Fl.inhalt-2 graphen u. x-Achse < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:02 Mo 19.03.2012 | | Autor: | MirjamKS |
| Aufgabe | Berechne den Inhalt der von den Graphen von f und g eingeschlossenen Fläche.
[mm] f(x)=4x^2 [/mm] - 5x + 3
[mm] g(x)=2x^2 [/mm] - 3x + 15 |
Zunächst habe ich die Graphen gleichgesetzt, da kam raus:
[mm] x^2 [/mm] - x - 6 = 0
Durch die PQ-Formel hab ich dann die beiden Nullstellen der gleichgesetzten Gleichung ausgerechnet: x1= 3 und
x2= -2
Dann habe ich die Integrale beider Funktionen ausgerechnet und den Flächeninhalt der unten liegenden Funktion (f(x)) von der oben liegenden Funktion (g(x)) abgezogen.
Also erstmal für das Integral mit den Grenzen 0 und 3.
Da kam dann 15 raus.
Das gleiche habe ich für das Integral mit den Grenzen -2 und 0 gemacht. Da kam dann raus: [mm] \bruch{44}{3}
[/mm]
Stimmt das?
Gerne füge ich meine Rechnung auch hier ein :)
Lg :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:08 Mo 19.03.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mirjam!
Bis zur Ermittlung der Schnittpunkte kann ich Dir folgen. Ich habe auch dieselben Werte erhalten.
Aber warum berechnest Du plötzlich Integrale in den Intervallen $0...3_$ bzw. $-2...0_$ ?
Die gesuchte Fläche berechnet sich zu:
$A \ = \ [mm] \integral_{-2}^{3}{g(x)-f(x) \ dx} [/mm] \ = \ ...$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 Mo 19.03.2012 | | Autor: | MirjamKS |
Unser Lehrer hat gesagt, wir sollen alles was links von 0 liegt nochmal extra berechnen, da sich ja sonst die Fläche von -2 bis 0 von der Fläche von 0 bis 3 automatisch abzieht und dann kommt nicht der richtige Flächeninhalt raus.
Ist das so nicht richtig?
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Was meinst du mit automatisch abzieht ?
Du hast doch die Schnittpunkte von den einzelnen Graphen.
Jetzt gibt es quasi 2 Möglichkeiten , die Fläche auszurechnen.
Entweder du bildest eine Differenzfunktion , oder du integrierst beides einzeln.
Also , zum Beispiel die Differenzfunktion:
$ [mm] f(x)=4x^2 [/mm] $ - 5x + 3
$ [mm] g(x)=2x^2 [/mm] $ - 3x + 15
d(x) = f(x)-g(x)
Also :
[mm] 4x^{2} [/mm] - 5x +3 = [mm] 2x^{2} [/mm] - 3x +15
[mm] 2x^{2} [/mm] -2x -12 = 0
Das heißt , deine Differenzfunktion heißt d(x)= [mm] 2x^{2} [/mm] - 2x-12.
Deine Schnittpunkte sind ja -2 und 3.
Das heißt du hast deine Integrationsgrenzen:
[mm] \integral_{-3}^{2}{d(x) dx}
[/mm]
ODER :
[mm] \integral_{-3}^{2}{f(x)-g(x) dx}
[/mm]
Du meinst mit abziehen glaube ich eine negative Fläche ?
Wenn ihr eine sog. Flächenbilanz ausrechnen wollt , dann ist das mit dem negativen Vorzeichen ja richtig.
Wenn aber nach der Fläche gefragt wird , wie hier , dann musst du einfach von dem negativen Wert den Betrag nehmen.
Bei deiner Aufgabe kommt jetzt [mm] -\bruch{95}{3} [/mm] raus ,
davon nimmst du jetzt den Betrag.
Also aus Minus wird einfach Plus , das Vorzeichen wird "weggenommen" , also:
A = [mm] \bruch{95}{3}
[/mm]
EDIT: Du kannst natürlich auch [mm] \integral_{-3}^{0}{f(x)-g(x) dx} [/mm] und [mm] \integral_{0}^{2}{f(x)-g(x) dx} [/mm] berechnen , hast dann zwei Teilflächen , die du danach addieren musst.
Dauert aber länger , ist aber richtig.
EDIT2 : Wenn man natürlich weiß , was die obere und die untere Funktion ist , kann man diesen negativen Wert vermeiden , muss man aber nicht.
Bei mir ist es zum Beispiel Gewohnheit , dass ich immer mit f(x) anfange und wenn ein negativer Wert rauskommt , mache ich daraus einfach einen positiven.
Also [mm] \integral_{-3}^{2}{g(x)-f(x) dx} [/mm] , wie Loddar schon gesagt hat , würde auch gehen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:28 Mo 19.03.2012 | | Autor: | MirjamKS |
Wir rechnen aber nicht mit Betrag.
Deswegen sollen wir das einzeln ausrechnen, sonst wird das zu unübersichtlich.
Komisch, ich hab ja raus: 15 umd [mm] \bruch{44}{3}
[/mm]
Das ergibt insgesant: [mm] \bruch{89}{3}
[/mm]
Hm ist leider nicht dasselbe
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> Wir rechnen aber nicht mit Betrag.
Werdet ihr aber bestimmt noch , Vorwissen schadet nicht , ist ja auch nicht schwer :)
> Deswegen sollen wir das einzeln ausrechnen, sonst wird das
> zu unübersichtlich.
Eigentlich ist das Einzeln-Ausrechnen unübersichtlicher , aber dein/e Lehrer/in wird sich dabei wohl was gedacht haben.
Also machen wir deine "Taktik":
$ [mm] f(x)=4x^2 [/mm] $ - 5x + 3
$ [mm] g(x)=2x^2 [/mm] $ - 3x + 15
[mm] \integral_{-2}^{0}{f(x)-g(x) dx} [/mm] = [mm] [\bruch{4}{3}x^{3}-\bruch{5}{2}x^{2}+3x]-[\bruch{2}{3}x^{3}-\bruch{3}{2}x^{2}+15x] [/mm]
ZW:
[mm] [\bruch{4}{3}*(-2)^{3} [/mm] - [mm] \bruch{5}{2}*(-2)^{2}+3*(-2)]-[0] [/mm] - [mm] [\bruch{2}{3}*(-2)^{3} [/mm] - [mm] \bruch{3}{2}*(-2)^{2} [/mm] + 15*(-2)]-[0]
Kannst du folgen ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 Mo 19.03.2012 | | Autor: | MirjamKS |
Folgen kann ich schon :)
Aber ich glaube du hast dich mit dne Nullstellen bzw den Grenzen vertan. Einmal muss das doch 3 und 0 sein und beim andren mal -2 und 0.
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Oh ja , gut aufgepasst.
Hab es vertauscht , tut mir Leid , wird natürlich ausgebessert.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:21 Mo 19.03.2012 | | Autor: | MirjamKS |
Jap kann folgen.
Da kommt letztendlich raus: [mm] \bruch{124}{3} [/mm] oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:24 Mo 19.03.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mirjam!
Ganz knapp daneben: ich erhalte [mm]A \ = \ \bruch{12\red{5}}{3} \ = \ 41\bruch{2}{3}[/mm] .
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:26 Mo 19.03.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mirjam!
> Unser Lehrer hat gesagt, wir sollen alles was links von 0
> liegt nochmal extra berechnen, da sich ja sonst die Fläche
> von -2 bis 0 von der Fläche von 0 bis 3 automatisch
> abzieht und dann kommt nicht der richtige Flächeninhalt
> raus.
> Ist das so nicht richtig?
Nein, das ist nicht so richtig. Bei der Ermittlung der Fläche zwischen zwei Funktionen geht man grundsätzlich so vor, wie oben von mir beschrieben.
Man betrachtet die Differenzfunktion $d(x) \ = \ g(x)-f(x)$ (oder umgekehrt) und integriert in den Grenzen der ermittelten Schnittstellen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:32 Mo 19.03.2012 | | Autor: | MirjamKS |
Aber das geht dann doch nur in Betragsstrichen oder?
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> Aber das geht dann doch nur in Betragsstrichen oder?
Es kommt drauf an.
Man kann das nicht verallgemeinern.
Wenn die Aufgabe klar formuliert ist , und zum Beispiel nach einer Fläche gefragt wird , die von 2 Funktionen eingeschlossen wird und als Wert ein negativer Wert rauskommt , dann benutzt man die Betragsstriche.
Außer , wenn du Flächenbilanzen ausrechnest , da nicht , aber das macht man kaum , bei uns jedenfalls , wird nur angesprochen und bisschen gerechnet , wir wollen ja "echte" Flächen haben und eine Fläche kann nicht negativ sein.
Merk dir einfach , wenn nach einer Fläche gefragt wird , und ein negativer Wert rauskommt , zum Beispiel -9 , dann wird daraus 9.
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