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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:09 Mi 17.10.2007 | | Autor: | HarryBo |
| Aufgabe | Berechne den Inhalt der von den Graphen von f und g eingeschlossenen Fläche.
f(x) = x²; g(x) = x+2 |
Schreibe am Freitag eine Mathearbeit über Integralrechnung und hab ziemlich keine Ahnung.
Wenn ihr mir erklären könntet, wie man solche Aufgaben löst, würde ich mich sehr freuen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo HarryBo,
Um die Fläche, die zwischen den Graphen zweier Funktionen $f$ und $g$ eingeschlossen ist zu ermitteln, berechne zunächst die Schnittpunkte [mm] $x_1,x_2$ [/mm] der beiden Funktionen und berechne dann
[mm] $\left|\int\limits_{x_1}^{x_2}\left(f(x)-g(x)\right)\, dx\right|$
[/mm]
Mach dir mal ne Zeichnung, dann siehst du das sofort.
Wenn es zwei Funktionen sind, die mehrere Schnittpunkte haben, und es damit mehrere eingeschlossene Flächen gibt, so musst du mehrere Integrale berechnen. Immer von einer Schnittstelle zur nächsten
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:07 Mi 17.10.2007 | | Autor: | HarryBo |
| Aufgabe | | f(x) = x² ; g(x) = -x+2 |
Danke für die schnelle Antwort! Ich rechne die Aufgabe mal nach meinen Kenntnissen vor, kann die einzelnen Schritte jedoch nicht erläutern. Ich denke irgendwas mache ich falsch, da ich ein negatives Ergebnis bekomme und eine Fläche doch positiv sein müsste:
Um die Nullstellen zu bekommen:
x²=-x+2 | +x-2
x²+x-2=0
(Im Taschenrechner eingegeben und folgende Nullstellen erhalten:)
x1=1 x2=-2
[mm] \integral_{-2}^{1}{((x²)-(-x+2)) dx} [/mm]
= [mm] \bruch{1}{3}x³-(-\bruch{1}{2}x²+2x)
[/mm]
= [mm] (\bruch{1}{3}(1)³-(-\bruch{1}{2}(1)²+2(1))) [/mm] - [mm] (\bruch{1}{3}(-2)³-(-\bruch{1}{2}(-2)²+2(-2)))
[/mm]
= [mm] (-1\bruch{1}{6}) [/mm] - [mm] 3\bruch{1}{3}
[/mm]
= [mm] -4\bruch{1}{2}
[/mm]
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Hallo,
du hast "obere" und "untere" Funktion vertauscht, um dem aus dem Weg zu gehen, setze einfach um das Integral Betragsstriche, also 4,5FE
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:26 Mi 17.10.2007 | | Autor: | HarryBo |
Könntest du das Anhand eines Beispiels erläutern. Ich verstehe leider nicht so richtig was du damit meinst und wie sich das dann auf meine Rechnung auswirkt.
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Hallo, schaue dir mal das Bild an, dann erkannst du, was obere und untere Funktion ist, machst du [mm] (-x+2)-x^{2} [/mm] bekommst du 4,5FE, Steffi
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:00 Do 18.10.2007 | | Autor: | HarryBo |
| Aufgabe | | f(x)=3x²-4 ; g(x)=6x+5 |
Ich habe nochmal eine weitere Aufgabe gerechnet (s.o.) und mein Ergebnis ist 28.
Hab ich diesmal das Richtige raus?
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Hallo!
ICh habe als Schnittstellen -1 und +3, und beim Integral habe ich dann 32.
Ich hab allerdings noch ne Anmerkung zu deiner Rechnung oben. Die ist generell ja schon sehr gut geworden, aber mathematisch nicht ganz astrein.
[mm] $\integral_{-2}^{1}{((x²)-(-x+2)) dx}=\bruch{1}{3}x³-(-\bruch{1}{2}x²+2x)$
[/mm]
wäre richtig, wenn da keine Grenzen am Integral stünden. Man schreibt das daher so:
[mm] $\integral_{-2}^{1}{((x²)-(-x+2)) dx}=\left[\bruch{1}{3}x³-(-\bruch{1}{2}x²+2x)\right]_{-2}^1$
[/mm]
Diese eckigen Klammern besagen, dass in die Stammfunktion, die du da berechnet hast, noch die grenzen, die rechts dran stehen, eingesetzt werden müssen. In der nächsten Zeile hast du die Grenzen dann eingesetzt, das ist richtig so. Nur an dieser Stelle hier solltest du die eckigen Klammern nicht vergessen, das kostet schnell Punkte.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:52 Do 18.10.2007 | | Autor: | HarryBo |
Danke für den Tipp, die eckigen Klammern werde ich ab jetzt berücksichtigen.
Ich habe jedoch immernoch Probleme bei dem Ergebnis. Mein erstes Ergebnis war 28 (eigentlich -28) und entsprach ja nicht dem richtigen Ergebnis, was laut Event_Horizon 32 betragen müsste.
Ich habe die Rechnung dann nochmal widerholt und diesmal nicht:
[mm] \integral_{-1}^{3}{(3x²-4)-(6x+5) dx}
[/mm]
sondern:
[mm] \integral_{-1}^{3}{(6x+5)-(3x²-4) dx}
[/mm]
gerechnet. Jedoch kam ich jetzt auf 26, also wieder ein falsches Ergebnis. Es wäre super, wenn ihr mir mal den kompletten Rechenweg dieser Rechnung als Beispiel vorführen könntet. Ich denke, damit würde ich meinen Fehler finden.
Vielen Dank für eure Bemühungen schonmal im Voraus!
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Erneut Hallo,
Die Schnittstellen der Funktionen liegen bei [mm] x_1=-1 [/mm] und [mm] x_2=3, [/mm] die bekommst du durch Gleichsetzen [mm] 3x^{2}-4=6x+5, [/mm] also [mm] 0=-3x^{2}+6x+9, [/mm] also [mm] 0=x^{2}-2x-3, [/mm] jetzt p-q-Formel machen, gleichzeitig die Integrationsgrenzen,
[mm] \integral_{-1}^{3}{6x+5-(3x^{2}-4) dx}
[/mm]
[mm] =\integral_{-1}^{3}{6x+5-3x^{2}+4) dx}
[/mm]
[mm] =\integral_{-1}^{3}{6x-3x^{2}+9 dx}
[/mm]
[mm] =\integral_{-1}^{3}{-3x^{2}+6x+9 dx}
[/mm]
[mm] =\left[-x^{3}+3x^{2}+9x\right]_{-1}^3
[/mm]
=(-27+27+27)-(-(-1)+3-9)
=27-(1+3-9)
=27-(-5)
=27+5
=32
Steffi
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