Fläche Kreissegment < Sonstiges < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:42 Di 16.06.2009 | | Autor: | flo0 |
| Aufgabe | Gegeben ist der Kreis k [ ( -5 | -7 ); [mm] \wurzel{125} [/mm] ] und die Gerade g: 4x+3y=9. Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte und die Fläche des kleineren Kreissegmentes, das die Gerade g vom Kreis k abschneidet.
Lösungen: [ T1( 0 / 3 ) T2( 6 / -5 ) ; A = 0,005984 [mm] E^2 [/mm] ] |
hi =)
Ich hab die gerade mit dem Kreis geschnitten;
g: 4x+3y=9 --> y = [mm] \bruch{9-4x}{3}
[/mm]
dann hab ich einfach eingesetzt und die beiden Schnittpunkte bekommen
T1 und T2... stimmt alles soweit...
Allerdings weiß ich nicht wie ich die Fläche des Kreissegmentes berechnen soll? Gibt es hierfür eine spezielle Formel oder funktioniert das mit dem Integral? - Wenn ja kann mir das jemand vorrechnen? büdde büdde büdde
Lg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Es geht sicher auch anders, aber elementargeometrisch ist es überschaubar:
Die Fläche des Kreisteils ist die Fläche des Kreisausschnitts minus die Fläche des Dreiecks. Dazu folgende Vorschläge:
1. Deine Gerade beinhaltet ja eine Kreissehne, deren Länge du leicht berechnen kannst (über Pythagoras).
2. Damit (und dem Radius) kannst du den Winkel des Kreisauschnitts berechnen.
3. Damit dann die Fläche des gesamten Kreisausschnitts
4. Mit den Lösungen aus 1. und 2. bekommst du die Fläche des Dreiecks.
5. Subtrahieren, fertig.
Bei der Integration muss man ein bisschen aufpassen, wenn man den Kreis als Funktionsgleichung(en) schreibt - man braucht da ja zwei und muss genau schauen, wie die gesuchte Fläche liegt, um dann auch die richtigen Funktionen zu integrieren. Dafür muss man dann jeweils die Differenz der Funktionen integrieren und alle Abschnitte addieren. So stelle ich mir das vor, hab es aber nicht durchgerechnet.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:44 Di 16.06.2009 | | Autor: | flo0 |
aber sollte der winkel nicht automatisch 180° sein?
ich mein ich hab einen kreis, eine gerade die durchgeht, ist doch automatisch 180° oder?
gibt es dafür nicht eine formel oder so?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:51 Di 16.06.2009 | | Autor: | abakus |
> aber sollte der winkel nicht automatisch 180° sein?
>
> ich mein ich hab einen kreis, eine gerade die durchgeht,
> ist doch automatisch 180° oder?
Hallo,
dass ist nur dann der Fall, wenn die schneidende Gerade durch den Kreismittelpunkt geht.
Es geht um den Winkel, unter dem die beiden Schnittpunkte VOM KREISMITTELPUNKT AUS gesehen werden.
Gruß Abakus
>
> gibt es dafür nicht eine formel oder so?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:02 Di 16.06.2009 | | Autor: | flo0 |
hihi
ja danke habs genau in dem moment gemerkt wo du geantwortet hast :P danke =)
aber ich schaffs trotzdem irgendwie nicht den winkel rauszubekommen =(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:09 Di 16.06.2009 | | Autor: | abakus |
> hihi
>
> ja danke habs genau in dem moment gemerkt wo du geantwortet
> hast :P danke =)
>
> aber ich schaffs trotzdem irgendwie nicht den winkel
> rauszubekommen =(
Hallo,
den Kosinus des Winkels zwischen den beiden Vektoren, die vom Kreismittelpunkt zu den Schnittpunkten führen erhältst du mit dem Skalarprodukt.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:18 Di 16.06.2009 | | Autor: | flo0 |
ich hab gerade gemerkt, könnte man nicht eigentlich den winkel auch so ausrechnen:
ich hab den mittelpunkt M (-5 / -7) vom Kreis und die 2 Schnittpunkte
eigentlich könnte ich doch auch den Vektor [mm] \overline{MT1} [/mm] und [mm] \overline{MT2} [/mm] ausrechnen, und dann mit dem winkelmaß von 2 tangenten
cos [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{\overline{g1}*\overline{g2}}{|\overline{g1}|*|\overline{g2}|}
[/mm]
so müsste ich doch auch den winkel bekommen oder :D?
ich hab nämlich wenn ich ehrlich bin nicht ganz verstanden wie du es gemeint hast =( vll bin ich schon etwas müde sollte mal aufhörn zum lernen :D
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Hallo, genau so, jetzt bestimme die beiden Vektoren, Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:45 Mi 17.06.2009 | | Autor: | flo0 |
Die zwei berührungspunkte zwischen der gerade un dem Kreis auszurechnen ist ja kein Problem, allerdings bekomm ich das mit der kleineren Fläche nicht ganz gebacken: Lösung soll ja A = 0.005984 [mm] E^2 [/mm] sein
k: [mm] (x+5)^2 [/mm] + [mm] (y+7)^2 [/mm] = [mm] \wurzel{125}
[/mm]
g: 4x+3y=9
Schnittpunkte: T1 ( 0 / 3 ) T2 ( 6 / -5 )
gut jetzt berechne ich die Kreissehne:
[mm] \overline{T1T2} [/mm] = [mm] \vektor{6 \\ -5} [/mm] - [mm] \vektor{0 \\ 3} [/mm] = [mm] \vektor{6 \\ -8}
[/mm]
[mm] \wurzel{6^2+8^2} [/mm] = 10
Kreissehne [mm] \overline{T1T2} [/mm] = 10
gut jetzt brauch ich noch den Winkel des Kreisbogens:
hierfür muss ich
[mm] \overline{MT1} [/mm] und [mm] \overline{MT2} [/mm] aufstellen:
[mm] \overline{MT1} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 3} [/mm] - [mm] \vektor{-5 \\ -7} [/mm] = [mm] \vektor{5 \\ 10}
[/mm]
[mm] \overline{MT2} [/mm] = [mm] \vektor{6 \\ -5} [/mm] - [mm] \vektor{-5 \\ -7} [/mm] = [mm] \vektor{11 \\ 2}
[/mm]
cos [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{\vektor{5 \\ 10}*\vektor{11 \\ 2}}{|\vektor{5 \\ 10}|*|\vektor{11 \\ 2}|}
[/mm]
cos [mm] \alpha [/mm] = 53.13010235°
gut jz berechne ich die fläche des gesamten Kreissektors und subtrahiere die Fläche des Dreiecks M T1 T2!
Fläche von Kreissektor:
A = [mm] \bruch{b * r}{2}
[/mm]
b = [mm] \bruch{2r * \pi * \alpha}{360}
[/mm]
b = [mm] \bruch{2 * \wurzel{125} * \pi * 53.13010235}{360}
[/mm]
b = 10.3674
A = [mm] \bruch{10.3674 * \wurzel{125}}{2}
[/mm]
A = 57.955951 [mm] E^2
[/mm]
A - A(Dreieck) = A gesucht
[mm] \overline{MT1} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 3} [/mm] - [mm] \vektor{-5 \\ -7} [/mm] = [mm] \vektor{5 \\ 10}
[/mm]
[mm] \overline{MT2} [/mm] = [mm] \vektor{6 \\ -5} [/mm] - [mm] \vektor{-5 \\ -7} [/mm] = [mm] \vektor{11 \\ 2}
[/mm]
A(Dreieck) = | 5 * 2 - 11 * 10 | = 100
A(Dreieck) = 100 / 2 = 50
A = 57.955951 - 50 = 7.955951
Die Fläche sollte aber A = 0.005984 [mm] E^2
[/mm]
=(=( ich bekomm einfach ned die richtige Lösung raus =(
es gibt ja noch eine zweite Möglichkeit mit der Höhe des Kreissegments, gibts auf wiki eine formel http://de.wikipedia.org/wiki/Kreissegment
habs mit der weise auch probiert, kommt auch irgendwas anderes raus =(
HIIIIIILLLLLFEEEEEE
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Hallo flo0,
> Die zwei berührungspunkte zwischen der gerade un dem Kreis
> auszurechnen ist ja kein Problem, allerdings bekomm ich das
> mit der kleineren Fläche nicht ganz gebacken: Lösung soll
> ja A = 0.005984 [mm]E^2[/mm] sein
>
> k: [mm](x+5)^2[/mm] + [mm](y+7)^2[/mm] = [mm]\wurzel{125}[/mm]
>
> g: 4x+3y=9
>
> Schnittpunkte: T1 ( 0 / 3 ) T2 ( 6 / -5 )
>
> gut jetzt berechne ich die Kreissehne:
>
> [mm]\overline{T1T2}[/mm] = [mm]\vektor{6 \\ -5}[/mm] - [mm]\vektor{0 \\ 3}[/mm] =
> [mm]\vektor{6 \\ -8}[/mm]
>
> [mm]\wurzel{6^2+8^2}[/mm] = 10
>
> Kreissehne [mm]\overline{T1T2}[/mm] = 10
>
> gut jetzt brauch ich noch den Winkel des Kreisbogens:
>
> hierfür muss ich
>
> [mm]\overline{MT1}[/mm] und [mm]\overline{MT2}[/mm] aufstellen:
>
> [mm]\overline{MT1}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 3}[/mm] - [mm]\vektor{-5 \\ -7}[/mm] =
> [mm]\vektor{5 \\ 10}[/mm]
>
> [mm]\overline{MT2}[/mm] = [mm]\vektor{6 \\ -5}[/mm] - [mm]\vektor{-5 \\ -7}[/mm] =
> [mm]\vektor{11 \\ 2}[/mm]
>
> cos [mm]\alpha[/mm] = [mm]\bruch{\vektor{5 \\ 10}*\vektor{11 \\ 2}}{|\vektor{5 \\ 10}|*|\vektor{11 \\ 2}|}[/mm]
>
> cos [mm]\alpha[/mm] = 53.13010235°
>
> gut jz berechne ich die fläche des gesamten Kreissektors
> und subtrahiere die Fläche des Dreiecks M T1 T2!
>
> Fläche von Kreissektor:
>
> A = [mm]\bruch{b * r}{2}[/mm]
>
> b = [mm]\bruch{2r * \pi * \alpha}{360}[/mm]
>
> b = [mm]\bruch{2 * \wurzel{125} * \pi * 53.13010235}{360}[/mm]
Hier mußt Du den Winkel im Bogenmaß (radiant) einsetzen.
>
> b = 10.3674
>
> A = [mm]\bruch{10.3674 * \wurzel{125}}{2}[/mm]
>
> A = 57.955951 [mm]E^2[/mm]
>
> A - A(Dreieck) = A gesucht
>
> [mm]\overline{MT1}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 3}[/mm] - [mm]\vektor{-5 \\ -7}[/mm] =
> [mm]\vektor{5 \\ 10}[/mm]
>
> [mm]\overline{MT2}[/mm] = [mm]\vektor{6 \\ -5}[/mm] - [mm]\vektor{-5 \\ -7}[/mm] =
> [mm]\vektor{11 \\ 2}[/mm]
>
> A(Dreieck) = | 5 * 2 - 11 * 10 | = 100
>
> A(Dreieck) = 100 / 2 = 50
>
> A = 57.955951 - 50 = 7.955951
>
> Die Fläche sollte aber A = 0.005984 [mm]E^2[/mm]
>
> =(=( ich bekomm einfach ned die richtige Lösung raus =(
>
> es gibt ja noch eine zweite Möglichkeit mit der Höhe des
> Kreissegments, gibts auf wiki eine formel
> http://de.wikipedia.org/wiki/Kreissegment
>
> habs mit der weise auch probiert, kommt auch irgendwas
> anderes raus =(
>
> HIIIIIILLLLLFEEEEEE
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 Mi 17.06.2009 | | Autor: | flo0 |
kannst du mir das bitte hinschreiben =( ich weiß ned was ich tun soll =(
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Hallo flo0,
> kannst du mir das bitte hinschreiben =( ich weiß ned was
> ich tun soll =(
rechne den Winkel [mm]\alpha[/mm] vom Gradmaß ins Bogenmaß um:
[mm]\alpha_{\operatorname{Rad}}=2\pi*\bruch{\alpha_{\operatorname{Grad}}}{360^{\circ}}[/mm]
, wobei hier [mm]\alpha_{\operatorname{Grad}}=53.13010235°[/mm] ist.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:57 Mi 17.06.2009 | | Autor: | flo0 |
2* [mm] \pi [/mm] * [mm] \bruch{53.13010235}{360}
[/mm]
da kommt dann 0.92729521 raus
wenn ich das jz einsetze in die formel für die Fläche
[mm] \bruch{0.92729521 * \wurzel{125}}{2}
[/mm]
kommt wieder nicht das richtige raus -.-
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Hallo flo0,
> 2* [mm]\pi[/mm] * [mm]\bruch{53.13010235}{360}[/mm]
>
> da kommt dann 0.92729521 raus
>
> wenn ich das jz einsetze in die formel für die Fläche
>
> [mm]\bruch{0.92729521 * \wurzel{125}}{2}[/mm]
>
> kommt wieder nicht das richtige raus -.-
deine Berechnungen in diesem Artikel stimmen.
Ich denke das Problem ist die Fläche des kleineren Kreissegmentes, welches von der Geraden abgeschnitten wird, zu berechnen.
Dann stellt sich mir die Frage, welches nun das kleinere Kreissegment ist.
Und wie das definiert ist.
Gruss
MathePower
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