Fläche Tangentialebene < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:17 Do 07.10.2010 | | Autor: | Kuriger |
Guten Morgen
Bestimmen Sie die Punkte auf der Fläche [mm] x^2 [/mm] + [mm] 3y^2 [/mm] + [mm] 4z^2 [/mm] -2xy = 16 in denen die Tangentialebene parallel ist zur xz-Ebene
Also die Tangentialebene muss aufgrund der gegebenen bestimmung folgende Form haben:
ay = b
also
x = 0
z = 0
[mm] f_x(x,y,z) [/mm] = 2x - 2y
[mm] f_y(x,y,z) [/mm] = 6y-2x
[mm] f_z(x,y,z) [/mm] = 8z
Leiderkomme ich nicht weiter
Die Tangentialebene muss ja nun die besagte Form haben: ay = b
(2x - 2y) * [mm] (-x_0) [/mm] + 6y-2x * (y - [mm] y_0) [/mm] + [mm] 8z*(-z_0) [/mm] = 0
( - 2y) * [mm] (-x_0) [/mm] + 6y * (y - [mm] y_0) [/mm] = 0
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:36 Do 07.10.2010 | | Autor: | abakus |
> Guten Morgen
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> Bestimmen Sie die Punkte auf der Fläche [mm]x^2[/mm] + [mm]3y^2[/mm] + [mm]4z^2[/mm]
> -2xy = 16 in denen die Tangentialebene parallel ist zur
> xz-Ebene
Die Gleichung lässt sich umstellen zu
[mm] (y-x)^2+2y^2=16-4z^2.
[/mm]
Daraus folgt
[mm] (y-x)^2+2y^2\le16
[/mm]
Für ein möglichst großes y wird der Term sogar gleich 16.
"Möglichst großes y" bedeutet, der Punkt liegt so weit wie möglich rechts und damit in der gesuchten Tangentialebene.
Dieses möglichst große y hat den Wert [mm] \wurzel{8} [/mm] (dazu muss z=0 und x= [mm] \wurzel{8} [/mm] gelten).
Jetzt brauchst du noch die Tangentialebene "auf der anderen Seite".
Gruß Abakus
>
> Also die Tangentialebene muss aufgrund der gegebenen
> bestimmung folgende Form haben:
> ay = b
> also
> x = 0
> z = 0
>
>
> [mm]f_x(x,y,z)[/mm] = 2x - 2y
> [mm]f_y(x,y,z)[/mm] = 6y-2x
> [mm]f_z(x,y,z)[/mm] = 8z
>
> Leiderkomme ich nicht weiter
Die Ableitung müsste sowohl in x- als auch in z-Richtung Null sein.
Das deckt sich mit meinem obigen Ergebnis, denn aus
2x - 2y=0 folgt x=y und aus 8z=0 folgt z=0.
Gruß Abakus
>
> Die Tangentialebene muss ja nun die besagte Form haben: ay
> = b
>
> (2x - 2y) * [mm](-x_0)[/mm] + 6y-2x * (y - [mm]y_0)[/mm] + [mm]8z*(-z_0)[/mm] = 0
>
> ( - 2y) * [mm](-x_0)[/mm] + 6y * (y - [mm]y_0)[/mm] = 0
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:44 Do 07.10.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
Danke für die Antwort
Wenn ich mir mal die Lösung anschaue, so scheint dies eher ein Chaos als etwas vernünftiges zu sein....
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich versteh mal wieder rein gar nichts...
Die Formel für die Tangentialebene lautet ja:
[mm] f_x(P_0) [/mm] * (x - [mm] x_0) [/mm] + [mm] f_y(P_0 [/mm] * (y - [mm] y_0) [/mm] + [mm] f_z(P_0 [/mm] * (z - [mm] z_0)
[/mm]
Die Gleichung der Tangentialeben soll die Form
ay = b haben
also muss:
[mm] f_x(P_0) [/mm] * (x - [mm] x_0) [/mm] = 0
[mm] f_z(P_0 [/mm] * (z - [mm] z_0) [/mm] = 0
sein?
Dies erreiche ich wenn ich [mm] f_x(P_0) [/mm] = und [mm] f_y(P_0) [/mm] = 0 setze?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo Kuriger,
> Hallo
>
> Danke für die Antwort
>
>
>
> Wenn ich mir mal die Lösung anschaue, so scheint dies eher
> ein Chaos als etwas vernünftiges zu sein....
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Ich versteh mal wieder rein gar nichts...
>
> Die Formel für die Tangentialebene lautet ja:
> [mm]f_x(P_0)[/mm] * (x - [mm]x_0)[/mm] + [mm]f_y(P_0[/mm] * (y - [mm]y_0)[/mm] + [mm]f_z(P_0[/mm] * (z
> - [mm]z_0)[/mm]
>
> Die Gleichung der Tangentialeben soll die Form
> ay = b haben
>
> also muss:
> [mm]f_x(P_0)[/mm] * (x - [mm]x_0)[/mm] = 0
> [mm]f_z(P_0[/mm] * (z - [mm]z_0)[/mm] = 0
> sein?
> Dies erreiche ich wenn ich [mm]f_x(P_0)[/mm] = und [mm]f_y(P_0)[/mm] = 0
> setze?
>
Hier meinst Du wohl [mm]f_x(P_0)[/mm] und [mm]f_\blue{z}(P_0)[/mm].
Ja, das ist richtig.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:00 Do 07.10.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
Also ich kann den Gradienten dann wie folgt schreiben, aus der bedingung
2x - 2y = 0 [mm] \to [/mm] x = y
0 = 8z [mm] \to [/mm] z = 0
[mm] \nabla [/mm] = [mm] \vektor{2y-2y \\ 6y-2x \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 4y\\ 0}
[/mm]
damit es keien verwechslung gibt
4y = 4c
Das heisst meien Tangentialebene lautet:
[mm] 4c*(y_0 [/mm] - y) = 0
Nun muss ich ja die Gleichung der Tangentialebene und der Fläche "gleich stellen" um die gemeinsamen Punkte heruaszufinden?
Aber eben ich habe zuviele unbekannte..
Edit:
Gradient ist ja ein Vektor, deshalb könnte ich es etwas vereifnachen:
[mm] \vektor{0 \\ 4y\\ 0} [/mm] , : 4 teilen
= [mm] \vektor{0 \\ y\\ 0}
[/mm]
Aber eben ich komme nciht mehr wirklich weiter
VielenD nak für die Hilfe
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> Hallo
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> Also ich kann den Gradienten dann wie folgt schreiben, aus
> der bedingung
> 2x - 2y = 0 [mm]\to[/mm] x = y
> 0 = 8z [mm]\to[/mm] z = 0
>
> [mm]\nabla[/mm] = [mm]\vektor{2y-2y \\ 6y-2x \\ 0}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 4y\\ 0}[/mm]
>
> damit es keien verwechslung gibt
> 4y = 4c
>
> Das heisst meien Tangentialebene lautet:
>
> [mm]4c*(y_0[/mm] - y) = 0
>
> Nun muss ich ja die Gleichung der Tangentialebene und der
> Fläche "gleich stellen" um die gemeinsamen Punkte
> heruaszufinden?
>
> Aber eben ich habe zuviele unbekannte..
>
> Edit:
> Gradient ist ja ein Vektor, deshalb könnte ich es etwas
> vereifnachen:
> [mm]\vektor{0 \\ 4y\\ 0}[/mm] , : 4 teilen
> = [mm]\vektor{0 \\ y\\ 0}[/mm]
>
> Aber eben ich komme nciht mehr wirklich weiter
> VielenD nak für die Hilfe
>
Hallo Kuriger !
Normalenvektor in einem (beliebigen) Flächenpunkt ist der
Vektor [mm]\vektor{2x-2y \\ 6y-2x \\ 8\,z}[/mm]
In Punkten der Fläche, wo die Tangentialebene parallel zur
x-z-Ebene ist, muss dieser Normalenvektor parallel zur
y-Achse sein. Aus dieser Bedingung folgen deine obigen
Gleichungen $x=y$ sowie $z=0$.
So, und nun geht es doch darum, auf der gesamten Fläche
jene (wenigen) Punkte herauszufinden, in welchen diese
beiden Einschränkungen erfüllt sind.
Nimm also die Flächengleichung wieder her und setze dort
diese Bedingungen ein. Das Ergebnis sind zwei mögliche
Punkte auf der Fläche, in welchen die Tangentialebene
jeweils parallel zur x-z-Ebene ist.
Hinweis: die Fläche ist ein Ellipsoid (so etwas wie eine
verzerrte Kugel). Die beiden ermittelten Tangentialebenen
berühren die Fläche in deren beiden Punkten mit minimaler
bzw. maximaler y-Koordinate.
Gruß
Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:58 Do 07.10.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
Versteht man hier unter einer Fläche eine Ebene?
Gruss Kuriger
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:02 Do 07.10.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo
>
> Versteht man hier unter einer Fläche eine Ebene?
> Gruss Kuriger
Nein, damit war dein Ellipsoid gemeint.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:00 Do 07.10.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
Und nochmals eine Frage, vor lauter Verwirrung
> Normalenvektor in einem (beliebigen) Flächenpunkt ist der
> Vektor [mm]\vektor{2x-2y \\ 6y-2x \\ 8\,z}[/mm]
Dieser Vektor ist ja ein gradient. Da du hier von einem Normalvektor schreibst, wollt eich fragen ob ein Gradient denn ein Normalvektor ist?
Danke, gruss Kuriger
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> Hallo
> Und nochmals eine Frage, vor lauter Verwirrung
>
>
> > Normalenvektor in einem (beliebigen) Flächenpunkt ist der
> > Vektor [mm]\vektor{2x-2y \\ 6y-2x \\ 8\,z}[/mm]
>
> Dieser Vektor ist ja ein gradient. Da du hier von einem
> Normalvektor schreibst, wollt eich fragen ob ein Gradient
> denn ein Normalvektor ist?
>
>
> Danke, gruss Kuriger
Guten Abend Kuriger,
genau so ist es. Ist eine differenzierbare reelle Funktion
F: [mm] \IR^3\to\IR [/mm] gegeben und [mm] P_0(x_0/y_0/z_0) \in\IR^3 [/mm] , so ist der Gradient
von F im Punkt [mm] P_0 [/mm] ein Normalenvektor der Fläche
S: [mm] F(x,y,z)=F(x_0,y_0,z_0) [/mm]
in dem betrachteten Punkt.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:45 Fr 08.10.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
Dann sind es die beiden Punkte
[mm] P_1 (2*\wurzel{2} [/mm] / [mm] 2*\wurzel{2} [/mm] / 0)
[mm] P_2 (-2*\wurzel{2} [/mm] / [mm] -2*\wurzel{2} [/mm] / 0)
Gruss Kuriger
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Hallo,
so ist es.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:13 Fr 08.10.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
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> Normalenvektor in einem (beliebigen) Flächenpunkt ist der
> Vektor [mm]\vektor{2x-2y \\ 6y-2x \\ 8\,z}[/mm]
> In Punkten der
> Fläche, wo die Tangentialebene parallel zur
> x-z-Ebene ist, muss dieser Normalenvektor parallel zur
> y-Achse sein. Aus dieser Bedingung folgen deine obigen
> Gleichungen [mm]x=y[/mm] sowie [mm]z=0[/mm].
Das verstehe ich nicht: Ein Vektor ist parallel zur Y Achse, wenn er folgende Form hat: [mm] \vektor{x \\ 0 \\ z}
[/mm]
Gruss Kuriger
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Hallo nochmal,
wer behauptet das denn?
Das ist falsch.
Ein Vektor, der parallel zur y-Achse liegt, hat die Form [mm] \vektor{0\\y\\0}
[/mm]
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:18 Fr 08.10.2010 | | Autor: | Kuriger |
Danke Reverend
Ich stehe wieder mal anders neben den Schuhen
gruss Kuriger
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:23 Fr 08.10.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo Kuriger,
ein zur y-Achse paralleler Vektor hat keine Projektionsanteile auf die x- und auf die z-Achse. Das ist genau das, was reverend in seinem Vektor ausgedrückt hat.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:37 Fr 08.10.2010 | | Autor: | Kuriger |
So scheisse kann ein Morgen sein, wenn man nichts versteht:
"In Punkten der Fläche, wo die Tangentialebene parallel zur
x-z-Ebene ist, muss dieser Normalenvektor parallel zur
y-Achse sein. Aus dieser Bedingung folgen deine obigen
Gleichungen x=y sowie z=0. "
Also der erste Teil dieser Aussage: "In Punkten der Fläche, wo die Tangentialebene parallel zur
x-z-Ebene ist, muss dieser Normalenvektor parallel zur
y-Achse sein" verstehe ich nicht resp. leuchtet mir nicht ein.
Ich versuche mir das ja bildlich vorzustellen.
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Hallo nochmal,
geh halt wieder schlafen... Ich überlege das auch gerade, aber im Büro ist es dafür zu laut. Vielleicht fahre ich besser doch nicht hin...
Der Gradient ist sozusagen der Normalenvektor der Funktion, die hier ja eine Fläche im dreidimensionalen Raum ist. An jeden Punkt der Fläche ist eine Tangentialebene anzulegen, die genau den gleichen Normalenvektor hat, genauer: deren Normalenvektor also kollinear zum Gradienten der Funktion in diesem Punkt ist.
Wenn Du also die Punkte suchst, in denen die Tangentialebene parallel zur x-z-Ebene ist, suchst Du damit die Punkte, in denen der Gradient parallel zur y-Achse verläuft, also seine x- und z-Komponente jeweils 0 sind (und die y-Komponente gerade nicht!).
So sind doch auch die beiden Bedingungen entstanden...
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:49 Fr 08.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo nochmal,
>
> geh halt wieder schlafen... Ich überlege das auch gerade,
> aber im Büro ist es dafür zu laut. Vielleicht fahre ich
> besser doch nicht hin...
>
>
Hallo reverend ,
wir haben 9:45 Uhr ! wann fängst Du denn mit der Arbeit an ?
Gruß FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:58 Fr 08.10.2010 | | Autor: | reverend |
Ha,
das ist ja ganz selten, dass ich Dich mal dabei erwische, dass Du eine Prämisse übersiehst!
Die Frage ist nicht wann, sondern ob.
Ich arbeite seit Ende August so ziemlich durch, allein seit letztem Samstag habe ich ca. 55h gearbeitet (und dabei sogar Montag weitestgehend frei gehabt). Insofern fahre ich - wenn überhaupt - nur ins Büro, um ein bisschen Post wegzuwerfen und mit den Kollegen einen Kaffee zu trinken. Falls die gerade Zeit dazu haben.
Grü'ße und Grüßinnen, 
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:03 Fr 08.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ha,
>
> das ist ja ganz selten, dass ich Dich mal dabei erwische,
> dass Du eine Prämisse übersiehst!
>
> Die Frage ist nicht wann, sondern ob.
jetzt hast Du mich ertappt ...
>
> Ich arbeite seit Ende August so ziemlich durch, allein seit
> letztem Samstag habe ich ca. 55h gearbeitet (und dabei
> sogar Montag weitestgehend frei gehabt). Insofern fahre ich
> - wenn überhaupt - nur ins Büro, um ein bisschen Post
> wegzuwerfen und mit den Kollegen einen Kaffee zu trinken.
> Falls die gerade Zeit dazu haben.
>
> Grü'ße und Grüßinnen,
Jetzt bin ich enttäuscht ! Ich dachte das geht so: GrüßInnen ??
FRED
> reverend
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:08 Fr 08.10.2010 | | Autor: | reverend |
> Jetzt bin ich enttäuscht ! Ich dachte das geht so:
> GrüßInnen ??
Dann müsste es ja vorher "Grüße" heißen, ganz ohne Apo'stroph. Sonst geht es doch nicht auf. Leider gibt es zum Binnen-I viel mehr Ausnahmen als Regeln, weswegen es in manchen Kreisen (die höchstens topologisch welche sind) doch als korrekt gilt, immer beide Formen zu sagen, notfalls auch das Partizip Präsens, sofern existent.
Bestes Beispiel:
Papphocker (früher)
PapphockerInnen (später)
Papphocker und Papphockerinnen (noch später)
Papphockende (zu spät)
rev
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:25 Fr 08.10.2010 | | Autor: | abakus |
> > Jetzt bin ich enttäuscht ! Ich dachte das geht so:
> > GrüßInnen ??
>
> Dann müsste es ja vorher "Grüße" heißen, ganz ohne
> Apo'stroph. Sonst geht es doch nicht auf. Leider gibt es
> zum Binnen-I viel mehr Ausnahmen als Regeln, weswegen es in
> manchen Kreisen (die höchstens topologisch welche sind)
> doch als korrekt gilt, immer beide Formen zu sagen,
> notfalls auch das Partizip Präsens, sofern existent.
>
> Bestes Beispiel:
>
> Papphocker (früher)
> PapphockerInnen (später)
> Papphocker und Papphockerinnen (noch später)
> Papphockende (zu spät)
>
>
> rev
>
Das ist ein zu ernstes Thema, um sich darüber lustig zu machen. Ihr bekommt mächtig Ärger mit den FeministInnen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:29 Fr 08.10.2010 | | Autor: | reverend |
> Das ist ein zu ernstes Thema, um sich darüber lustig zu
> machen. Ihr bekommt mächtig Ärger mit den FeministInnen.
Du meinst, Feministen und Feministinnen?
Die Existenz ersterer wird gemeinhin bezweifelt, vor allem von letzteren.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:33 Fr 08.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> > > Jetzt bin ich enttäuscht ! Ich dachte das geht so:
> > > GrüßInnen ??
> >
> > Dann müsste es ja vorher "Grüße" heißen, ganz ohne
> > Apo'stroph. Sonst geht es doch nicht auf. Leider gibt es
> > zum Binnen-I viel mehr Ausnahmen als Regeln, weswegen es in
> > manchen Kreisen (die höchstens topologisch welche sind)
> > doch als korrekt gilt, immer beide Formen zu sagen,
> > notfalls auch das Partizip Präsens, sofern existent.
> >
> > Bestes Beispiel:
> >
> > Papphocker (früher)
> > PapphockerInnen (später)
> > Papphocker und Papphockerinnen (noch später)
> > Papphockende (zu spät)
> >
> >
> > rev
> >
> Das ist ein zu ernstes Thema
Da stimme ich Dir zu. Nie war das Thema ernster als heute.
, um sich darüber lustig zu
> machen. Ihr bekommt mächtig Ärger mit den FeministInnen.
Wir machen uns über nichts und niemanden lustig. Wir diskutieren sachlich und ernsthaft über korrekte Schreib - und Ausdrucksweisen. Und das nur, damit wir keinen Ärger mit den Femini'stI/innen (oder beser Feministenden ?) bekommen.
@reverend: dafür "Papphocker und Papphockerinnen " könntest Du Ärger bekommen.
Korrekt: Papphockerinnen und Papphocker
Gruß FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:51 Fr 08.10.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
Also wenn ich mir da mal eine Skizze anfertige und mir eine Tangentialebene aufzeichne, so ist jener Vektor, welcher Parallel zur Y Achse ist, jener Vektor, der senkrecht zur Tangentialebene steht...Das wollen wir ja gar nicht
Sorry ich habe ein Durcheinander: Ist der Gradient der Normalvektor zur Tangentialebene? Wenn ja dann stimmts
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> Sorry ich habe ein Durcheinander: Ist der Gradient der
> Normalvektor zur Tangentialebene? Wenn ja dann stimmts
Ja, sag ich doch.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:00 Fr 08.10.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
Der Normalvektor muss ja wie bereits mehrmals gesagt die Form
[mm] \vektor{0 \\ y \\ 0} [/mm] haben. damit er senkrecht zur X-Z Ebene steht.
Nun ist mir beim Vektor etwas noch nicht ganz klar. [mm] \vektor{0 \\ y \\ 0} [/mm] ist ja nur einer von unzähligen Möglichkeiten.
Ein anderes beispiel [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1}, [/mm] oder [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ 2}
[/mm]
Müsste deshalb nicht noch ein term vorangestellt werden, also u* [mm] \vektor{0 \\ y \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ uy \\ 0}. [/mm] Aber irgendwie habe ich dann zuviele unbekannte
Gruss Kuriger
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Hallo Kuriger,
ist Dir y nicht unbekannt genug?
Ein Problem dieser Aufgabe ist, dass sowohl Koordinatenbezeichnungen als auch Variablenbezeichnungen x,y,z lauten. Vielleicht wäre es darum von Anfang an besser gewesen, die Variablen anders zu benennen, z.B. s,t,u.
Insofern kannst Du natürlich auch [mm] \vektor{0\\u\\0} [/mm] annehmen.
Hauptsache, auch u ist dann $ [mm] u\in\IR\setminus\{0\} [/mm] $.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:14 Fr 08.10.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
Irgendwie stimmts dann nicht:
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> Insofern kannst Du natürlich auch [mm]\vektor{0\\u\\0}[/mm]
> annehmen.
Ich habe ja den Gradienten von [mm] \vektor{2x - 2y \\ 6y-2x \\ 8z }
[/mm]
dieser muss die Form von [mm] \vektor{0\\u\\0} [/mm] damit die Bedingungen erfüllt sind.
0 = 2x - 2y
u = 6y-2x
0 = 8z
Daraus resultiert:
z = 0
x = y
u = 4x = 4y
x = y = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] u
Nun setze ich dies in die Flächengleichung ein
[mm] x^2 [/mm] + [mm] 3y^2 [/mm] + 4z -2xy = 16
mit x = y = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] u
[mm] \bruch{u^2}{16} [/mm] + [mm] \bruch{3u^2}{16} [/mm] - [mm] \bruch{2u^2}{16} [/mm] = 16
[mm] \bruch{2u^2}{16} [/mm] = 16....
u = [mm] \pm \wurzel{128}
[/mm]
x = y = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] u
x = y = [mm] \pm \wurzel{8}
[/mm]
Okay das passt so auch...
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![[]](/images/popup.gif){kind=small}
Papphockerin