Fläche die überstrichen wird < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:15 Fr 19.06.2009 | | Autor: | n0000b |
| Aufgabe | Wie groß ist der Inhalt der Fläche, die der Ortsvektor von P überstreicht, wenn P die
Strecke von ( -1, 1, 1) nach ( 1, -1, 1) durchläuft ? |
[mm] $\vec{x}(t)=\vektor{-1 \\ 1 \\ 1}+t\left(\vektor{1 \\ -1 \\ 1}-\vektor{-1 \\ 1 \\ 1}\right)$
[/mm]
Jetzt müsste man doch [mm] $|\vec{x}(t)\times\vec{x}'(t)|$ [/mm] berechnen und dann:
$ F= [mm] \integral_{-1}^{1}{|\vec{x}(t)\times\vec{x}'(t)| dt} [/mm] $ ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:18 Fr 19.06.2009 | | Autor: | Calli |
Hi,
wie kommst Du auf die Integrationsgrenzen ? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Überlege mal, welche Werte der Parameter t durchläuft.
Ciao
Calli
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:37 Fr 19.06.2009 | | Autor: | n0000b |
[Dateianhang nicht öffentlich]
Aber über was muss ich integrieren? Muss ich über x und y integrieren?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:42 Fr 19.06.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Der Vektor beschreibt doch einen Teil eines Kreises. Welchen Teil? und was ist der Radius des Kreises?
Hie zu integrieren waer mit Kanonen auf Spatzen schiessen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:50 Fr 19.06.2009 | | Autor: | n0000b |
Ja, soll in diesem Fall aber so sein, dass mit Kanonen auf Spatzen geschossen wird^^
Es fehlen mir also zu meinem Glück nur die Integrationsgrenzen :-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:01 Fr 19.06.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ja, dann sind deine Grenzen von t= 0 bis t=1.
aber dann "ueberstreicht" der Ortsvektor nichts, sondern ein Vektor laueft laengs einer Geraden. Wenn ich "Vektor ueberstreicht" hoere, denk ich er bleibt auf dem Weg ueberall gleich lang.??
und x' sollte senkrecht auf x stehen, also x'*x=0??
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:17 Fr 19.06.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo
> Ja, dann sind deine Grenzen von t= 0 bis t=1.
> aber dann "ueberstreicht" der Ortsvektor nichts, sondern
> ein Vektor laueft laengs einer Geraden. Wenn ich "Vektor
> ueberstreicht" hoere, denk ich er bleibt auf dem Weg
> ueberall gleich lang.??
Hallo,
das tut er nicht. Da die entsprechneden Geradenpunkte vom Ursprung verschiedene Abstände haben, wird ihr Ortsvektor mal kürzer und mal länger.
Es handelt sich wirklich nur um eine simple Dreiecksberechnung mit einem Eckpunkt im Ursprung.
Gruß Abakus
> und x' sollte senkrecht auf x stehen, also x'*x=0??
> Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:29 Sa 20.06.2009 | | Autor: | n0000b |
Habe ich das jetzt so richtig verstanden?
$ F= [mm] \integral_{0}^{1}{|\vec{x}(t)\times\vec{x}'(t)| dt} [/mm] $
Warum von 0 bis 1?
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> Habe ich das jetzt so richtig verstanden?
>
> [mm]F= \integral_{0}^{1}{|\vec{x}(t)\times\vec{x}'(t)| dt}[/mm]
Dies ergäbe das doppelte der gesuchten Fläche,
welche man natürlich in diesem Fall durch ein
einziges Vektorprodukt, ohne Integration berech-
nen könnte:
[mm] F=\bruch{1}{2}*|\vec{x}(0)\times(\vec{x}(1)-\(\vec{x}(0))|
[/mm]
> Warum von 0 bis 1?
Du hast ja die Parametrisierung selber so gewählt,
dass für [mm] t\in [/mm] [0..1] genau die Strecke vom Anfangs-
punkt bis zum Endpunkt durchlaufen wird.
Falls die zu durchlaufende Kurve krumm ist (z.B. zur
Berechnung einer Kegelmantelfläche), dann ist die
Methode mit der Integration mit Vektorprodukt im
Integranden durchaus sinnvoll.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:30 Sa 20.06.2009 | | Autor: | n0000b |
> > Habe ich das jetzt so richtig verstanden?
> >
> > [mm]F= \integral_{0}^{1}{|\vec{x}(t)\times\vec{x}'(t)| dt}[/mm]
>
> Dies ergäbe das doppelte der gesuchten Fläche,
> welche man natürlich in diesem Fall durch ein
> einziges Vektorprodukt, ohne Integration berech-
> nen könnte:
>
> [mm]F=\bruch{1}{2}*|\vec{x}(0)\times(\vec{x}(1)-\(\vec{x}(0))|[/mm]
Jep, sry. Das [mm] \bruch{1}{2} [/mm] habe ich vergessen hinzuschreiben. Ist mir aber schon bewusst, dass wir es brauchen.
> > Warum von 0 bis 1?
>
> Du hast ja die Parametrisierung selber so gewählt,
> dass für [mm]t\in[/mm] [0..1] genau die Strecke vom Anfangs-
> punkt bis zum Endpunkt durchlaufen wird.
>
ok, ich habe es vertanden. Danke 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:31 Sa 20.06.2009 | | Autor: | n0000b |
Erledigt.
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Du kannst auch den Abstand der Geraden zum Ursprung berechnen, das ist die Höhe des Dreiecks, die Länge der Grundseite zu dieser Höhe ist der Abstand der gegebenen Punkte. Damit bekommst du die Fläche auch elementargeometrisch ohne Integral heraus. Das mit dem Integral ist aber auch eine nette Idee .
Übrigens: Eine Skizze hilft bei dieser Überlegung sehr.
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