Fläche, Rotationskörper, Vol. < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:39 Do 12.06.2008 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Der Graph von p(x)= [mm] -\bruch{1}{4}x²+\bruch{3}{2}x-2 [/mm] schließt mit der x-Achse eine Fläche A ein.
a) Berechnen Sie den Inhalt von A sowie das Volumen V des Körpers, der durch Rotation von A um die x-Achse entsteht.
b) Wie groß kann der Flächeninhalt [mm] $F_{R}$ [/mm] eines in $ A$ einbeschriebenen Rechtecks $ R$ maximal werden, wenn eine Seite von $ R$ auf der $ x$ -Achse liegen soll? |
Hallo Zusammen,
nun als erstes die Schnittpunkte des Graphen mit der x-Achse berechnen, also die Nullstellen:
p(x) = 0 -> [mm] -\bruch{1}{4}x²+\bruch{3}{2}x-2 [/mm] = 0
dann in die Formel einsetzen und ich erhalte [mm] x_1 [/mm] = 2 und [mm] x_2 [/mm] = 4
Dann von 2 bis 4 integrieren:
[mm] \int_{2}^{4} -\bruch{1}{4}x²+\bruch{3}{2}x-2\, [/mm] dx = [mm] \int_{2}^{4}[-\bruch{x³}{12}+\bruch{3x²}{4}-2x] [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
stimmt mein Ergebnis?
Nun zum Volumen:
V = [mm] \pi \cdot{} \int_{2}^{4} (-\bruch{1}{4}x²+\bruch{3}{2}x-2)² [/mm] = [mm] \pi \cdot{} \int_{2}^{4} (\bruch{x^4}{16}-\bruch{3x³}{4}+\bruch{13x²}{4}-6x+4) [/mm] = [mm] \pi \cdot{} \int_{2}^{4}[\bruch{x^5}{80}-\bruch{3x^4}{16}+\bruch{13x³}{12}-3x²+4x] [/mm] = [mm] \bruch{1}{15}
[/mm]
stimmt mein Ergebnis?
Nun muss ich die maximale Fläche eines Rechtecks berechnen dass in die Fläche zwischne p(x) und der x-Achse passt, somit Höhe p(x) mal die Breite 2-2x, die ganze Länge beträgt ja 2 und links und rechts bleibt jeweils ein Stück x übrig also mal 2, somit
A(x) = p(x) [mm] \cdot{} [/mm] (2-2x) = [mm] (-\bruch{1}{4}x²+\bruch{3}{2}x-2)(2-2x) [/mm] = 0,5x³-3,5x²+7x-4
nun benötige ich das Maximum, also A'(x) = 0 -> 1,5x²-7x+7 = 0
da erhalte ich [mm] x_1 [/mm] = [mm] \bruch{7}{3}+\wurzel{\bruch{7}{9}} [/mm] und [mm] x_2 [/mm] = [mm] \bruch{7}{3}-\wurzel{\bruch{7}{9}}
[/mm]
diese beiden Werte nun in A''(x) einsetzen um herauszufinden, welche Maximum bzw. Minimum sind, also
A''(x) = 3x-7
[mm] A''(\bruch{7}{3}+\wurzel{\bruch{7}{9}}) [/mm] > 0 -> Minimum
[mm] A''(\bruch{7}{3}-\wurzel{\bruch{7}{9}}) [/mm] < 0 -> Maximum
Also hat die Fläche des Rechtsecks bei x = [mm] \bruch{7}{3}-\wurzel{\bruch{7}{9}} [/mm] ein Maximum, dies nun in A(x) einsetzen und ich erhalte die Fläche des ganzen:
[mm] A(\bruch{7}{3}-\wurzel{\bruch{7}{9}}) [/mm] = 0,315
stimmt dieses Ergebnis?
Vielen Dank im Voraus
itse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:21 Do 12.06.2008 | | Autor: | naf |
Hallo Itse
also zu
a)
i: deine Nullstellen stimmen - 2 und 4
ii: die Fläche stimmt auch
iii: das Volumen stimmt nicht ganz - sieh dir mal noch den Faktor Pi an! (=Pi/15)
b)
i: die Formel für die Fläche stimmt nicht ganz...
Dein Ansatz ist richtig indem du p(x)*breite rechnest - aber schau dir noch mal die breite an denn wenn x=2 ist müsste die breite ja 2 sein. in deinem fall ist das aber (2-2*2)=-2 und bei x=3 müsste die ja 0 sein. in deinem fall (2-2*0)=2
(versuchs mal mit 6-2*x)
ii: das weitere vorgehen würde stimmen.
zur kontrolle: ich kriege für Frmax=0.19245 bei x=2.42265
(wenn ich Frmax mit V vergleiche scheint mir das resultat i.o.: V=0.2094..)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:33 Do 12.06.2008 | | Autor: | itse |
Hallo,
> b)
> i: die Formel für die Fläche stimmt nicht ganz...
> Dein Ansatz ist richtig indem du p(x)*breite rechnest -
> aber schau dir noch mal die breite an denn wenn x=2 ist
> müsste die breite ja 2 sein. in deinem fall ist das aber
> (2-2*2)=-2 und bei x=3 müsste die ja 0 sein. in deinem fall
> (2-2*0)=2
> (versuchs mal mit 6-2*x)
wie kommt du denn darauf? mal ein bild dazu:
[Dateianhang nicht öffentlich]
die ganze Breit beträgt 2 und an jeder Seite bleibt ein x übrig, somit komme ich ja auf 2-2x.
Danke,
itse
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:18 Do 12.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du verwendest dein x auf 2 Weisen, 1. als das eingezeichnete kleine Stück, 2. bei der Höhe des Rechtecks p(x).
2 mögliche richtige Wege:
1.
Wenn du in deiner Zeichnung noch das Koordinatenkreuz einzeichnest,siehst du, dass die Höhe an der linken Seite des Rechtecks p(2+x) ist. dann kannst du für die Grundseite deine Länge nehmen, musst aber statt x 2+x in dieparabelgleichung einsetzen
2.
Wenn du mit den Koordinaten in deinem Koordinatensystem arbeiten willst ist der linke Punkt z.Bsp x1, seine Entfernung von der "Mitte" der Parabel 3-x1 die Grundseite also 2*(3-x1) die Höhe p(x1)
Gruss leduart
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