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| Aufgabe | | Berechnen Sie den Flächeninhalt des durch die Kurven y = 0, x=0 , x=6 und f(x) = [mm] \bruch{1}{\sqrt{x(6-x)}} [/mm] eingeschlossenen Stückes der Ebene. |
Hallo,
ich habe eine Frage zu der Aufgabe.
An den Stellen 0 und 6 ist die Fkt. nicht definiert(hab f plotten lassen) . Ist also ein uneigentliches Integral. Komme ich hier mit Grenzwertbetrachtung weiter ?
Danke im Voraus.
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> Berechnen Sie den Flächeninhalt des durch die Kurven y =
> 0, x=0 , x=6 und f(x) = [mm]\bruch{1}{\sqrt{x(6-x)}}[/mm]
> eingeschlossenen Stückes der Ebene.
> Hallo,
> ich habe eine Frage zu der Aufgabe.
> An den Stellen 0 und 6 ist die Fkt. nicht definiert(hab f
> plotten lassen) .
Hallo,
das hättest Du hoffentlich auch ohne plot herausgefunden...
> Ist also ein uneigentliches Integral.
> Komme ich hier mit Grenzwertbetrachtung weiter ?
Ich denke: ja.
Mach doch mal.
LG Angela
>
> Danke im Voraus.
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Hallo , danke für die Antwort.
Ich habe versucht die Stammfkt zu berechnen:
Die Grenzen lasse ich mal jetzt einfach auf a und b, damit es schnller geht.
[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{\sqrt{x}}* \bruch{1}{\sqrt{6-x}} dx}
[/mm]
v = [mm] \bruch{1}{\sqrt{x}} [/mm] v'= - [mm] \bruch{1}{2}x^{-\bruch{3}{2}}
[/mm]
u' = [mm] \bruch{1}{\sqrt{6-x}} [/mm] u= [mm] 2\sqrt{6-x}
[/mm]
[mm] \integral_{a}^{b}{u'*v dx} [/mm] = u*v - [mm] \integral_{a}^{b}{u*v' dx}
[/mm]
[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{\sqrt{x}}* \bruch{1}{\sqrt{6-x}} dx} [/mm] = [mm] 2\wurzel{6-x}*\bruch{1}{\wurzel{x}}+ \integral_{a}^{b}{\wurzel{6-x}*x^{-\bruch{3}{2}} dx}
[/mm]
v= [mm] \wurzel{6-x} [/mm] , v' = [mm] -\bruch{1}{2}(6-x)^{-\bruch{1}{2}}
[/mm]
u'= [mm] 2x^{-\bruch{1}{2}} [/mm] u = [mm] 2x^{-\bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] \integral_{a}^{b}{u'*v dx} [/mm] = u*v - [mm] \integral_{a}^{b}{u*v' dx}
[/mm]
[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{\sqrt{x}}* \bruch{1}{\sqrt{6-x}} dx} [/mm] = [mm] 2\wurzel{6-x}*\bruch{1}{\wurzel{x}}+ \integral_{a}^{b}{\wurzel{6-x}*x^{-\bruch{3}{2}} dx} [/mm] = [mm] 2x^{-\bruch{1}{2}} [/mm] * [mm] \wurzel{6-x} [/mm] + [mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{\wurzel{x}}*\bruch{1}{\wurzel{6-x}} dx}
[/mm]
So, ganz links steht das gleiche wie ganz rechts ( gleiche Integrale). Ich das gnaz linke Integral jetzt subtrahieren sodass ich auf der ganz rechten Seite 2mal Integral(blabla) habe , udn dann durch 2 teilen. Das Problem ist, dass ich in der Mitte noch ein Integral habe , das ich ja partiell gelöst habe. Aber weiß nicht , wie ich das jetzt umformen soll.
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Hallo doc,
> Hallo , danke für die Antwort.
> Ich habe versucht die Stammfkt zu berechnen:
> Die Grenzen lasse ich mal jetzt einfach auf a und b, damit
> es schnller geht.
>
>
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{\sqrt{x}}* \bruch{1}{\sqrt{6-x}} dx}[/mm]
>
> v = [mm]\bruch{1}{\sqrt{x}}[/mm] v'= -
> [mm]\bruch{1}{2}x^{-\bruch{3}{2}}[/mm]
> u' = [mm]\bruch{1}{\sqrt{6-x}}[/mm] u= [mm]2\sqrt{6-x}[/mm]
[mm]u=\red -2\sqrt{6-x}[/mm] !
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{u'*v dx}[/mm] = u*v - [mm]\integral_{a}^{b}{u*v' dx}[/mm]
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{\sqrt{x}}* \bruch{1}{\sqrt{6-x}} dx}[/mm]
> = [mm]2\wurzel{6-x}*\bruch{1}{\wurzel{x}}+ \integral_{a}^{b}{\wurzel{6-x}*x^{-\bruch{3}{2}} dx}[/mm]
>
> v= [mm]\wurzel{6-x}[/mm] , v' = [mm]-\bruch{1}{2}(6-x)^{-\bruch{1}{2}}[/mm]
> u'= [mm]2x^{-\bruch{1}{2}}[/mm] u = [mm]2x^{-\bruch{1}{2}}[/mm]
??
u'=u ??
>
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{u'*v dx}[/mm] = u*v - [mm]\integral_{a}^{b}{u*v' dx}[/mm]
>
>
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{\sqrt{x}}* \bruch{1}{\sqrt{6-x}} dx}[/mm]
> = [mm]2\wurzel{6-x}*\bruch{1}{\wurzel{x}}+ \integral_{a}^{b}{\wurzel{6-x}*x^{-\bruch{3}{2}} dx}[/mm]
> = [mm]2x^{-\bruch{1}{2}}[/mm] * [mm]\wurzel{6-x}[/mm] +
> [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{\wurzel{x}}*\bruch{1}{\wurzel{6-x}} dx}[/mm]
>
>
> So, ganz links steht das gleiche wie ganz rechts ( gleiche
> Integrale). Ich das gnaz linke Integral jetzt subtrahieren
> sodass ich auf der ganz rechten Seite 2mal Integral(blabla)
> habe , udn dann durch 2 teilen. Das Problem ist, dass ich
> in der Mitte noch ein Integral habe , das ich ja partiell
> gelöst habe. Aber weiß nicht , wie ich das jetzt umformen
> soll.
Ich habe nicht alles angeschaut, aber glaube fest, dass man mit partieller Integration nicht weit kommt ...
Führe durch quadratische Ergänzung und geschickte Umformung und eine lineare Substitution das Ausgangsintegral auf ein Integral der Form [mm]\int{\frac{1}{\sqrt{1-z^2}} \ dz}[/mm] zurück.
Das ist dir sicher schon untergekommen: [mm]=\arcsin(z) \ (+C)[/mm] - falls nicht, erneute Substitution [mm]z=\sin(u)[/mm]
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:57 Di 08.07.2014 | | Autor: | pc_doctor |
Alles klar, vielen Dank. Dann mache ich das so.
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Hallo,
ja, probier mal rum, ist etwas Fisselei, aber du kannst das Schritt für Schritt machen ...
Wenn du feststeckst, melde dich einfach nochmal.
Es kommt ein schönes Ergebnis raus ...
Gruß und viel Erfolg beim Integrieren
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:15 Di 08.07.2014 | | Autor: | pc_doctor |
Hallo nochmal,
ja vielen Dank. Werd mich melden, sobald ich nicht mehr weiterkomme. Und danke nochmal wegen dem Tipp :D
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