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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:19 Do 13.10.2011 | | Autor: | drahmas |
| Aufgabe | Von einer Funktion f kennt man die erste Ableitung [mm] f'(x)=3x^2-6x-9. [/mm] Die von der zugehörigen Funktionskurve im Intervall [-3;3] erzeugte Fläche hat den Inhalt 108.
Bestimmen Sie den Funktionsterm dieser Funktion.
Welches Volumen entsteht, wenn diese Fläche um die x-Achse rotiert? |
Hallo,
[mm] f'(x)=3x^2-6x-9 \gdw f(x)=x^3-3x^2-9x
[/mm]
So weit so gut.
Wenn ich das Ganze dann testweise mal integriere und nur den Flächeninhalt berechnen will, erhalte ich aber ein von der angegebenen Lösung, abweichendes Ergebnis. A soll 108 FE sein.
[mm] A=\integral_{-3}^{3}{x^3-3x^2-9x dx}=\bruch{x^4}{4}-3*\bruch{x^3}{3}-9*\bruch{x^2}{2}\integral_{-3}^{3}=(\bruch{3^4}{4}-3*\bruch{3^3}{3}-9*\bruch{3^2}{2})-(\bruch{-3^4}{4}-3*\bruch{-3^3}{3}-9*\bruch{-3^2}{2})=94,5 [/mm] FE, es sollten aber 108 sein? Wo liegt da der Fehler.
Für das Volumen genügt es doch dann, wenn ich den gesamten Term klammere und mit [mm] \pi [/mm] multipliziere, oder?
Beste Grüße…
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:20 Do 13.10.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo drahmas!
Du ignorierst hie die Integrationskonstante $+c_$ .
Diese muss hier selbstverständlich mit berücksichtigt werden.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:59 Do 13.10.2011 | | Autor: | drahmas |
Hallo,
danke.
f''(x)=6x-6 [mm] \Rightarrow [/mm] x=1
Wenn ich das in die Funktionsgleichung einsetze, erhalte ich -11
[mm] A=\integral_{-3}^{3}{x^3-3x^2-9x-11 dx}=\bruch{x^4}{4}-3*\bruch{x^3}{3}-9*\bruch{x^2}{2}-11x\integral_{-3}^{3}=(\bruch{3^4}{4}-3*\bruch{3^3}{3}-9*\bruch{3^2}{2}-11*3)-(\bruch{-3^4}{4}-3*\bruch{-3^3}{3}-9*\bruch{-3^2}{2}-11*-3)=160,5 [/mm] FE aber nicht 108 FE? ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Was mach ich da falsch?
Beste Grüße
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> Hallo,
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> danke.
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> f''(x)=6x-6 [mm]\Rightarrow[/mm] x=1
Was machst du da??
Was hat die zweite Ableitung mit der Integrationskonstante von f(x) zu tun?
Du kannst dieses C ohne Wissen um den Flächeninhalt oder um Punkte nicht berechnen/bestimmen!
Lass das C unbestimmt in deiner Stammfunktion. Denn es fällt ja durch das ableiten weg und kann daher alles möglich sein. Aber du kannst doch mit diesem C das Integral von -3 bis 3 aufstellen. Dadurch erhälst du eben ein Cx. Da du aber das Ergebnis, nämlich 108 FE weißt, kannst du C bestimmen.
>
> Wenn ich das in die Funktionsgleichung einsetze, erhalte
> ich -11
>
>
> [mm]A=\integral_{-3}^{3}{x^3-3x^2-9x-11 dx}=\bruch{x^4}{4}-3*\bruch{x^3}{3}-9*\bruch{x^2}{2}-11x\integral_{-3}^{3}=(\bruch{3^4}{4}-3*\bruch{3^3}{3}-9*\bruch{3^2}{2}-11*3)-(\bruch{-3^4}{4}-3*\bruch{-3^3}{3}-9*\bruch{-3^2}{2}-11*-3)=160,5[/mm]
> FE aber nicht 108 FE?
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> Was mach ich da falsch?
>
> Beste Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:31 Do 13.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du kennst f'(x) durch Integration findest du f(x) bis auf eine Konstante C
also musst du [mm] f(x)=x^3-3x^2-9x [/mm] +C
integrieren von -3 bis +3 und die Fläche mit dem gegebenen Wert gleichsetzen und daraus C.
warum hast du jetzt f'' ausgerechnet?
das hatte doch nichts mit dem Rat von loddar zu tun?
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:15 Do 13.10.2011 | | Autor: | drahmas |
Hallo,
danke Euch für die Antworten.
[mm] A=\integral_{-3}^{3}{x^3-3x^2-9x+cx dx}=\bruch{x^4}{4}-3*\bruch{x^3}{3}-9*\bruch{x^2}{2}+cx\integral_{-3}^{3}=(\bruch{3^4}{4}-3*\bruch{3^3}{3}-9*\bruch{3^2}{2}+3c)-(\bruch{-3^4}{4}-3*\bruch{-3^3}{3}-9*\bruch{-3^2}{2}-3c)=-94,5+6c
[/mm]
Wenn ich -94,5+6c=108 setze, bekomme ich für c=33,71, das sieht irgendwie merkwürdig aus…
Entweder hab ich mich da nun wo verrechnet oder ich seh den Sinn von 6c nicht
.
Beste Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:12 Do 13.10.2011 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
>
> danke Euch für die Antworten.
>
> [mm]A=\integral_{-3}^{3}{x^3-3x^2-9x+cx dx}=\bruch{x^4}{4}-3*\bruch{x^3}{3}-9*\bruch{x^2}{2}+cx\integral_{-3}^{3}=(\bruch{3^4}{4}-3*\bruch{3^3}{3}-9*\bruch{3^2}{2}+3c)-(\bruch{-3^4}{4}-3*\bruch{-3^3}{3}-9*\bruch{-3^2}{2}-3c)=-94,5+6c[/mm]
>
> Wenn ich -94,5+6c=108 setze, bekomme ich für c=33,71, das
> sieht irgendwie merkwürdig aus…
Kein Wunder.
Hinten fehlen Klammern, denn [mm] -3^4 [/mm] ist z.B. was anderes als [mm] (-3)^4.
[/mm]
Der erste und dritte Summand heben sich durch die Subtraktion jeweils auf; übrig bleibt:
[mm]\integral_{-3}^{3}{(x^3-3x^2-9x+c) dx}=(\bruch{3^4}{4}-3*\bruch{3^3}{3}-9*\bruch{3^2}{2}+3c)-(\bruch{(-3)^4}{4}-3*\bruch{(-3)^3}{3}-9*\bruch{(-3)^2}{2}-3c)=-54+6c[/mm]
Gruß Abakus
>
> Entweder hab ich mich da nun wo verrechnet oder ich seh den
> Sinn von 6c nicht
> .
>
> Beste Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:52 Do 13.10.2011 | | Autor: | drahmas |
Danke für die Hilfe.
[mm] V=\pi*\integral_{-3}^{3}{x^3-3x^2-9x+27 dx}=\pi*\bruch{x^4}{4}-3*\bruch{x^3}{3}-9*\bruch{x^2}{2}+27x=\pi*\integral_{-3}^{3}(\bruch{3^4}{4}-3*\bruch{3^3}{3}-9*\bruch{3^2}{2}+27*3)-(\bruch{(-3)^4}{4}-3*\bruch{(-3)^3}{3}-9*\bruch{(-3)^2}{2}+27*(-3))=(\bruch{135}{4}\pi)-(-\bruch{297}{4}\pi)=108\pi
[/mm]
Ist das richtig so?
Vielen Dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:22 Do 13.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein, du rechnest ja einfach wieder die Fläche und multiplizierst sie mit [mm] \pi
[/mm]
sieh nach wie man Rotationsvolumen ausrechnet!
Gruss leduart
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Hallo drahmas,
schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier nach.
Dein Ansatz stimmt nicht, wie leduart schon angemerkt hat.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:51 Fr 14.10.2011 | | Autor: | drahmas |
Ahja, dann hab ich die Funktion nicht quadriert?
[mm] V=\pi*\integral_{-3}^{3}{(x^3-3x^2-9x+27)^2 dx}=\pi*(\bruch{x^4}{4}-3*\bruch{x^3}{3}-9*\bruch{x^2}{2}+27x)^2=\pi*\integral_{-3}^{3}(\bruch{3^4}{4}-3*\bruch{3^3}{3}-9*\bruch{3^2}{2}+27*3)^2-(\bruch{(-3)^4}{4}-3*\bruch{(-3)^3}{3}-9*\bruch{(-3)^2}{2}+27*(-3))^2=\bruch{18225}{16}\pi-\bruch{88209}{16}\pi=|-4374\pi|
[/mm]
Passt das so jetzt?
Danke und beste Grüße
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Hallo, du benötigst
[mm] \pi*\integral_{-3}^{3}{(x^{3}-3x^{2}-9x+27)^{2} dx}
[/mm]
jetzt löse Schritt für Schritt die Klammer auf
[mm] =\pi*\integral_{-3}^{3}{x^{6}........ dx}
[/mm]
dann Stammfunktion bestimmen und Grenzen einsetzen
Steffi
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Hallo drahmas,
natürlich musst Du vor dem Integrieren die Funktion quadrieren und nicht erst hinterher.
Nun sieht das ja nach einer Menge Rechenarbeit aus, aber...
> Ahja, dann hab ich die Funktion nicht quadriert?
>
> [mm]V=\pi*\integral_{-3}^{3}{(x^3-3x^2-9x+27)^2 dx}=\pi*(\bruch{x^4}{4}-3*\bruch{x^3}{3}-9*\bruch{x^2}{2}+27x)^2=\pi*\integral_{-3}^{3}(\bruch{3^4}{4}-3*\bruch{3^3}{3}-9*\bruch{3^2}{2}+27*3)^2-(\bruch{(-3)^4}{4}-3*\bruch{(-3)^3}{3}-9*\bruch{(-3)^2}{2}+27*(-3))^2=\bruch{18225}{16}\pi-\bruch{88209}{16}\pi=|-4374\pi|[/mm]
Deine ursprüngliche Funktion ist [mm] x^3-2x^2-9x+27=(x-3)^2(x+3)
[/mm]
Substituiere u=x-3 (achte auf das Differential und die Integrationsgrenzen!) und die zu integrierende Funktion lautet [mm] u^4(u+6)^2. [/mm] Das kann man leichter ausmultiplizieren.
Alternativ kannst Du auch [mm] (x-3)^4(x+3)^2 [/mm] partiell integrieren, das geht ja auch schnell.
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:28 Fr 14.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ahja, dann hab ich die Funktion nicht quadriert?
>
> [mm]V=\pi*\integral_{-3}^{3}{(x^3-3x^2-9x+27)^2 dx}=\pi*(\bruch{x^4}{4}-3*\bruch{x^3}{3}-9*\bruch{x^2}{2}+27x)^2=\pi*\integral_{-3}^{3}(\bruch{3^4}{4}-3*\bruch{3^3}{3}-9*\bruch{3^2}{2}+27*3)^2-(\bruch{(-3)^4}{4}-3*\bruch{(-3)^3}{3}-9*\bruch{(-3)^2}{2}+27*(-3))^2=\bruch{18225}{16}\pi-\bruch{88209}{16}\pi=|-4374\pi|[/mm]
>
> Passt das so jetzt?
Du hast ein Schwervebrechen begangen ! Ist F eine Stammfunktion von f, so bist Du offensichtlich der Meinung dass gilt:
(*) [mm] \integral_{}^{}{f(x)^2 dx}=F(x)^2.
[/mm]
Ja, ja, manchmal weiß man Sachen, die gar nicht stimmen. Mach Dir klar, dass (*) Humbug ist.
FRED
>
> Danke und beste Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 Fr 14.10.2011 | | Autor: | drahmas |
Hallo,
danke für die Antworten.
Ich kann also nicht [mm] x^6-9x^4-81x^2+729 [/mm] integrieren?
Ich blick da leider gar nicht mehr durch, an dieser Stelle.
Wie kommt man auf [mm] x^3-3x^2-9x+27=(x-3)^2*(x+3) [/mm] ?
In meinen Unterlagen hab ich das Schema: [mm] f(x)=x^2 [/mm] => [mm] f^2(x) [/mm] = [mm] (x^2)^2 [/mm] = [mm] x^4 [/mm] und das wäre ja auch nur ganz einfach quadriert.
Beste Grüße
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Hallo drahmas,
> danke für die Antworten.
Das sind auch erstaunlich viele für eine einzelne Frage. 
> Ich kann also nicht [mm]x^6-9x^4-81x^2+729[/mm] integrieren?
In überhaupt keinem Fall! [mm] (x^3-3x^2-9x+27)^2 [/mm] ergibt doch etwas völlig anderes.
> Ich blick da leider gar nicht mehr durch, an dieser
> Stelle.
>
> Wie kommt man auf [mm]x^3-3x^2-9x+27=(x-3)^2*(x+3)[/mm] ?
Man findet eine Nullstelle bei x=3, teilt das Polynom durch (x-3) und errechnet dann die beiden anderen Nullstellen. So ist das Polynom vollständig faktorisiert.
> In meinen Unterlagen hab ich das Schema: [mm]f(x)=x^2[/mm] => [mm]f^2(x)[/mm]
> = [mm](x^2)^2[/mm] = [mm]x^4[/mm] und das wäre ja auch nur ganz einfach
> quadriert.
Tja, das Beispiel ist zu einfach. Wenn [mm] f(x)=(x-3)^2 [/mm] ist, also [mm] f(x)=x^2-6x+9, [/mm] dann ist [mm] f^2(x)=(x-3)^4=x^4-12x^3+54x^2-108x+81.
[/mm]
Du erinnerst Dich sicher an binomische Formeln.
Bei [mm] (x^3-3x^2-9x+27)^2 [/mm] helfen sie Dir aber nicht viel weiter. Da müsstest Du quadrinomische Formeln auswendig können. Ausmultiplizieren ist leichter, oder faktorisieren, wie ich vorher vorgeschlagen habe.
Grüße
rev
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:44 Fr 14.10.2011 | | Autor: | drahmas |
| Aufgabe | Der Graph der Funktion [mm] f:y=-\bruch{1}{4}x^2+4 [/mm] und die x-Achse schließen miteinander eine endliche Fläche ein.
Berechnen Sie das Volumen jenes Rotationskörpers, der bei de Drehung dieser endlichen Fläche um die x-Achse entsteht! |
Hallo,
okay, ich hab eine Aufgabe wie die zuvor genannte, so leider auch noch nicht gehabt und muss mir das erst einmal an einer einfacheren vergegenwärtigen.
Es geht ja hier um das Selbe, die Rotation um die x-Achse.
Für [mm] f:y=-\bruch{1}{4}x^2+4 [/mm] hab ich erst einmal die NST berechnet. [mm] N_1(0/4); N_2(0/-4).
[/mm]
Das wären ja zugleich auch die Integrationsgrenzen. Wie setze ich jetzt die Stammfunktion in [mm] V=\pi*\integral_{a}^{b}{f^2(x) dx} [/mm] ein?
Ich darf ja wahrscheinlich in diesem Fall auch nicht einfach quadrieren, also [mm] V=\pi*\integral_{a}^{b}{-\bruch{1}{256}x^4+16 dx}? [/mm]
Mich irritiert irgendwie die Angabe in meinem Skript, mann solle einfach quadrieren gemäß [mm] f(x)=x^2 [/mm] => [mm] f^2(x) [/mm] = [mm] (x^2)^2 [/mm] = [mm] x^4 [/mm] und der Antworten auf meine vorherige Frage, oben.
Wie gehe ich also mit der Funktion um, bevor ich integriere?
Besten Dank...
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Hallo drahmas,
> Der Graph der Funktion [mm]f:y=-\bruch{1}{4}x^2+4[/mm] und die
> x-Achse schließen miteinander eine endliche Fläche ein.
> Berechnen Sie das Volumen jenes Rotationskörpers, der bei
> de Drehung dieser endlichen Fläche um die x-Achse
> entsteht!
> Hallo,
>
> okay, ich hab eine Aufgabe wie die zuvor genannte, so
> leider auch noch nicht gehabt und muss mir das erst einmal
> an einer einfacheren vergegenwärtigen.
>
> Es geht ja hier um das Selbe, die Rotation um die x-Achse.
>
> Für [mm]f:y=-\bruch{1}{4}x^2+4[/mm] hab ich erst einmal die NST
> berechnet. [mm]N_1(0/4); N_2(0/-4).[/mm]
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Dann wäre es aber keine Funktion, [mm]x=0[/mm] würde auf 2 Werte, nämlich [mm]f(0)=4[/mm] und [mm]f(0)=-4[/mm] abgebildet, das kann nicht sein.
Du meinst [mm]N_1=(4/0), N_2=(-4/0)[/mm]
>
> Das wären ja zugleich auch die Integrationsgrenzen. Wie
> setze ich jetzt die Stammfunktion in
> [mm]V=\pi*\integral_{a}^{b}{f^2(x) dx}[/mm] ein?
Ja, du kannst es dir wegen der Symmetrie der Funktion vereinfachen und zweimal das Integral von 0 bis 4 nehmen.
Also [mm]V=2\cdot{}\pi\int\limits_{0}^{4}{f^2(x) \ dx}[/mm]
>
> Ich darf ja wahrscheinlich in diesem Fall auch nicht
> einfach quadrieren, also
> [mm]V=\pi*\integral_{a}^{b}{-\bruch{1}{256}x^4+16 dx}?[/mm]
Wie quadrierst du denn?
Kennst du die binomischen Formel nicht?
Du solltest wissen, wie man eine Summe quadriert:
[mm](a+b)^2=a^2+2ab+b^2[/mm], hier mit [mm]a=-\frac{1}{4}x^2[/mm] und [mm]b=4[/mm]
Seit wann ist [mm](a+b)^2=a^2+b^2[/mm] ??
Das ist sehr sehr sehr sehr schlimm!!
Wenn du noch nie von den binomischen Formeln gehört hast, multipliziere die Klammern aus:
[mm]f^2(x)=\left(-\frac{1}{4}x^2+4\right)^2=\left(-\frac{1}{4}x^2+4\right)\cdot{}\left(-\frac{1}{4}x^2+4\right)=...[/mm]
Distributiv ausmultiplizieren wirst du hoffentlich können ...
> Mich irritiert irgendwie die Angabe in meinem Skript, mann
> solle einfach quadrieren gemäß [mm]f(x)=x^2[/mm] => [mm]f^2(x)[/mm] =
> [mm](x^2)^2[/mm] = [mm]x^4[/mm] und der Antworten auf meine vorherige Frage,
> oben.
>
> Wie gehe ich also mit der Funktion um, bevor ich
> integriere?
Vernünftig quadrieren!
>
> Besten Dank...
Gruß
schachuzipus
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![[buchlesen]](/images/smileys/buchlesen.gif "[buchlesen]"){kind=small}
![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]"){kind=small}
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