) = u(x,y) + i*v(x,y)\ $ mit $u(x,y) = v(x,y) = x*y\ $.
Aus den CR-DGL folgt: x = y und x = -y, also kann f nur in z = 0 komplex differenzierbar sein.
Ich frage mich nun: Muss ich noch zeigen, dass u und v (total) differenzierbar in (0,0) sind? Oder ist das klar? Wieso ist das "klar"? - ich kenne mich mit mehrdimensionaler Differenzierbarkeit noch nicht so aus...
A. 2) Hier ist $f(x+i*y) = u(x,y) + i*v(x,y)\ $ mit $u(x,y) = [mm] y^{2}*\sin(x)$, [/mm] $v(x,y) = y\ $.
Die CR-DGL liefern die Gleichungen
(I) [mm] $\frac{\partial u}{\partial x} [/mm] = [mm] y^{2}*\cos(x) [/mm] = 1 = [mm] \frac{\partial v}{\partial y}$
[/mm]
(II) [mm] $\frac{\partial u}{\partial y} [/mm] = [mm] 2*y*\sin(x) [/mm] = 0 = [mm] -\frac{\partial v}{\partial x}$
[/mm]
Aus (II) folgt $y = 0$ oder [mm] $\sin(x) [/mm] = 0$. Da $y = 0$ die Gleichung in (I) nicht erfüllt, muss [mm] $\sin(x) [/mm] = 0$ sein, also $x = [mm] k*\pi$ (k\in\IZ).
[/mm]
Aus (I) erhalten wir wegen [mm] $y^{2}\ge [/mm] 0$, dass nur noch $x = [mm] 2*k*\pi$ (k\in\IZ) [/mm] in Frage kommt, und dazu y = 1 bzw. y= -1.
--> Alle komplexen Zahlen der Form $z = x+i*y = [mm] 2*k*\pi \pm [/mm] i$ kommen in Frage.
Wieso weiß ich, dass die Funktionen u,v auch total differenzierbar in diesen x bzw. y sind?
A. 3) $f(z) = |z| = [mm] \sqrt{x^{2} + y^{2}}$. [/mm] Aus den CR-DGL folgt zunächst x = 0 und y = 0. Allerdings ex. die partiellen Ableitungen an dieser Stelle doch gar nicht... - was ist hier zu tun?
Ich dachte eigentlich auch, dass die Funktion "einfach" genug ist, das Kriterium für komplexe Differenzierbarkeit direkt zu untersuchen. Aber ich komme nicht weiter [mm] (h\in\IC) [/mm] :
[mm] $\lim_{h\to 0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h} [/mm] = [mm] \lim_{h\to 0}\frac{|z+h|-|z|}{h} [/mm] = [mm] \lim_{h\to 0}\frac{(z+h)*\overline{(z+h)}-z*\overline{z}}{h*(|z+h| + |z|)} [/mm] = [mm] \lim_{h\to 0}\frac{1}{|z+h|+|z|}*\frac{z*\overline{h} + \overline{z}*h + |h|^{2}}{h}$...
[/mm]
Bringt mir das was?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:12 Di 04.05.2010 | | Autor: | fred97 |
Zu 1. und 2.:
Die Punkte in denen f bzw. g komplex differenzierbar sind hast Du richtig berechnet. Zur totalen Differenzierbarkeit von u und v:
Zunächst sind u und v partiell differenzierbar nach x und y. Die partiellen Ableitungen [mm] u_x, u_y, v_x [/mm] und [mm] v_y [/mm] sind von so einfacher Bauart, dass man getrost sagen kann, dass sie alle stetig sind.
Jetzt kommt ein Satz der Analysis, der besagt: dann sind u und v total differenzierbar.
Zu 3: Nimm mal an [mm] z_0 [/mm] sei ein Punkt in dem f komplex differenzierbar ist. Dann ist auch [mm] f^2 [/mm] in [mm] z_0 [/mm] komplex differenzierbar. Nun ist [mm] f^2(z) =x^2+y^2. [/mm]
[mm] f^2 [/mm] ist tadellos total diffbar. Die Cauchy _RiemannschenDGLn sagen nun: [mm] z_0=0. [/mm] Wie Du richtig festgestellt hast ist f in [mm] z_0 [/mm] noch nicht mal partiel diffbar. Somit kann f in [mm] z_0 [/mm] nicht komplex diffbar sein
f ist also in keinem Punkt komplex diffbar.
FRED
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Hallo Fred,
vielen Dank für deine Antwort!
Hat mir sehr geholfen!
Grüße,
Stefan
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