Fläche Maximal < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Aus vier gleich breiten Brettern soll eine oben offene Rinne hergestellt werden, so dass zwei ihrer Wände parallel sind.
Wie groß ist der Winkel Alpha zwischen den beiden anderen Wänden zu wählen, damit das Fassungsvermögen der Rinne möglichst groß wird? |
Hi Leute...
Ich finde einfach keinen Ansatz, bzw wie man das anfängt zurechnen? Was muss ich beachten, bzw was soll ich mich fragen? Das Gebilde is ein Rechteck mit einem untergesetzten Dreieck..? Der Winkel gegenüber der hypatenuse ist gesucht..
Gruss Daniel
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:00 So 11.03.2007 | | Autor: | Daox |
Hi!
Das werden ja vermutlich alles lineare Gleichungen sein. Wenn man das im Querschnitt betrachtet würde das ja in etwa so aussehen:
[mm] \bigcup
[/mm]
nur, dass es unten jeweils spitz zuläuft. Die Höhe der parallelen Bretter ist fest, der Abstand aber abhängig vom Winkel. Reicht dir da der Hinweis, dass die Steigung einer Geraden dem Tangens von Winkel entspricht zwischen Graph und x-Achse?
|
|
|
| |
|
Hi sry bin gerade ausversehn eingeschlafen...
ähm ja ich kann mir das jetz vorstellen...
aber wieso sollen das alles linearefunktionen sein?
und dein 2ten tip hab ich auch keine ahnung von...
hab so eine aufgabe einfach nur nie gerechnet und mir fehlen, denke ich, einfach die Basics um sowas zulösen!
Paar Erklärungen vllt, dann würde ich das rechnen können!
Ist der Querschnitt von der Fläche diesers "Körpers" abhänig?
Gruss Daniel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:02 So 11.03.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin daniel,
im prinzip richtig,
ein rechteck mit untergesetztem gleichschenkligem dreieck!
und selbstverständlich ist sowohl der flächeninhalt des dreiecks als auch der flächeninhalt des rechtecks abhängig vom winkel an der spitze des dreiecks. (denn das beeinflusst ja die länge der grundseite des dreiecks). übrigens hyp o tenuse ist meines wissens nur ein ausdruck für rechtwinklige dreiecke...
damit wars das doch schon.
a ist die breite des brettes...
fläche rechteck = a *x
fläche dreieck = 1/2 g* h = 1/2 x * h
[mm] h^2 [/mm] = [mm] a^2 [/mm] - [mm] (x/2)^2 [/mm]
und dann zielfunktion aufstellen und maximum bestimmen.
|
|
|
| |
|
Hallo^^
a=die breite der bretter,sagst du aber auch zugleich die grundseite des dreiecks, die du aber wieder x bennennst??
Und woher bekommst du das [mm] a^2=b^2+c^2 [/mm] .. Das is doch kein rechtwinkeliges Dreieck? hmm
Und wie mach ich die Zielfunktion abhängig von Winkel(bzw eher Bogenmass)?
Gruss Daniel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:31 So 11.03.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Wenn du das Dreieck halbierst, hast du zwei Rechtwinklige Dreiecke.
Dann kannst du mit dem Satz des Pythagoras arbeiten.
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:29 So 11.03.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Da du den Extremen Öffnungswinkel [mm] \alpha [/mm] suchst, kannst du auch direkt den Tangens nehmen:
[mm] tan(\bruch{\alpha}{2})=\bruch{\bruch{1}{2}g_{Dreieck}}{h_{Dreieck}}
[/mm]
Marius
|
|
|
| |
|
Alles klar, hab das jetz verstanden warum man tangens anwenden muss... Nur wie bestimme ich die eigentliche Zielfunktion jetz mit all diesen Information über Fläche und Winkel?
LG Daniel
Ich bin jetz nur soweit
[mm] Zielfunktion=\bruch{x}{2}*a+\bruch{x/2*h}{2}
[/mm]
Soll ich jetz x/2 durch [mm] tan(\alpha/2) [/mm] ersetzen?
Aber die Funktion ist irgendwie NIE nur vom Winkelabhängig sondern auch von der Höhe des Dreiecks.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:00 So 11.03.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ich nenne die Länge der Bretter mal l.
Du hast das Rechteck mit der Fläche.
[mm] g_{Dreieck}*l
[/mm]
Und die Fläche des Dreiecks ist:
[mm] \bruch{g_{Dreieck}*h_{Dreieck}}{2}
[/mm]
Also:
[mm] A(g;h)=\bruch{g_{Dreieck}*h_{Dreieck}}{2}+g_{Dreieck}*l
[/mm]
Und jetzt gilt:
[mm] \bruch{1}{4}g²+h²=l²
[/mm]
Also: [mm] h=\wurzel{l²-0,25g²}
[/mm]
Also:
[mm] A(g)=\bruch{g*\wurzel{l²-0,25g²}}{2}+gl
[/mm]
[mm] =\bruch{\wurzel{-0,25g^{4}-g²l²}}{2}+gl
[/mm]
Wenn du g und h bestimmt hast, kannst du dann dem Winkel mit dem Tangens berechnen.
Marius
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:09 So 11.03.2007 | | Autor: | Blaub33r3 |
Okay, ähm sry das sollte hier doch keine Frage werden!!^^
|
|
|
| |
|
Hey, muss ich beim Ableiten vom 2ten Summand, Produkt + Kettenregel anwenden,theoretisch? Weil ich nicht wusste wie du beim Zähler das g in die Wurzel schieben konntest^^!
Gruß
|
|
|
| |
|
Hallo,
g ziehst du als [mm] g^{2} [/mm] in die Wurzel,
deine Funktion lautet ja:
[mm] A(g)=gl+\bruch{1}{2}\wurzel{l^{2}*g^{2}-0,25*g^{4}} [/mm] M.Rex hatte ein Vorzeichen - zuviel
[mm] A'(g)=l+\bruch{2*g*l^{2}-g^{3}}{4\wurzel{l^{2}*g^{2}-0,25*g^{4}}} [/mm] bei der Wurzel benutzt du zur Ableitung die Kettenregel, äußere Ableitung mal innere ableitung,
Steffi
|
|
|
| |
|
Hey,
meine eigentlich Frage war wieso
[mm] A(g)=\bruch{g\cdot{}\wurzel{l²-0,25g²}}{2}+gl
[/mm]
das hier ist?
[mm] =\bruch{\wurzel{-0,25g^{4}-g²l²}}{2}+gl [/mm] $
zwischen schritt würde mir sehr helfen..
Also wie kommt das g in die Wurzel^^?
Gute Nacht, Daniel
|
|
|
| |
|
Hallo,
M.Rex hatte ein Vorzeichen "-" zuviel,
[mm] g*\wurzel{l^{2}-0,25*g^{2}}
[/mm]
du ziehst g als [mm] g^{2} [/mm] unter die Wurzel,
[mm] \wurzel{l^{2}*g^{2}-0,25*g^{4}}
[/mm]
Steffi
|
|
|
| |
|
ähm, wie kann ich
[mm] 0=l+2gl^2-g^3 [/mm] nach g bitte auflösen?
steh total aufm schlauch irgendwie heut :>
Gut Nacht^^
|
|
|
| |
|
Hallo,
du hast es dir leider etwas zu einfach gemacht:
[mm] A'(g)=l+\bruch{2*g*l^{2}-g^{3}}{4\wurzel{l^{2}*g^{2}-0,25*g^{4}}}
[/mm]
[mm] 0=l+\bruch{2*g*l^{2}-g^{3}}{4\wurzel{l^{2}*g^{2}-0,25*g^{4}}} [/mm] du mußt leider den Nenner mitnehmen
[mm] -l=\bruch{2*g*l^{2}-g^{3}}{4\wurzel{l^{2}*g^{2}-0,25*g^{4}}} [/mm] Gleichung quadrieren
[mm] l^{2}=\bruch{(2*g*l^{2}-g^{3})^{2}}{16*(l^{2}*g^{2}-0,25*g^{4})}
[/mm]
[mm] l^{2}=\bruch{4*g^{2}*l^{4}-4*g^{4}*l^{2}+g^{6}}{16*l^{2}*g^{2}-4*g^{4}}
[/mm]
[mm] l^{2}=\bruch{4*l^{4}-4*g^{2}*l^{2}+g^{4}}{16*l^{2}-4*g^{2}} [/mm] du kürzt [mm] g^{2}
[/mm]
[mm] 16*l^{4}-4*g^{2}*l^{2}=4*l^{4}-4*g^{2}*l^{2}+g^{4}
[/mm]
[mm] 0=g^{4}-12*l^{4}
[/mm]
[mm] g=\wurzel{\wurzel{12}}l
[/mm]
Steffi
|
|
|
| |
|
Okay vielen Dank aufjedenfall^^
Hab gerade mal die Ableitung plotten lassen, ... die sieht ja ziemlich crazy aus...irgendwie hat die auch garkeinen hochpunkt! irgendwas stimmt nicht :>
aber is auch nich so schlimm, danke aufjedenfall^^
Gute Nacht, Daniel
|
|
|
| |
|
>
> Hab gerade mal die Ableitung plotten lassen, ... die sieht
> ja ziemlich crazy aus...irgendwie hat die auch garkeinen
> hochpunkt! irgendwas stimmt nicht :>
Hallo,
ich habe das hier alles zugegebenermaßen nur überflogen, aber:
Daß die Ableitung einen Hochpunkt hat, hat doch niemand behauptet, oder?
Es war doch der Hochpunkt der Funktion gesucht, also zunächst die Stelle, wo die erste Ableitung der Funktion =0 ist.
Ist die Nullstelle der Ableitung in Deinem Plot denn entsprechend Deiner Berechnung?
Ist die Nullstelle der berechneten Ableitung da, wo die Funktion ihren Hochpunkt hat? Das scheinen mir die interessanteren Fragen zu sein, denn wenn das übereinstimmt, weiß man, daß die Möglichkeit besteht, richtig gerechnet zu haben.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
