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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:28 Mo 15.03.2010 | | Autor: | hennes82 |
| Aufgabe | Die Vektoren [mm] \overrightarrow{a} [/mm] und [mm] \overrightarrow{b} [/mm] schließen einen Winkel von 60° ein mit [mm] a=|\overrightarrow{a}|=3 [/mm] und [mm] b=|\overrightarrow{b}|=6.
[/mm]
Berechnen Sie den Flächeninhalt [mm] F=\bruch{1}{2}|\overrightarrow{A}\times\overrightarrow{B}| [/mm] des Dreiecks, das von den Vektoren [mm] \overrightarrow{A}=\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b} [/mm] und [mm] \overrightarrow{B}=3\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b} [/mm] gebildet wird.
Hinweis: Erst symbolisch rechnen und erst dann Zahlenwerte einsetzen. |
Habe zunächst [mm] \overrightarrow{A}=\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b} [/mm] in komponentenweise geschrieben.
Also [mm] \overrightarrow{A}=\vektor{a_{x}-2b_{x} \\ a_{y}-2b_{y} \\ a_{z}-2b_{z}}, [/mm] sowie [mm] \overrightarrow{B}=3\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b} [/mm] Also [mm] \overrightarrow{B}=\vektor{3a_{x}+2b_{x} \\ 3a_{y}+2b_{y} \\ 3a_{z}+2b_{z}}.
[/mm]
Daraus dann das Kreuzprodukt gebildet. [mm] \overrightarrow{A}\times\overrightarrow{B}=8\vektor{a_{y}b_{z}-a_{z}b{y} \\ a_{z}2b_{x}-a_{x}b_{z} \\ a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x}}.
[/mm]
Ab hier komme ich nicht weiter. Ich weiß ja das a=3 ,b=6 und der Winkel 60° beträgt. Daraus folgt [mm] \overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=a*b*cos\alpha=3*6*\bruch{1}{2}=9.
[/mm]
Aber wie hilft mir das weiter???
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo hennes82,
ich würde hier ein passendes Koordinatensystem einführen,
um die Rechnung erheblich einfacher zu machen als durch
das Jonglieren mit "allgemeinen" Ausdrücken.
Setze einfach [mm] $\vec{a}\ [/mm] =\ [mm] \vektor{3\\0}$ [/mm] und [mm] $\vec{b}\ [/mm] =\ [mm] \vektor{3\\3\,\sqrt{3}}$
[/mm]
LG Al-Chw.
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Es geht natürlich auch ohne Koordinatensystem.
Du hast ja schon hergeleitet: [mm] $\overrightarrow{A}\times\overrightarrow{B}\ [/mm] =\ [mm] 8*\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}$
[/mm]
Ferner gilt für den Betrag des Vektorprodukts die Formel:
$\ [mm] |\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}|\ [/mm] =\ [mm] |\overrightarrow{a}|*|\overrightarrow{b}|*sin(\varphi)$
[/mm]
(Sinus, nicht Cosinus !)
wobei [mm] \varphi [/mm] der von [mm] \overrightarrow{a} [/mm] und [mm] \overrightarrow{b} [/mm] eingeschlossene Winkel ist.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 Mo 15.03.2010 | | Autor: | hennes82 |
Erstmal danke für den Tipp mit dem KS.
Also setze ich [mm] \overrightarrow{a}=\vektor{3 \\ 0} [/mm] und [mm] \overrightarrow{b}=\vektor{3 \\ 3*\wurzel{3}}.
[/mm]
Dann bekomme ich [mm] \overrightarrow{A}=\vektor{-3 \\ -6*\wurzel{3}} [/mm] und [mm] \overrightarrow{B}=\vektor{15 \\ 6*\wurzel{3}}.
[/mm]
Daraus folgt für das Kreuzprodukt [mm] \overrightarrow{A}\times\overrightarrow{B}=72*\wurzel{3}.
[/mm]
Und somit für den Flächeninhalt [mm] F=36*\wurzel{3}. [/mm]
Und das ganze darf ich machen, da in der Aufgabenstellung keine Vektoren [mm] \overrightarrow{a} [/mm] und [mm] \overrightarrow{b} [/mm] explizit angegeben sind, d.h. es muss für alle Vektoren gelten, die die entsprechende Länge haben?
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> Erstmal danke für den Tipp mit dem KS.
> Also setze ich [mm]\overrightarrow{a}=\vektor{3 \\ 0}[/mm] und
> [mm]\overrightarrow{b}=\vektor{3 \\ 3*\wurzel{3}}.[/mm]
>
> Dann bekomme ich [mm]\overrightarrow{A}=\vektor{-3 \\ -6*\wurzel{3}}[/mm]
> und [mm]\overrightarrow{B}=\vektor{15 \\ 6*\wurzel{3}}.[/mm]
>
> Daraus folgt für das Kreuzprodukt
> [mm]\overrightarrow{A}\times\overrightarrow{B}=72*\wurzel{3}.[/mm]
>
> Und somit für den Flächeninhalt [mm]F=36*\wurzel{3}.[/mm]
>
> Und das ganze darf ich machen, da in der Aufgabenstellung
> keine Vektoren [mm]\overrightarrow{a}[/mm] und [mm]\overrightarrow{b}[/mm]
> explizit angegeben sind, d.h. es muss für alle Vektoren
> gelten, die die entsprechende Länge haben?
Das klappt, weil das Vektorprodukt zweier Vektoren vom
konkret gewählten Koordinatensystem unabhängig ist.
Der Flächeninhalt der von [mm] \overrightarrow{a} [/mm] und [mm] \overrightarrow{b} [/mm] oder auch von [mm] \overrightarrow{A} [/mm] und
[mm] \overrightarrow{B} [/mm] aufgespannten Dreiecke ist nur von den Längen und dem
Zwischenwinkel der Vektoren abhängig.
Übrigens scheint mir der andere Lösungsweg (ohne KS)
jetzt doch auch ganz akzeptabel. Man kommt ja ganz
ohne Komponentenschreibweise aus.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Mo 15.03.2010 | | Autor: | hennes82 |
Ja, das habe ich nun auch gemerkt.
Also nochmal vielen Dank.
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