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Forum "Integralrechnung" - Flächen oberhalb & unterhalb
Flächen oberhalb & unterhalb < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Flächen oberhalb & unterhalb: Bestimmen einer Fläche
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:46 Do 15.11.2007
Autor: MatheNietchen

Aufgabe
Bestimmen Sie den inhalt der Fläche, die der Graph von [mm] f(x)=x^4-4x² [/mm] mit der x-Achse einschließt.

Hallo!
Folgender Lösungsweg. Zunächst rechne ich die Nullstellen aus und erhalte eine doopelte bei Null v bei -2/2.
Dann rechne ich [mm] \integral_{-2}^{0}{f(x)=x^4-4x² dx} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{2}{f(x)=x^4-4x² dx} [/mm] und rhalte beim Auflösen 12,8. Richtig?

        
Bezug
Flächen oberhalb & unterhalb: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:11 Do 15.11.2007
Autor: Tyskie84

Hallo!

Ja die Nullstellen lauten: [mm] x_{01}=0 x_{02}=2 x_{03}=-2 [/mm]

Dann kann man noch die Extremstellen berechnen.

Wir haben einen Hochpunkt bei HP(0|0) und zwei Tiefpunkte [mm] TP_{1}(\wurzel{2}|-4) [/mm] uund [mm] TP_{2}(-\wurzel{2}|-4) [/mm]

Jetzt berechnest du das Integral:

[mm] \integral_{-2}^{0}{x^{4}-4x² dx} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{2}{x^{4}-4x² dx}. [/mm] Wenn ich das berechne bekomme ich aber [mm] \bruch{32}{3} [/mm] also 10* [mm] \bruch{2}{3} [/mm] heraus!

Übrigens musst du ungefähr wissen wie der Graph zu der Funktion aussieht ansonsten bekommst du nicht den "wahren" Flächeninhalt heraus weil die beiden Flächen sich ja aufheben könnten. Also rechne sicherheitshalber auch noch die Extrempunkte aus. Das geht schnell.

Gruß
Tyskie

Bezug
                
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Flächen oberhalb & unterhalb: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:25 Do 15.11.2007
Autor: MatheNietchen

Der Graph sieht ja förmlich aus, wie ein w, ichtig?
Also meine rechnung sieht so aus

$ [mm] \integral_{-2}^{0}{x^{4}-4x² dx} [/mm] $ + $ [mm] \integral_{0}^{2}{x^{4}-4x² dx}. [/mm] $
= [mm] \integral_{-2}^{0}{0-[1/5*(-2)^5-4/3(2)^3)]} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{2}{[1/5*(2)^5-4/3(2)^3)]} [/mm]
ausgrechnet ergibt das : -4 4/15 + (-4 4/15) = - 8 8/15

Bezug
                        
Bezug
Flächen oberhalb & unterhalb: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:34 Do 15.11.2007
Autor: Steffi21

Hallo, jetzt ist dein Ergebnis korrekt (fast), du schreibst [mm] -8\bruch{8}{15}, [/mm] die beiden Flächenstücke liegen unterhalb der x-Achse, darum bekommst du das Vorzeichen minus, somit sind es [mm] 8\bruch{8}{15}FE, [/mm] kleiner Hinweis für die Zukunft, setze deine Integrale in Betragsstriche, dann bekommst du immer einen positiven Wert,

Steffi

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Flächen oberhalb & unterhalb: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:38 Do 15.11.2007
Autor: Tyskie84

Hallo Steffi!

Jetzt hab ich es auch ;) [mm] \bruch{128}{15} [/mm]

Gruß
Tyskie

Bezug
                
Bezug
Flächen oberhalb & unterhalb: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) richtig (detailiert geprüft) Status 
Datum: 18:26 Do 15.11.2007
Autor: Steffi21

Hallo, auch dein Ergebnis ist leider nicht korrekt, A=8,534FE, Steffi

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