Fläche belegen mit Platten < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:49 Fr 25.10.2013 | | Autor: | Catman |
| Aufgabe | Zur Abdeckung eines Fußbodens sind - ohne Überschneidungen - Platten der Formate 2×2
und 4×1 verwendet worden. Zeigen Sie: Das überschneidungsfreie Abdecken des Fußbodens ist nicht
möglich, wenn statt einer der benutzten Platten eine zusätzliche Platte des anderen Formats verwendet
wird. |
Hallo zusammen,
Also man muss ja jetzt zeigen, dass die Grundfläche von n*2X2 Platten + n*1X4 Platten nicht gleich der Grundfläche von (n-1)2X2 Platte + (n+1) 1X4 Platten oder andersrum ist. Im Grunde erscheint das ja auch logisch, weil man eine 4X1 Platte nicht durch eine 2X2 Platte ersetzen kann. Aber wie beweise ich das jetzt allgemein für alls möglichen kombinationen aus Platten? Wäre toll wenn mir da jemand helfen könnte einen Ansatz zu finden.
Vielen Dank schonmal und freundliche Grüße,
Andy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:31 Fr 25.10.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Andy,
es müssen nicht gleich viele [mm] 2\times{2} [/mm] und [mm] $4\times{1}$-Platten [/mm] sein. Von daher solltest nicht für beide Anzahlen "n" ansetzen.
Grüße
reverend
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Hallo Andy,
oft gehen solche Aufgaben am einfachsten mit einer passenden Einfärbung, hier z.B. mit dieser:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Stell Dir die ganze Ebene so fortgesetzt vor, immer die gleichen vier Farben. Daraus wird ein beliebiger Raumgrundriss ausgeschnitten (natürlich entlang der Kanten). Ohne ihn weiter zu untersuchen, nehmen wir nun an, er könne mit Platten in den beiden Formaten ausgelegt werden.
Und jetzt schau Dir die Färbungen der Platten mal genau an.
Grüße
reverend
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:12 Fr 25.10.2013 | | Autor: | Catman |
> Hallo Andy,
>
> oft gehen solche Aufgaben am einfachsten mit einer
> passenden Einfärbung, hier z.B. mit dieser:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Stell Dir die ganze Ebene so fortgesetzt vor, immer die
> gleichen vier Farben. Daraus wird ein beliebiger
> Raumgrundriss ausgeschnitten (natürlich entlang der
> Kanten). Ohne ihn weiter zu untersuchen, nehmen wir nun an,
> er könne mit Platten in den beiden Formaten ausgelegt
> werden.
>
> Und jetzt schau Dir die Färbungen der Platten mal genau
> an.
>
> Grüße
> reverend
Hallo reverend,
Erstmal vielen Dank, dass du dir die Zeit nimmst mir zu helfen.
Also das würde ja dann so aussehen (oder ähnlich):
[Dateianhang nicht öffentlich]
Aber irgendwie erkenne ich jetzt nichts in der Färbung, was mich auf eine Lösung bringt. Also die Farben sind regelmäig, aber das liegt ja daran, dass es so konstruiert wurde.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo nochmal,
ja, so wars gemeint. Ich war nur zu faul, so oft copy und paste zu machen. 
Welche Farben enthält eine quadratische Platte?
Da gibts nur eine Möglichkeit, egal wo die Platte liegt.
Welche Farben enthält eine rechteckige Platte?
Da gibts zwar vier Möglichkeiten, je nach Lage der Platte, aber eins haben diese Farbkombinationen alle gemeinsam...
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:34 Fr 25.10.2013 | | Autor: | Catman |
> Hallo nochmal,
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> ja, so wars gemeint. Ich war nur zu faul, so oft copy und
> paste zu machen.
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> Welche Farben enthält eine quadratische Platte?
> Da gibts nur eine Möglichkeit, egal wo die Platte liegt.
>
> Welche Farben enthält eine rechteckige Platte?
> Da gibts zwar vier Möglichkeiten, je nach Lage der
> Platte, aber eins haben diese Farbkombinationen alle
> gemeinsam...
>
> Grüße
> reverend
Dank dir nochmal für deine Mühe.
Ja jedes Quadrat enthält dieselben 4 Farben, und jedes Rechteck enthält jeweils nur 2 Farben, 2 mal. (also mit 4 Kästchen jeweils)
Aber irgendwie verstehe/sehe ich trotzdem nicht, wie man das damit beweisen soll. Argumentiert man darüber, dass die Farben unterschiedlich sind?
Gruß
Andy
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Hallo nochmal,
> > Welche Farben enthält eine quadratische Platte?
> > Da gibts nur eine Möglichkeit, egal wo die Platte
> liegt.
> >
> > Welche Farben enthält eine rechteckige Platte?
> > Da gibts zwar vier Möglichkeiten, je nach Lage der
> > Platte, aber eins haben diese Farbkombinationen alle
> > gemeinsam...
>
> Dank dir nochmal für deine Mühe.
> Ja jedes Quadrat enthält dieselben 4 Farben, und jedes
> Rechteck enthält jeweils nur 2 Farben, 2 mal. (also mit 4
> Kästchen jeweils)
Genau.
> Aber irgendwie verstehe/sehe ich trotzdem nicht, wie man
> das damit beweisen soll. Argumentiert man darüber, dass
> die Farben unterschiedlich sind?
Ja, das reicht. Deswegen kann man eine quadratische Platte nicht gegen eine rechteckige austauschen, auch nicht, wenn man danach alle übrigen Platten irgendwie neu verlegt.
Der Austausch der Platten verändert die Zahl der mit ihnen zu belegenden Farbfelder. Die quadratischen Platten ändern für jede der vier Farben die Zahl um 1; die rechteckigen ändern für zwei der Farben die Zahl um 2.
Eine einfache gerade-ungerade-Betrachtung genügt also. Die quadratische Platte kehrt alle geraden in ungerade um und umgekehrt. Die rechteckige Platte verändert die Parität dagegen gar nicht.
Grüße
reverend
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