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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:14 Mo 13.11.2006 | | Autor: | franzi |
| Aufgabe | | Gegeben ist [mm] f(x)=1/4x^3-2x^2+1/4ax [/mm] . Bestimme a so, dass der Graph die x-Achse berührt. Welchen Inhalt hat die Fläche, die der Grapgh mit der x-Achse einschließt. |
Hallo,
Mir ist bei der Aufgabe nicht ganz klar wie ich a berechnen kann. Wäre gut wenn mir jemand einen Lösungswert nennen könnte!
Ist es richtig, dass man die x-Werte der Nullstellen der Funktion als obere bzw. untere Grenze des Integrals nimmt und somit die Fläche berechnen kann? Wäre echt nett, wenn mir da jemand weiterhelfen könnte...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:22 Mo 13.11.2006 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
1.) ein x ausklammern
[mm] f(x)=x(\bruch{1}{4}x²-2x+\bruch{1}{4}a)
[/mm]
Das bringt dir, dass du eine Nullstelle sofort ablesen kannst (wann wird ein Produkt 0?).
dann hast du [mm] x_1=0.
[/mm]
Oder wenn [mm] \bruch{1}{4}x²-2x+\bruch{1}{4}a=0 [/mm] ist.
2.) Das kannst du mit der p-q-Formel lösen. Du musst hierbei beachten, dass nur ein Schnittpunkt herauskommen soll! Was muss dann also unter der Wurzel gelten?
3.)Und zur Berechnung der Fläche: Ja, so ist es. Die eine Grenze wird imemr 0 sein und die andere hängt wahrscheinlich vom a ab.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:31 Mo 13.11.2006 | | Autor: | franzi |
Also dein erster Punkt ist mir klar. Nur wenn ich dann die Funktion mit der pq-Formel berechene, dann bleibt das a doch immer stehen! Ich bekomm da folgendes als Ergebnis raus x = 4 - Wurzel(16 - a) bzw. x = Wurzel(16 - a) + 4 ! Doch wie bekomme ich für das a ein konkretes Ergebnis, so dass ich die weiteren Nullstellen bestimmen kann?
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Hi, Franzi,
> Also dein erster Punkt ist mir klar. Nur wenn ich dann die
> Funktion mit der pq-Formel berechene, dann bleibt das a
> doch immer stehen! Ich bekomm da folgendes als Ergebnis
> raus x = 4 - Wurzel(16 - a) bzw. x = Wurzel(16 - a) + 4
> ! Doch wie bekomme ich für das a ein konkretes Ergebnis, so
> dass ich die weiteren Nullstellen bestimmen kann?
Wenn die Diskriminante =0 ist (also 16-a =0), berührt der zugehörige Graph die x-Achse. Die zweite Lösung (nach der von mir in meiner "Rückfrage" angedeuteten Lösung a=0) ist demnach: a=16.
Die Funktion hat also für a=16 die einfache Nullstelle x=0 und die doppelte Nullstelle x=4.
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:38 Mo 13.11.2006 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, franzi,
> Gegeben ist [mm]f(x)=1/4x^3-2x^2+1/4ax[/mm] . Bestimme a so, dass
> der Graph die x-Achse berührt. Welchen Inhalt hat die
> Fläche, die der Graph mit der x-Achse einschließt.
Gibt's denn keine Einschränkung für das a? Man sieht doch auf Anhieb, dass der Graph der Funktion für a=0 die x-Achse berührt und zwar im Ursprung! Oder sollen mehrere Funktionen betrachtet werden, für die diese Voraussetzung gilt?
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:44 Mo 13.11.2006 | | Autor: | franzi |
ne das stand nicht in der Aufgabe! Nur ich bin davon ausgegangen, dass ich alle Möglichkeiten für a berechnen soll...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:48 Mo 13.11.2006 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Franzi,
> ne das stand nicht in der Aufgabe! Nur ich bin davon
> ausgegangen, dass ich alle Möglichkeiten für a berechnen
> soll...
OK!
Das heißt dann bei dieser Aufgabe, dass Du die beiden Fälle a=0 und a=16 betrachten musst, also:
[mm] f_{0}(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}x^{3} [/mm] - [mm] 2x^{2}
[/mm]
und
[mm] f_{16}(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}x^{3} [/mm] - [mm] 2x^{2} [/mm] + 4x
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:21 Di 14.11.2006 | | Autor: | franzi |
Aber wenn ich [mm] 0=x^2-8x+a [/mm] berechen, bekomme ich ja x1=4-Wurzel(16-a) und x2=4+Wurzel(16-a)! Du hast jetzt gesagt, dass ich nun sowohl 16 als auch 0 für a einsetzen kann! Könnte ich nicht theoretisch auch -16 einsetzen ?
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Hi, Franzi,
> Aber wenn ich [mm]0=x^2-8x+a[/mm] berechen, bekomme ich ja
> x1=4-Wurzel(16-a) und x2=4+Wurzel(16-a)! Du hast jetzt
> gesagt, dass ich nun sowohl 16 als auch 0 für a einsetzen
> kann! Könnte ich nicht theoretisch auch -16 einsetzen ?
Natürlich kannst Du für a auch -16 setzen!
Oder auch 25, oder -104567 oder sonstwas, denn a ist ja zunächst beliebig.
Aber im Zusammenhang mit Deiner Aufgabenstellung geht's darum, die Werte von a zu finden, für die Deine Funktion irgendwo eine doppelte Nullstelle hat ("der Graph die x-Achse [mm] \red{beruehrt}"!)
[/mm]
Für a=-16 aber kriegst Du 3 einfache Nullstellen, also keine Berührstelle:
[mm] x_{1} [/mm] = 0; [mm] x_{2} [/mm] = [mm] 4+\wurzel{32}; x_{3} [/mm] = [mm] 4-\wurzel{32}
[/mm]
mfG!
Zwerglein
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