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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:47 Mi 20.12.2006 | | Autor: | Emilia |
| Aufgabe | | Berechnen Sie den Flächeninhalt A der Fläche, die von den Graphen der Funktion [mm] f(x)=-\bruch{1}{9}x^4+14 [/mm] und [mm] g(x)=x^2-4 [/mm] eingeschlossen wird. Fertigen Sie für die Funktion eine Skizze an. |
Guten Morgen,
die neueste Version einer Aufgabe die mir Kopfschmerzen bereitet....also Skizze hab ich bereits fertig...nun meine Frage...setze ich beide Gleichungen gleich und löse nach Null auf und ermittle dann Nullstelle und intergriere dann etwas weg???
Wenn ja...
denke ich dass ich ganz dumme Fehler mache bei der gleichsetzung
weil ich hierbei [mm] 0=-\bruch{1}{9}x^4-x^2+18 [/mm] herausbekomme...stimmt das??? was mach ich allerdings mit der Gleichung nun??? oder liege ich nun ganz flasch und kann von den [mm] x^4 [/mm] die [mm] x^2 [/mm] abziehen und habe dadurch die quadratische Geichung wodurch ich dann zwecks pq-Formel die Nullstellen ermitteln kann? und was bedeutet eigentlich Integrieren?? ich weiß dass ich hier intergrieren muss, aber ist totales Neuland für mich und in den Aufschrieben der Fernschule ist das ganze ziemlich unübersichtlich und recht kopmliziert erklärt, wodurch ich hierbei dann leider scheitere...könnte mir vielleicht jemand den Spass erklären???? Bitte Bitte...ich wäre euch zu tiefst verbunden
Liebe Grüße
nur noch 4 Tage...dann ist Weihnachten ....juchu....
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:02 Mi 20.12.2006 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Julia!
> Berechnen Sie den Flächeninhalt A der Fläche, die von den
> Graphen der Funktion [mm]f(x)=-\bruch{1}{9}x^4+14[/mm] und
> [mm]g(x)=x^2-4[/mm] eingeschlossen wird. Fertigen Sie für die
> Funktion eine Skizze an.
> weil ich hierbei [mm]0=-\bruch{1}{9}x^4-x^2+18[/mm]
> herausbekomme...stimmt das???
Ja, das tut es! Jetzt kommt ein üblicher Trick: Du setzt [mm] x^{2} [/mm] =: z ein (du 'substituierst') und erhältst eine quadratische Gleichung für z. Der kannst du mit der p-q-Formel beikommen.
Aus den beiden Lösungen der quadratischen Gl. - also aus den beiden z's - berechnest du dann die x'e, das können zwischen 0 und 4 sein. Wenn du das getan hast, solltest du das Ergebnis mit deiner Skizze vergleichen, ob alles zusammenpaßt.
Und dann beginnt die Integrationsorgie! Das machen wir im 2. Durchgang, wenn du versucht hast, einen Ansatz zu finden.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:57 Mi 20.12.2006 | | Autor: | Emilia |
Das verstehe ich nicht so ganz...was versteht man unter Substituieren??? wie genau mach ich das???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:03 Mi 20.12.2006 | | Autor: | Hing |
überall wo [mm] x^2 [/mm] steht setzt du z ein. dann hast du zB anstatt [mm] x^4 [/mm] dann [mm] z^2, [/mm] oder anstatt [mm] x^2 [/mm] dann z, oder [mm] x^6 [/mm] dann [mm] z^4.
[/mm]
wenn du dann eine lösung für z erhalten hast (genauso als wenn du x suchst), substituierst du zurück: du setzt dann [mm] x^2 [/mm] für z ein und löst dann weiter nach x auf.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:20 Mi 20.12.2006 | | Autor: | Emilia |
hab ich das richtig verstanden...dann habe ich hierbei [mm] 0=-\bruch{1}{9}z^2-z+18...??? [/mm] ist das richtig so?? und nun setze ich das ganze in pq-Formel ein??? oder löse ich nach z auf???
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 Mi 20.12.2006 | | Autor: | Emilia |
aber folgendes Problem....kann [mm] x_1_/_2=\bruch{9}{2}\pm\wurzel{(\bruch{9}{2})^2-162}....gar [/mm] nicht ausrechen, weil im Bruch eine negative Zahl herauskommt aus der man keine Wurzel ziehen kann..oder hab begehe ich gerade nen denkfehler?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:05 Mi 20.12.2006 | | Autor: | statler |
Hey Julia,
> aber folgendes Problem....kann
> [mm]x_1_/_2=\bruch{9}{2}\pm\wurzel{(\bruch{9}{2})^2-162}....gar[/mm]
> nicht ausrechen, weil im Bruch eine negative Zahl
> herauskommt aus der man keine Wurzel ziehen kann..oder hab
> begehe ich gerade nen denkfehler?
Du begehst keinen Denkfehler, aber du hast dich bei den Vorzeichen verheddert. Du mußt die quadr. Gl. doch mit -9 durchmultiplizieren, mach noch mal...
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:39 Do 21.12.2006 | | Autor: | Emilia |
Also ich hab nun heraus für [mm] z_1=9 [/mm] und für [mm] z_2=-18
[/mm]
setzt ich für dsa z jetzt jeweils [mm] x^2 [/mm] ein und ziehe die Wurzel??? wobie das ja bie -18 nicht geht, weil man ja aus einer negativen Zahl keine Wurzel ziehen kann oder hab ich mich verrechnet`?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:09 Do 21.12.2006 | | Autor: | MacMath |
> Also ich hab nun heraus für [mm]z_1=9[/mm] und für [mm]z_2=-18[/mm]
>
> setzt ich für dsa z jetzt jeweils [mm]x^2[/mm] ein und ziehe die
> Wurzel??? wobie das ja bie -18 nicht geht, weil man ja aus
> einer negativen Zahl keine Wurzel ziehen kann oder hab ich
> mich verrechnet'?
Du hast dich nicht verrechnet. Alles OK.
Deine Funktion über die du integrierst ist auf den reellen Zahlen definiert.
Also suchst du auch dort nach den Nullstellen.
Konkret bedeutet dass du suchst reelle Zahlen deren Quadrat 9 bzw -18 ergibt.
Wie du selber bemerkt hast gibt es keine solche reelle Zahl für -18, demnach kann dadurch auch keine Nullstelle zustande kommen.
Die einzigen Nullstellen kommen von der 9, sind also 3 und -3.
Nun kanns ans integrieren gehen ;)
Viel Erfolg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 04:03 Do 21.12.2006 | | Autor: | Emilia |
*schnief* daaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaankeschön...das hab ich mir schon fast gedacht...aber das ist ja immer so schlimm...also hab ich nun für [mm] x_1=3 [/mm] und [mm] x_2=-3, [/mm] das ist fein...allerdings..wie intergriere ich??? wie geht das???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:04 Do 21.12.2006 | | Autor: | clwoe |
Hi,
da du jetzt die beiden Schnittpunkte berechnet hast, hast du schonmal die Integrationsgrenzen. Nun schaust du dir an wie die beiden Graphen zueinander liegen. Sie begrenzen jedenfalls eine Fläche, die ja berechnet werden soll. In diesem Fall hier, ist der eine Graph eine Parabel die nach unten geöffnet ist und die andere eine Parabel die nach oben geöffnet ist. Ich nehme an es soll hier die gesamte Fläche berechnet werden, die die beiden Graphen eingrenzen und nicht die Fläche zwischen Graphen und x-Achse. Also schaust du dir an, welcher Graph derjenige ist, der über dem anderen liegt, und zwar in dem Bereich in dem integriert werden muss. Dann ziehst du die beiden Graphen voneinander ab und erhälst so eine neue Funktionsgleichung. Und genau über dieser Gleichung muss integriert werden mit den Schnittpunkten als Integrationsgrenzen. Dann erhälst du die komplette Fläche zwischen den Beiden Graphen.
Gruß,
clwoe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:14 Do 21.12.2006 | | Autor: | Emilia |
Soooo, stunden später...also ich habe versucht mich mit dem Thema anzufreunden und nun folgendes errechnet:
A = |f(x)-g(x)|
= [mm] \integral_{-3}^{0}{f(-\bruch{1}{9}x^4-x^2+18) dx} [/mm] - [mm] \integral_{0}^{3}{g(-\bruch{1}{9}x^4-x^2+18) dx}
[/mm]
= [mm] [-\bruch{1}{9}*(-3)^4+3^2+18] [/mm] - [mm] [-\bruch{1}{9}*3^4-3^2+18] [/mm]
= [mm] [-\bruch{1}{9}*(-3)^4+3^2+18] [/mm] - [mm] [-\bruch{1}{9}*3^4-3^2+18] [/mm]
= 0 -18
=-18
also ein negatives Ergebnis...habe ich falsch herum von einander abgezogen??? oder mich verrechnet oder gar gar nicht richtig integriert?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:35 Do 21.12.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast vergessen, die Stammfunktion zu bilden.
Und in der Schribweise vergiss mal das rot eingefärbte F bzw. g
Also
[mm] A=\integral_{-3}^{0}{\red{f}(-\bruch{1}{9}x^4-x^2+18)dx}+\integral_{0}^{3}{\red{g}(-\bruch{1}{9}x^4-x^2+18)dx}
[/mm]
Korrekt ist:
[mm] A=\integral_{-3}^{0}{(-\bruch{1}{9}x^4-x^2+18)dx}\red{+}\integral_{0}^{3}{(-\bruch{1}{9}x^4-x^2+18)dx}
[/mm]
Jetzt die Stammfunktion bilden
Also
[mm] A=\left[-\bruch{1}{45}x^{5}-\bruch{1}{3}x³+18x\right]_{-3}^{0}+\left[-\bruch{1}{45}x^{5}-\bruch{1}{3}x³+18x\right]_{0}^{3}
[/mm]
[mm] =\left[-\bruch{1}{45}*(0)^{5}-\bruch{1}{3}(0)³+18*0\right]-\left[-\bruch{1}{45}(-3)^{5}-\bruch{1}{3}(-3)³+18(-3)\right]+\left(\left[-\bruch{1}{45}(3)^{5}-\bruch{1}{3}(3)³+18(3)\right]-\left[-\bruch{1}{45}(0)^{5}-\bruch{1}{3}(0)³+18*0\right]\right)
[/mm]
Das auszurechnen überlasse ich jetzt dir.
Und es kann tatsächlich ein Negativer Flächeninhalt herauskommen, da man mit dem Integral die sogenannte gerichtete Fläche berechnet. Passiert das, ist der Flächeninhalt der Betrag der Fläche.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:46 Do 21.12.2006 | | Autor: | Emilia |
Daaaaaaaaaaaaaaaankeschööööööööööön, :) mein Leiden hat vielleicht ein Ende so kurz vor Weihnachten...ich habe 27,9 heraus gerechnet..stimmt das????
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:51 Do 21.12.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Scheint zu stimmen
Marius
Hier mal das Bild, per ![[]](/images/popup.gif) Funkyplot
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:59 Do 21.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Emilia!
Ohne hier Verwirrung stiften zu wollen ... hat sich hier ein Zahlendreher eingeschlichen?
Ich erhalte als Fläche $79.2 \ [F.E.]$ .
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:13 Do 21.12.2006 | | Autor: | Emilia |
Das ist schlimm weil ich hab nochmal nachgerechnet und hab jetzt 35,3 heraus bekommen...35,3 heraus bekommen
also die Rechnung weiter geführt...
= [mm] 17\bruch{29}{45} [/mm] - (- [mm] 39\bruch{3}{5}) [/mm] - [mm] (39\bruch{3}{5}-17\bruch [/mm] {29}{45})
= [mm] 56\bruch{11}{45} [/mm] - 21 [mm] \bruch{43}{45}
[/mm]
= 35 [mm] \bruch{13}{45}
[/mm]
= 35,3
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:06 Do 21.12.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Dann mal ganz von vorne in Kurzform:
[mm] f(x)=-\bruch{1}{9}x^4+14
[/mm]
g(x)=x²-4
[mm] A=\integral_{-3}^{3}{f(x)-g(x)}dx
[/mm]
[mm] =\integral_{-3}^{3}{(-\bruch{1}{9}x^{4}+14)-(x²-4)}dx
[/mm]
[mm] =\integral_{-3}^{3}{-\bruch{1}{9}x^{4}-x²+18)}dx
[/mm]
[mm] =\left[-\bruch{1}{45}x^{5}-\bruch{1}{3}x³+18x\right]_{-3}^{3}
[/mm]
[mm] =-\bruch{1}{45}*3^{5}-\bruch{1}{3}*3³+18*3-(-\bruch{1}{45}(-3)^{5}-\bruch{1}{3}(-3)³+18(-3))
[/mm]
[mm] =-\bruch{243}{45}-\bruch{27}{3}+54-(-\bruch{-243}{45}-\bruch{-27}{3}-54)
[/mm]
[mm] =-\bruch{27}{5}-9+54-\bruch{27}{5}-9+54
[/mm]
[mm] =-\bruch{54}{5}+90
[/mm]
[mm] =79\bruch{1}{5}
[/mm]
=79,2
Marius
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Richtig!
p/q-Formel