Flächenberechnung 2 Funktionen < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Gesucht ist der Inhalt der gelben Fläche. |
http://www.bilder-space.de/show_img.php?img=ef77f2-1329226894.jpg&size=original
Hallo , wir haben jetzt ein wenig mit der Integralrechnung angefangen und müssen jetzt Flächen unter Kurven berechnen.
Jetzt haben wir zwei Funktionen , siehe Link oben , die eine eingeschlossene gelbe Fläche ergeben , die wir ausrechnen müssen.
Jetzt überlege ich schon seit paar Stunden und hab zwar einen Ansatz bin aber nicht sicher , ob der richtig ist.
Also wir haben zwei Funktionen
f(x) = [mm] x^{2} [/mm] -4x +4
g(x) = [mm] -x^{2} [/mm] +4x -2
Wir können nur Flächen berechnen , indem wir diesen Ansatz benutzen :
[mm] A_0'(x) [/mm] = f(x).
Wir benutzen zurzeit NUR das um Flächen zu berechnen , diese Integralzeichen etc hatten wir noch nicht.
Jetzt kann ich g(x) und f(x) verschieben , sodass g(x) eine Nullstelle am Koordinatenursprng hat (vorher Nullstellen ausrechnen) dann kann ich noch f(x) um den gleichen Wert verschieben und dann kann ich den Schnittpunkt von den beiden Funktionen ausrechnen und diese Schnittpunke als Intervallgrenze nehmen und dann ERSTMAL die gesamte Fläche ausrechnen (Flächeninhaltsfunktion von g(x) bilden) und dann diese weißen Flächen (siehe Link) mit der Flächeninhaltsfunktion von f(x) ausrechnen und dann beides subtrahieren , damit ich die gelbe Fläche rauskriege.
Ist der Ansatz richtig , oder liege ich komplett falsch.
Das ist echt wichtig , muss das verstehen können.
Und tut mir Leid für so viel Text , aber ich muss es so genau wie möglich aufschreiben , obwohl das sogar ein wenig ungenau ist.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Danke schon im Voraus.
PS: Ihr könnt das Bild zoomen , wenn es zu ungenau ist.
Und sorry für die Kritzeleien hab bisschen ins Buch geschrieben :)
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Hallo pc_doctor,
> Gesucht ist der Inhalt der gelben Fläche.
>
> ![[]](/images/popup.gif) http://www.bilder-space.de/show_img.php?img=ef77f2-1329226894.jpg&size=original
>
> Hallo , wir haben jetzt ein wenig mit der Integralrechnung
> angefangen und müssen jetzt Flächen unter Kurven
> berechnen.
>
> Jetzt haben wir zwei Funktionen , siehe Link oben , die
> eine eingeschlossene gelbe Fläche ergeben , die wir
> ausrechnen müssen.
>
> Jetzt überlege ich schon seit paar Stunden und hab zwar
> einen Ansatz bin aber nicht sicher , ob der richtig ist.
>
> Also wir haben zwei Funktionen
> f(x) = [mm]x^{2}[/mm] -4x +4
>
> g(x) = [mm]-x^{2}[/mm] +4x -2
>
> Wir können nur Flächen berechnen , indem wir diesen
> Ansatz benutzen :
> [mm]A_0'(x)[/mm] = f(x).
> Wir benutzen zurzeit NUR das um Flächen zu berechnen ,
> diese Integralzeichen etc hatten wir noch nicht.
>
> Jetzt kann ich g(x) und f(x) verschieben , sodass g(x) eine
> Nullstelle am Koordinatenursprng hat (vorher Nullstellen
> ausrechnen) dann kann ich noch f(x) um den gleichen Wert
> verschieben und dann kann ich den Schnittpunkt von den
> beiden Funktionen ausrechnen und diese Schnittpunke als
> Intervallgrenze nehmen und dann ERSTMAL die gesamte Fläche
> ausrechnen (Flächeninhaltsfunktion von g(x) bilden) und
> dann diese weißen Flächen (siehe Link) mit der
> Flächeninhaltsfunktion von f(x) ausrechnen und dann beides
> subtrahieren , damit ich die gelbe Fläche rauskriege.
>
Das ganze kannst Du auch ohne Verschiebung lösen,
in dem Du zunächst die Schnittpunkt von f und g berechnest,
d.h. die Gleichung
[mm]f\left(x\right)=g\left(x\right)[/mm]
nach x auflöst.
> Ist der Ansatz richtig , oder liege ich komplett falsch.
>
Der Ansatz ist richtig,
> Das ist echt wichtig , muss das verstehen können.
> Und tut mir Leid für so viel Text , aber ich muss es so
> genau wie möglich aufschreiben , obwohl das sogar ein
> wenig ungenau ist.
>
> Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
>
> Danke schon im Voraus.
>
> PS: Ihr könnt das Bild zoomen , wenn es zu ungenau ist.
> Und sorry für die Kritzeleien hab bisschen ins Buch
> geschrieben :)
Gruss
MathePower
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Was bringt es mir , wenn ich nur die Schnittpunkte ausrechne ? S(1|1) [mm] S_1(1|3).
[/mm]
Ich muss es ja trotzdem verschieben , sonst kann ich nicht die Fläche berechnen , haben wir jedenfalls so beigebracht bekommen..
Denn die entsprechende Fläche muss bei 0 beginnen , deswegen auch [mm] A_0'(x).
[/mm]
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Hallo pc_doctor,
> Was bringt es mir , wenn ich nur die Schnittpunkte
> ausrechne ? S(1|1) [mm]S_1(1|3).[/mm]
>
Dann kannst Du den Flächeninhalt direkt berechnen:
[mm]\integral_{1}^{3}{f\left(x\right)-g\left(x\right) \ dx}[/mm]
> Ich muss es ja trotzdem verschieben , sonst kann ich nicht
> die Fläche berechnen , haben wir jedenfalls so beigebracht
> bekommen..
> Denn die entsprechende Fläche muss bei 0 beginnen ,
> deswegen auch [mm]A_0'(x).[/mm]
Dann mach es so, wie es Dir beigebracht wurde.
Gruss
MathePower
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> Hallo pc_doctor,
>
> > Was bringt es mir , wenn ich nur die Schnittpunkte
> > ausrechne ? S(1|1) [mm]S_1(1|3).[/mm]
> >
>
>
> Dann kannst Du den Flächeninhalt direkt berechnen:
>
> [mm]\integral_{1}^{3}{f\left(x\right)-g\left(x\right) \ dx}[/mm]
>
>
> > Ich muss es ja trotzdem verschieben , sonst kann ich nicht
> > die Fläche berechnen , haben wir jedenfalls so beigebracht
> > bekommen..
> > Denn die entsprechende Fläche muss bei 0 beginnen ,
> > deswegen auch [mm]A_0'(x).[/mm]
>
>
> Dann mach es so, wie es Dir beigebracht wurde.
>
>
> Gruss
> MathePower
Das Ding ist , dieses Integralzeichen hatten wir noch nicht , also wir haben damit noch nicht gerechnet , mit dem Verschieben würde es aber auch klappen , oder ?
EDIT : Hab das [mm]\integral_{1}^{3}{f\left(x\right)-g\left(x\right) \ dx}[/mm] mal jetzt mit dem nicht zugelassenen ( :) ) Taschenrechner ausgerechnet , kommt da jetzt [mm] \bruch{8}{3} [/mm] raus ?
Würde mir als Kontrollergebnis dienen , wenn ich es mit der Verschiebung mache.
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Hallo,
> Das Ding ist , dieses Integralzeichen hatten wir noch nicht
> , also wir haben damit noch nicht gerechnet , mit dem
> Verschieben würde es aber auch klappen , oder ?
Ich denke schon, auch wenn ich nicht genau weiß, wie ihr eure "Flächeninhaltsfunktion" definiert habt. Wenn ich deinem Vorgehen folge, erhalte ich:
$g(x) = [mm] -x^2 [/mm] + 4x - 2$,
$f(x) = [mm] x^2 [/mm] -4x + 4$.
Nullstellen von $g$: [mm] $x_{1/2} [/mm] = 2 [mm] \pm \sqrt{2}$.
[/mm]
Verschobene Funktion von $g$: [mm] $\overset{\sim}{g}(x) [/mm] = g(x + (2 [mm] -\sqrt{2})) [/mm] = -(x + (2 [mm] -\sqrt{2}))^2 [/mm] + 4*(x+(2 [mm] -\sqrt{2}))-2$.
[/mm]
sollt ihr wirklich sowas umständliches rechnen?
> EDIT : Hab das
> [mm]\integral_{1}^{3}{f\left(x\right)-g\left(x\right) \ dx}[/mm] mal
> jetzt mit dem nicht zugelassenen ( :) ) Taschenrechner
> ausgerechnet , kommt da jetzt [mm]\bruch{8}{3}[/mm] raus ?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ja.
Grüße,
Stefan
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Naja , hab zwar andere Ergebnisse raus , aber das Vorgehen ist gleich :
g(x) = [mm] -x^2 [/mm] +4x -2
Flächeninhaltsfunktion von g : [mm] -\bruch{1}{3}x^3 +2x^2 [/mm] -2x
f(x) = [mm] x^2 [/mm] -4x +4
Flächeninhaltsfunktion von f : [mm] \bruch{1}{3}x^3 -2x^2 [/mm] +4x
Nullstellen von g :
[mm] x^2 [/mm] -4x +2 = 0
[mm] x_1 [/mm] = 3,41
[mm] x_2 [/mm] = 0,58
Jetzt wird g um 0,58 Einheiten verschoben , damit er ne Nullstelle hat ( Voraussetzung für mich um die Fläche zu berechnen).
[mm] \overset{\sim}{g}(x) [/mm] = g(x+0,58)
[mm] -(x+0,58)^2 [/mm] + 4(x+0,58) -2
= [mm] -x^2 [/mm] +2,84x -0,0164
Das ist jetzt die verschobene Funktion von g.
Dazu noch die Flächeninhaltsfunkton von der verschobenen g-Funktion :
[mm] A_0(x) [/mm] = [mm] -\bruch{1}{3}x^3 [/mm] + [mm] \bruch{2,84}{2} x^2 [/mm] - 0,0164x
Jetzt noch f verschieben :
[mm] \overset{\sim}{f}(x) [/mm] = f(x+0,58)
= (x+0,58) ^2 -4(x+0,58)+4
= [mm] x^2 [/mm] -2,84x +2,01064
Das ist jetzt die verschobene Funktion von f.
So und jetzt berechne von der verschobenen Funktion (g) die Nullstellen , damit ich eine Intervallsgrenze habe :
[mm] -x^2 [/mm] +2,84x -0,0164 = 0
[mm] x^2 [/mm] -2,84x +0,0164 = 0
[mm] x_1 [/mm] = 2,834213562
[mm] x_2 [/mm] = 0
Jetzt setze ich in die Flächeninhaltsfunktion von der verschobenen G-Funktion die 2,834213562 ein.
Flächeninhaltsfunktion von der verschonen g-Funktion:
[mm] A_0(x) [/mm] = [mm] -\bruch{1}{3}x^3 [/mm] + [mm] \bruch{2,84}{2} x^2 [/mm] - 0,0164x
[mm] A_0(2,834213562) [/mm] = 3,77118875
Jetzt habe ich die GESAMTE FLÄCHE mit der verschobenen g-Funktion ausgerechnet ( gelbe + rote Fläche ) siehe Link: http://www.bilder-space.de/show_img.php?img=41d262-1329234792.jpg&size=original
Und jetzt berechne den Schnittpunkt mit den BEIDEN verschobenen Funktionen und die x-Werte sind dann meine Intervallsgrenze für die verschobene f-Funktion , dann rechne ich mit der Flächeninhaltsfunktion von der verschobenen f-Funktion die roten Flächen.
Dann subtrahiere ich die gesamte Fläche mit der roten Fläche und hab die gelbe Fläche , konnte man mir folgen ?
Ich hoffe ja xD
Die Differentialrechnung war ja Kindergarten im Gegensatz zu dem hier :o.
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Hallo,
> Naja , hab zwar andere Ergebnisse raus , aber das Vorgehen
> ist gleich :
>
> g(x) = [mm]-x^2[/mm] +4x -2
>
> Flächeninhaltsfunktion von g : [mm]-\bruch{1}{3}x^3 +2x^2[/mm] -2x
>
>
> f(x) = [mm]x^2[/mm] -4x +4
>
> Flächeninhaltsfunktion von f : [mm]\bruch{1}{3}x^3 -2x^2[/mm] +4x
>
> Nullstellen von g :
>
> [mm]x^2[/mm] -4x +2 = 0
>
> [mm]x_1[/mm] = 3,41
>
> [mm]x_2[/mm] = 0,58
>
> Jetzt wird g um 0,58 Einheiten verschoben , damit er ne
> Nullstelle hat ( Voraussetzung für mich um die Fläche zu
> berechnen).
>
> [mm]\overset{\sim}{g}(x)[/mm] = g(x+0,58)
>
> [mm]-(x+0,58)^2[/mm] + 4(x+0,58) -2
>
> = [mm]-x^2[/mm] +2,84x -0,0164
> Das ist jetzt die verschobene Funktion von g.
>
> Dazu noch die Flächeninhaltsfunkton von der verschobenen
> g-Funktion :
>
> [mm]A_0(x)[/mm] = [mm]-\bruch{1}{3}x^3[/mm] + [mm]\bruch{2,84}{2} x^2[/mm] - 0,0164x
>
> Jetzt noch f verschieben :
>
> [mm]\overset{\sim}{f}(x)[/mm] = f(x+0,58)
> = (x+0,58) ^2 -4(x+0,58)+4
> = [mm]x^2[/mm] -2,84x +2,01064
> Das ist jetzt die verschobene Funktion von f.
>
> So und jetzt berechne von der verschobenen Funktion (g) die
> Nullstellen , damit ich eine Intervallsgrenze habe :
>
> [mm]-x^2[/mm] +2,84x -0,0164 = 0
>
> [mm]x^2[/mm] -2,84x +0,0164 = 0
>
> [mm]x_1[/mm] = 2,834213562
> [mm]x_2[/mm] = 0
>
> Jetzt setze ich in die Flächeninhaltsfunktion von der
> verschobenen G-Funktion die 2,834213562 ein.
>
> Flächeninhaltsfunktion von der verschonen g-Funktion:
>
> [mm]A_0(x)[/mm] = [mm]-\bruch{1}{3}x^3[/mm] + [mm]\bruch{2,84}{2} x^2[/mm] - 0,0164x
> [mm]A_0(2,834213562)[/mm] = 3,77118875
> Jetzt habe ich die GESAMTE FLÄCHE mit der verschobenen
> g-Funktion ausgerechnet ( gelbe + rote Fläche ) siehe
> Link:
> http://www.bilder-space.de/show_img.php?img=41d262-1329234792.jpg&size=original
Ja, das ist alles richtig.
> Und jetzt berechne den Schnittpunkt mit den BEIDEN
> verschobenen Funktionen und die x-Werte sind dann meine
> Intervallsgrenze für die verschobene f-Funktion , dann
> rechne ich mit der Flächeninhaltsfunktion von der
> verschobenen f-Funktion die roten Flächen.
Ja, das müsste gehen, aber es ist ungeheuer aufwendig!
So wie ich das verstanden habe, bist du bloß dadurch "beschränkt", dass du Flächeninhalte von Flächen berechnen kannst, die von x = 0 losgehen.
Also berechne doch trotzdem die Differenzfunktion
d(x) = g(x) - f(x),
und verschiebe DIESE, dann hast du wesentlich weniger Arbeit:
$d(x) = [mm] -2x^2 [/mm] + 8x - 6$,
$d(x) = 0 [mm] \gdw x^2 [/mm] - 4x + 3 = 0 [mm] \gdw x_{1/2} [/mm] = 2 [mm] \pm [/mm] 1$,
also musst du verschieben
[mm] $\overset{\sim}{d}(x) [/mm] = d(x + 1) = [mm] -2(x+1)^2 [/mm] + 8(x+1) - 6 = [mm] -2x^2 [/mm] + 4x$,
Die Nullstellen von [mm] $\overset{\sim}{d}$ [/mm] sind dann $x = 0$ und $x = 2$.
Nun Flächeninhaltsfunktion von [mm] $\overset{\sim}{d}$
[/mm]
[mm] $A_0(x) [/mm] = [mm] -\frac{2}{3}x^3 [/mm] + [mm] 2x^2$,
[/mm]
Flächeninhalt = [mm] $A_0(2) [/mm] = [mm] -\frac{16}{3} [/mm] +8 = [mm] \frac{8}{3}$.
[/mm]
Grüße,
Stefan
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Danke für die Antwort , aber wie kommst du auf $ d(x) = [mm] -2x^2 [/mm] + 8x - 6 $ ?
f(x) = g(x) ? Oder ?
Wolltest du jetzt die Nullstellen berechnen , und dann enstrpechend diesen Nullstellen es verschieben ?
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Hallo,
> Danke für die Antwort , aber wie kommst du auf [mm]d(x) = -2x^2 + 8x - 6[/mm]
> ?
Das ist die Differenzfunktion d(x) = g(x) - f(x),
die an jeder Stelle x angibt, wie weit sich g und f voneinander unterscheiden. Die Fläche unter der Differenzfunktion ist demzufolge die Fläche zwischen f und g.
> Wolltest du jetzt die Nullstellen berechnen , und dann
> enstrpechend diesen Nullstellen es verschieben ?
Genau das habe ich getan. Ich habe die Nullstellen der Differenzfunktion bestimmt und diese dann nach links verschoben, so dass die Nullstelle von d bei x = 1 im Koordinatenursprung liegt.
Grüße,
Stefan
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Schade , ich hatte es mit meinem Ansatz versucht , komme aber nicht auf [mm] \bruch{8}{3} [/mm] , verstehe den Fehler auch nicht..
Liegt es vielleicht daran , dass ich für die f-verschobene Funktion dieses Intervall habe : I =[0,42 ; 2,42]
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Hallo,
> Schade , ich hatte es mit meinem Ansatz versucht , komme
> aber nicht auf [mm]\bruch{8}{3}[/mm] , verstehe den Fehler auch
> nicht..
> Liegt es vielleicht daran , dass ich für die
> f-verschobene Funktion dieses Intervall habe : I =[0,42 ;
> 2,42]
Ja. Du berechnest ja nur die rote Fläche zwischen den beiden Schnittpunkten, du hast vorher aber ja die gelbe + die ganze rote Fläche in deinem Bild berechnet.
Da musst du also noch mehr abziehen, nämlich die rote Fläche, die links neben dem linken Schnittpunkt ist und die rechts neben dem rechten Schnittpunkt ist.
Grüße,
Stefan
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Als Gesamtfläche hatte ich ja 3,77 FE raus.
Wenn ich jetzt noch die linke rote Seite berechne kriege ich 0,621096 FE raus
3,77 - 0,621096 = 3,148904
Und jetzt die rote Fläche rechts beträgt 1,28 FE
3,148904 - 1,28 = 1,868
Immernoch das gleiche falsche Ergebnis -.-
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:18 Di 14.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo doc
deine Idee mit der Verschiebung ist schon eigentlich gut, nur hättest du nicht die nusstelle von g verschieben sollen, sondern die schnittstelle (x=1) der 2 Funktionen nach 0 verschieben, denn von da an willst du ja die fläche ausrechnen! also f(x+1) und g(x+1)
bei den anderen verschiebungen bleiben immer wieder flächenstücke übrig, ddie du noch wieder abziehen musst, und die nicht bei 0 anfangen.
plot mal g(x+0.58) und g(x+0.58) und daneben f(x+1) und g(x+1) dann siehst du besser was ich meine.
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:01 Di 14.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo doctor
du kannst nur flächeninhalte von 0 an rechnen, aber die Flache zwischen x=1 und x=3 ist doch die zwischen 0 und 3 minus der zw. 0 und 1, die du beide ausrechnen kannst also [mm] A_{13}≠A_0(3)-A_0(1) [/mm] das kannst du für die einzelnen Funktionen machen, oder für g(x)-f(x).
Gruss leduart.
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> Hallo doctor
> du kannst nur flächeninhalte von 0 an rechnen, aber die
> Flache zwischen x=1 und x=3 ist doch die zwischen 0 und 3
> minus der zw. 0 und 1, die du beide ausrechnen kannst also
> [mm]A_{13}≠A_0(3)-A_0(1)[/mm] das kannst du für die einzelnen
> Funktionen machen, oder für g(x)-f(x).
> Gruss leduart.
>
Das verstehe ich irgendwie nicht , es ist ja zwischen 1 und 3 , warum zwischen 0 und 3 ?
Wenn ich jetzt in die Flächeninhaltsfunktion von f die 1 einsetze bekomme ich dann die linke weiße bzw. rote Fläche raus ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:20 Di 14.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du willst die Fläche zw. 1 und 3 du kannst die Fläche zwischen 0 und 3 und die zw 0 und 1. dann kannst du doch von der zw. 0 und 3 die zw. 0 und 1 abziehen und hast die zw. 1 und 3.
gruss leduart
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Vielen Dank erstmal für die Antworten.
Ich habe jetzt das was der liebe steppenhahn geschrieben hat aufgegriffen :
" $ d(x) = [mm] -2x^2 [/mm] + 8x - 6 $,
$ d(x) = 0 [mm] \gdw x^2 [/mm] - 4x + 3 = 0 [mm] \gdw x_{1/2} [/mm] = 2 [mm] \pm [/mm] 1 $,
also musst du verschieben
$ [mm] \overset{\sim}{d}(x) [/mm] = d(x + 1) = [mm] -2(x+1)^2 [/mm] + 8(x+1) - 6 = [mm] -2x^2 [/mm] + 4x $,
Die Nullstellen von $ [mm] \overset{\sim}{d} [/mm] $ sind dann $ x = 0 $ und $ x = 2 $.
Nun Flächeninhaltsfunktion von $ [mm] \overset{\sim}{d} [/mm] $
$ [mm] A_0(x) [/mm] = [mm] -\frac{2}{3}x^3 [/mm] + [mm] 2x^2 [/mm] $,
Flächeninhalt = $ [mm] A_0(2) [/mm] = [mm] -\frac{16}{3} [/mm] +8 = [mm] \frac{8}{3} [/mm] $. "
Kann ich das jetzt irgendwie verallgemeinern und behaupten , immer d(x) = Funktion bla - Funktion blub zu benutzen wenn ich zwei Funktionen habe , die in sich eine Fläche einschließen , diesen Ansatz benutzen kann ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:59 Di 14.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, wenn die Funktionen nur 2 Schnittstellen haben, sonst musst du das zwischen je 2 Schnittstellen machen. und die Beträge der A dann addieren.
gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:46 Mi 15.02.2012 | | Autor: | pc_doctor |
Alles klar , vielen Dank.
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![[]](http://www.bilder-space.de/show_img.php?img=ef77f2-1329226894.jpg&size=original){kind=small}
http://www.bilder-space.de/show_img.php?img=ef77f2-1329226894.jpg&size=original
