Flächen bei Funkltionsscharen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:15 Do 09.12.2004 | | Autor: | DerD |
Hallo,
gegeben ist die Funktionsschar
[mm] f_{c} [/mm] (x) = c - [mm] \bruch{x}{2} [/mm] .
Nun soll angegeben werden welcher der Schargraphen mit der Koordinatenachse eine Fläche der Maßzahl 16 einschließt.
Jaaaa, nun kommt schon mein Problem.
Ich dachte mir dass ich erstmal zwei Nullstellen finden müsste um überhaupt auf eine Fläche zu kommen, die von dem Graphen und den Koordinatenachsen eingeschlossen wird.
Ich versuche also nun für c verschiedene Zahlen einzusetzen und die Funktion nach x hin aufzulösen.
zB mit c=1
[mm] f_{1} [/mm] = 1 - [mm] \bruch{x}{2} [/mm]
0 = 1 - [mm] \bruch{x}{2} [/mm]
-1 = - [mm] \bruch{x}{2}
[/mm]
-2 = -x
2 = x
Nun hätte ich doch eine Nullstelle bei x=2, eigentlich...
Ich mach das gleiche jetzt nochmal mit c=2 dann erhalte ich
4 = x
Das macht dann zwei Nullstellen.
Wie aber muss ich Integrieren um auf eine Fläche der Maßzahl 16 zu kommen. Ich glaube außerdem, dass ich beim Nullstellen suchen etwas falsch gemacht habe... *mmh*
Über jede Hilfe bin ich dankbar!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
DerD (vielen Dank für die Helfer bei den Cos/Sin Ableitungen- ich kanns jetzt :D)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:29 Do 09.12.2004 | | Autor: | DerD |
Habe mir was überlegt.
ich intergriere mit den Grenzen 2 und 4
(Nullstellen, sofern sie denn richtig von mir errechnet wurden...)
[mm] \integral_{2}^{4} {f_{c}(x) dx} [/mm] =
= [mm] \integral_{2}^{4} [/mm] (c - [mm] \bruch{x}{2}) [/mm] dx =
= [cx - (wie integrier ich den Bruch?) ] in den Grenzen 2,4
müsste doch die richtige Richtung sein, oder?
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Hallo DerD!
> [mm]f_{c}[/mm] (x) = c - [mm]\bruch{x}{2}[/mm] .
>
> Nun soll angegeben werden welcher der Schargraphen mit der
> Koordinatenachse eine Fläche der Maßzahl 16 einschließt.
>
> Jaaaa, nun kommt schon mein Problem.
> Ich dachte mir dass ich erstmal zwei Nullstellen finden
> müsste um überhaupt auf eine Fläche zu kommen, die von dem
> Graphen und den Koordinatenachsen eingeschlossen wird.
Also, im Prinzip ist das richtig. Wenn ein Graph mit der Koordinatenachse eine Fläche einschließt, muss man Nullstellen berechnen. Bei dieser Aufgabe hat mich das aber direkt etwas gewundert, denn deine Funktionsschar besteht nur aus Geraden. Und eine Gerade kann ja immer nur eine Nullstelle haben, oder sehe ich das falsch? Jedenfalls könnte ich mir vorstellen, dass hier die Fläche im 1. Quadranten (das ist doch der, bei der x und y positiv sind, oder?) gemeint ist, jedenfalls würde die Fläche dann auch von den Koordinatenachsen eingeschlossen. Du hast nicht zufällig eine Zeichnung zu der Aufgabe?
Dann schau dir aber wenigstens mal ein paar Funktionen dieser Funktionsschar an. 
> Ich versuche also nun für c verschiedene Zahlen einzusetzen
> und die Funktion nach x hin aufzulösen.
Ich hätte die Funktionsschar einfach nach x aufgelöst, ohne einzelne c einzusetzen. So erhältst du nämlich allgemein die Nullstellen und brauchst nicht für jedes c einzeln zu rechnen. Du erhältst also:
[mm] f_c(x)=c-\bruch{x}{2}
[/mm]
[mm] 0=c-\bruch{x}{2}
[/mm]
[mm] c=\bruch{x}{2}
[/mm]
Das stimmt natürlich mit deinen Berechnungen überein.
> zB mit c=1
>
> [mm]f_{1}[/mm] = 1 - [mm]\bruch{x}{2}[/mm]
> 0 = 1 - [mm]\bruch{x}{2}[/mm]
> -1 = - [mm]\bruch{x}{2}
[/mm]
> -2 = -x
> 2 = x
>
> Nun hätte ich doch eine Nullstelle bei x=2, eigentlich...
>
>
> Ich mach das gleiche jetzt nochmal mit c=2 dann erhalte
> ich
>
> 4 = x
>
> Das macht dann zwei Nullstellen.
So, dein Fehler ist aber, dass die beiden Nullstellen ja gar nicht zur selben Funktion gehören! Du hast ja zwei verschiedene c eingesetzt, also hast du auch zwei verschiedene Funktionen. Und es ist doch nach [f]einer[/f] Funktion gefragt, oder?
> Wie aber muss ich Integrieren um auf eine Fläche der
> Maßzahl 16 zu kommen. Ich glaube außerdem, dass ich beim
> Nullstellen suchen etwas falsch gemacht habe... *mmh*
So, also, wenn die Aufgabe wirklich so gemeint ist, wie ich eben beschrieben habe, dann musst du von 0 bis 2c integrieren (0 ist ja der Schnittpunkt mit der y-Achse und 2c haben wir gerade als Schnittpunkt mit der x-Achse berechnet). Das sieht dann so aus:
[mm] \integral_{0}^{2c}{c-\bruch{x}{2}dx}=16
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] [cx-\bruch{1}{4}x^2]_{0}^{2c}=16
[/mm]
...
ich erhalten dann c=4 - das stimmt wohl auch, guck dir mal den Graphen dafür an, du berechnest ja eigentlich nur die Fläche eines Dreiecks, und das kannst du auch geometrisch nachrechnen. 
Ich denke, damit wäre die Aufgabe dann gelöst, oder?
> Über jede Hilfe bin ich dankbar!
Ich hoffe, die habe ich dir hiermit gegeben.
> DerD (vielen Dank für die Helfer bei den Cos/Sin
> Ableitungen- ich kanns jetzt :D)
Danke für die Rückmeldung! Es ist immer schön, wenn man erfährt, dass die Hilfe, die man gibt, auch etwas gebracht hat (auch wenn ich mir nicht ganz sicher bin, ob ich zu dieser Antwort etwas produktives beigetragen hatte...) - und vor allem wenn du jetzt sagen kannst: Ich kann's jetzt!
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:53 Do 09.12.2004 | | Autor: | DerD |
Den letzten Schritt kann ich nicht nachvollziehen.
warum ist c=4 ? Stehe irgendwie auf dem Schlauch...
Kannst du mir vielleicht mal nen Tipp beim Integrieren geben?
Ich komm damit nicht immer zurecht. Im Grunde ist das doch eine
Rückableitung, aber wie bekomm ich denn raus was zB der Bruch integriert ist? (in der Aufgabe)
Im Endeffekt versteh ich ja warum es so ist aber mir fehlt irgendwie die Möglichkeit das selber zu machen -.-
Aber sonst 1a Hilfe :D
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:12 Do 09.12.2004 | | Autor: | DerD |
Den letzten Schritt kann ich nicht nachvollziehen.
warum ist c=4 ? Stehe irgendwie auf dem Schlauch...
Kannst du mir vielleicht mal nen Tipp beim Integrieren geben?
Ich komm damit nicht immer zurecht. Im Grunde ist das doch eine
Rückableitung, aber wie bekomm ich denn raus was zB der Bruch integriert ist? (in der Aufgabe)
Im Endeffekt versteh ich ja warum es so ist aber mir fehlt irgendwie die Möglichkeit das selber zu machen -.-
Aber sonst 1a Hilfe :D
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Hallo!
> Den letzten Schritt kann ich nicht nachvollziehen.
> warum ist c=4 ? Stehe irgendwie auf dem Schlauch...
Also, das ist eigentlich gar nicht schwierig, aber ich hätte es auch beinahe nicht gesehen.
Du suchst ja:
[mm] \integral_{0}^{2c}{(c-\bruch{x}{2})dx}=16
[/mm]
(sorry, da hatte ich natürlich eine Klammer vergessen...)
Da du hier eine Summe (bzw. Differenz) stehen hast, kannst du die Summanden einzeln integrieren (ist ja beim Ableiten auch so ). [mm] \integral{c dx}=cx [/mm] - ist das noch klar? Wenn nicht, dann leite es einfach mal ab und du erhältst wieder nur c!
und [mm] \bruch{x}{2} [/mm] ist ja nichts anderes als [mm] x*\bruch{1}{2} [/mm] - ist doch klar, oder?
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] ist eine Konstante, die kommt beim integrieren einfach davor (beim Ableiten ja auch) und x integriert ergibt [mm] \bruch{1}{2}x^2 [/mm] (wenn du das nicht siehst, schau dir mal die Integrationsregeln an, wie du sagst, ist es genau umgekehrt, wie beim Ableiten. Und zur Kontrolle, kannst du auch immer ableiten und gucken, ob du das Ursprüngliche erhältst.
Du erhältst also [mm] [cx-\bruch{1}{4}x^2]_{0}^{2c}. [/mm] Das heißt nun, dass du zuerst für x 2c einsetzt, und dann davon subtrahierst, was du erhältst, wenn du für x 0 einsetzt. Für x=0 ergibt das Ganze allerdings 0, du kannst es dir also gleich sparen.
Siehst du jetzt, wie ich drauf komme? Du hast dann nur noch die Gleichung:
[mm] c*2c-\bruch{1}{4}(2c)^2=16
[/mm]
diese müsstest du doch lösen können, oder?
Wenn du's nicht schaffst, schick mal deinen Ansatz, denn es ist doch recht viel Tipparbeit, wenn ich alle Schritte einzeln tippen muss.
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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> Kannst du mir vielleicht mal nen Tipp beim Integrieren
> geben?
> Ich komm damit nicht immer zurecht. Im Grunde ist das doch
> eine
> Rückableitung, aber wie bekomm ich denn raus was zB der
> Bruch integriert ist? (in der Aufgabe)
> Im Endeffekt versteh ich ja warum es so ist aber mir fehlt
> irgendwie die Möglichkeit das selber zu machen -.-
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> Aber sonst 1a Hilfe :D
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:47 Do 09.12.2004 | | Autor: | DerD |
Ich denke es liegt einfach an der Uhrzeit und dem Fakt, dass ich mir seit geschlagenen 6Std Mathe reinpauke, weshalb ich die letzte Gleichung von Dir nicht lösen kann -.-
Wenn Du Zeit hast, wäre es Klasse wenn du mir nen Lösungsansatz gibtst. Brauchst nicht alle Schritte, den ersten und vielleicht noch den letzen oder so.
Werd mich aber ins Bett haun, bin heut nichtmehr aufnahmefähig...
Auf jeden Fall vielen Dank für die Hilfe, ich denke ich werd in Mathe morgen keinen Ausfall kassieren - was ne waaaaahnsins Leistung wäre... (konsequent seit der 11. Klasse 5 ... -> versaut mir immer meinen Schnitt ^_^)
Zumal du mir das alles so erklärt hast, dass ich mich nicht wie ein Volldepp fühle! Dankö :D
Schau morgen früh nochmal wg dem Ansatz. Wenn du es nichtmehr schaffst auch okai, irgendwie bekomm ichs schon gerechnet.
Hab ich mich schon bedankt? *g*
Gute Nacht und ich werd sicher bald mal wieder ein paar Fragen loslassen... :)
Gruß
DerD
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Hallo nochmal!
Da hast du aber Glück, das ich noch wach bin, wo ich doch mal früh schlafen gehen wollte... Schreibst du denn morgen eine Klausur? Dann hilft dir die Lösung doch gar nicht so viel, du musst es doch wirklich verstanden haben. Oder sollst du die Aufgabe nur vorrechnen?
Naja, ich denke, ich schaffe den ganzen Teil noch. Ist nur etwas Schreibarbeit. Wie du integrierst, hast du jetzt verstanden?
Also, wir waren bei folgender Gleichung:
[mm] c*2c-\bruch{1}{4}(2c)^2=16
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] 2c^2-\bruch{1}{4}(4c^2)=16
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] 2c^2-c^2=16
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] c^2=16
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] c=\pm [/mm] 4
(die -4 hatte ich ganz übersehen, dürfte aber eigentlich keinen Sinn machen, auch wenn ich das mathematisch im Moment nicht begründen kann)
Ich hoffe, du verstehst die einzelnen Umformungsschritte. Falls du ansonsten später noch an einer Antwort interessiert bist, kannst du ja nochmal nachfragen.
Viele Grüße
und ![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
Bastiane
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