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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:50 Sa 24.09.2005 | | Autor: | Binomi |
Servus!
Es ist folgendes verlangt:
Berechne jeweils den Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen der Funktion f und der 1. Achse über den(sic!) angegeben Intervallen.
[mm] f(x)=X^3 [/mm] - 2x + 4 [-2;0] [-3;1]
Wer dies Zahlen in den eckigen Kästchen, dann zu a und b der INTEGRALE ?
Oder ermittelt man diese Aufgabe über die Nullstellen?
Ein einfacher Weg würde schon reichen, Rechnungen brauche ich (noch) keine. Also z.B. Nullstellen (Polynomdivison), Integrale, Summenregel, addieren etc.
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:27 Sa 24.09.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Binomi
Wenn nach Flächen gefragt ist, musst du IMMER zwischen den Nullstellen rechnen. das Integral allein rechnet die Anteile unter der X- Achse als negativ! Wenn also keine Nullstellen IN dem Intervall liegen, wie in [-2,0] wo nur bei -2 eine Nullstelle ist musst einfach das Integral ausrechnen, wenn es neg. ist den Betrag nehmen. Wenn wie bei [-3,1] mindestens 1 Nullstelle drin liegt musst darfst du immer nur bis zu den Nullstellen rechnen, und musst die Beträge der Integrale dann addieren. Also erst Nullstellen berechnen, hier nur x=-2 dann von -3 bis -2 und von -2 bis 1 einzeln integrieren und die Beträge addieren.
Dein Integral von -2 bis 0 ist falsch! Zahlenwert UND Vorzeichen. Wenn du nur eine ganz grobe Skizze der Fkt. machst, siehst du, dass sie zuw. -2 und 0 positiv ist, der flächeninhalt muss also pos. rauskommen.
Wenn du nicht zurechtkommst, schreib deinen Rechenweg, aber nicht einfach die Integrale und dann eine Zahl, sonder wie du auf die -14 z.Bsp. gekommen bist!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 Sa 24.09.2005 | | Autor: | Binomi |
> Hallo Binomi
> Wenn nach Flächen gefragt ist, musst du IMMER zwischen den
> Nullstellen rechnen. das Integral allein rechnet die
> Anteile unter der X- Achse als negativ! Wenn also keine
> Nullstellen IN dem Intervall liegen, wie in [-2,0] wo nur
> bei -2 eine Nullstelle ist musst einfach das Integral
> ausrechnen, wenn es neg. ist den Betrag nehmen. Wenn wie
> bei [-3,1] mindestens 1 Nullstelle drin liegt musst darfst
> du immer nur bis zu den Nullstellen rechnen, und musst die
> Beträge der Integrale dann addieren. Also erst Nullstellen
> berechnen, hier nur x=-2 dann von -3 bis -2 und von -2 bis
> 1 einzeln integrieren und die Beträge addieren.
> Dein Integral von -2 bis 0 ist falsch! Zahlenwert UND
> Vorzeichen. Wenn du nur eine ganz grobe Skizze der Fkt.
> machst, siehst du, dass sie zuw. -2 und 0 positiv ist, der
> flächeninhalt muss also pos. rauskommen.
> Wenn du nicht zurechtkommst, schreib deinen Rechenweg,
> aber nicht einfach die Integrale und dann eine Zahl, sonder
> wie du auf die -14 z.Bsp. gekommen bist!
> Gruss leduart
>
Hmm, ok:
f(x)= [mm] x^3 [/mm] - 2x + 4
[mm] \integral_{-2}^{0} {x^3 - 2x + 4 dx}
[/mm]
= [mm] \integral_{-2}^{0} {x^3 dx} [/mm] + [mm] \integral_{-2}^{0} [/mm] {-2x dx} + [mm] \integral_{-2}^{0} [/mm] {4 dx}
= ( [mm] \bruch{0^4}{4} [/mm] - [mm] \bruch{-2^4}{4} [/mm] ) + [ -2 ( [mm] \bruch{0^2}{2} [/mm] - [mm] \bruch{-2^2}{2} [/mm] )] + ( 0*4 - (-2 *4))
= -4 + [-2 (-2)] + (8)
= -4 + 4 + 8
= 8
Richtig? (Schreibeweise usw. auch?)
Muss man dann nicht, bei dem was du da oben schreibst, vor jeder Rechnung, erstmal die Nullstellen berechnen und schauen, ob nichts negativ ist ? Warum muss man nur bei [-3;0] nur -2 als Nullstellen nehmen?
Nullstellen Berechnung erfolgt doch so ( lange nicht mehr gemacht):
f(x) = [mm] x^3 [/mm] - 2 x + 4
0 = [mm] x^3 [/mm] - 2x + 4
und nun ?
Polynomdivision mit x(1) [mm] \not= [/mm] -2 ?
Was macht man dann letzendes mit diesen zwei Beträge aus [-2;0] und [-3;1] - addieren/subtrahieren oder einfach als 2x Beträge im Raum stehen lassen?
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:37 Sa 24.09.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Binomi
> f(x)= [mm]x^3[/mm] - 2x + 4
>
> [mm]\integral_{-2}^{0} {x^3 - 2x + 4 dx}[/mm]
>
> = [mm]\integral_{-2}^{0} {x^3 dx}[/mm] + [mm]\integral_{-2}^{0}[/mm] {-2x
> dx} + [mm]\integral_{-2}^{0}[/mm] {4 dx}
>
> = ( [mm]\bruch{0^4}{4}[/mm] - [mm]\bruch{[red](-2)[/red]^4}{4}[/mm] ) + [ -2 (
> [mm]\bruch{0^2}{2}[/mm] - [mm]\bruch{-2^2}{2}[/mm] )] + ( 0*4 - (-2 *4))
>
> = -4 + [-2 (-2)] + (8)
>
> = -4 + 4 + 8
>
> = 8
>
> Richtig? (Schreibeweise usw. auch?)
Ergebnis r, Schreibweise schlecht [mm] -2^{2}=-4; (-2)^{2}=4, [/mm] an einer Stelle hab ichs rot markiert, an den anderen nicht.
> Muss man dann nicht, bei dem was du da oben schreibst, vor
> jeder Rechnung, erstmal die Nullstellen berechnen und
> schauen, ob nichts negativ ist ? Warum muss man nur bei
> [-3;0] nur -2 als Nullstellen nehmen?
Ja! du musst erst alle Nullstellen berechnen, nur in DIESER Aufgabe gibts nur die eine. Für die Lösung musst du wirklich erst durch (x+2) dividieren, dann kriegst du ne quadr. Gl. mit keiner reellen Lösung. Nur deshalb reicht es die eine zu berechnen. (Man könnte auch nur fesstellen, dass die Fkt für x>-2 immer positiv ist, und für x<-2 immer neg. das wär ne andere Möglichkeit keine weiteren Nullstellen auszurechnen.)
> Nullstellen Berechnung erfolgt doch so ( lange nicht mehr
> gemacht):
>
> f(x) = [mm]x^3[/mm] - 2 x + 4
>
> 0 = [mm]x^3[/mm] - 2x + 4
>
> und nun ?
> Polynomdivision mit x(1) [mm]\not=[/mm] -2 ?
ja!
>
> Was macht man dann letzendes mit diesen zwei Beträge aus
> [-2;0] und [-3;1] - addieren/subtrahieren oder einfach als
> 2x Beträge im Raum stehen lassen?
Die Aufgabe von -2 bis 0 und von -3 bis 1 sind einfach 2 Aufgaben. Das erste Ergebnis sind 8FE (Flächeneinheiten), das 2. ergebnis, zusammengesetzt aus den Beträgen von -3 bis -2 und -2 bis 1 ist ein zweites Ergebnis.
Ganz formal hätte die Aufgabe lauten müssen: Berechne die...für a)[-2,0]
b) [-3,1]
Gruss leduart
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