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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:13 Mi 08.03.2006 | | Autor: | krina |
| Aufgabe | | Gegeben sind fa(x)=(-1/3)x³+4ax, a>0 und gm(x)=mx. f1 und die x-Achse begrenzen eine Fläche vollständig, die den Inhalt 12FE besitzt. Es gibt Graphen von gm, die diese Fläche in zwei gleich große Teilflächen zerlegen. Bestimmen Sie diese. |
Meine Lösungsgleichung lautet: g(x)=0,5x.
Wär schön, wenn das richtig wäre.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo krina!
Wie folgende Skizze zeigt, ist Dein Ergebnis nicht richtig ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") .
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wie lautet denn Dein Rechenweg bzw. Deine Zwischenschritte?
Gruß vom
Roadrunner
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:27 Mi 08.03.2006 | | Autor: | krina |
Gm(x)=> [mm] 6=(1/2)mx^2
[/mm]
[mm] 6=(0-(1/2)m(-√12)^2)+((1/2)m√12^2)
[/mm]
6=6m+6m
6=12m
m=1/2
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grundsätzlich richtig:
[mm] \integral{gm(x) dx}=\frac{1}{2}mx^2 [/mm] (sehr gut!)
Nun die Frage nach den Integrationsgrenzen:
Aus der Aufgabenstellung folgt, dass von (0|0) bis zur nächsten Nullstelle von f(x) integriert werden soll.
Ns von f1(x): ${-2 [mm] \wurzel{3};0;2 \wurzel{3}}$
[/mm]
[mm] $\integral_{0}^{2\wurzel{3}}{f1(x)dx}=12$
[/mm]
Naive Methode (die sich als falsch erweisen wird:
[mm] [s]$\longrightarrow$ $\integral_{0}^{2\wurzel{3}}{g1(x)dx}=6 [/mm] $
[mm] $\longleftrightarrow [\frac{1}{2}m*(2 \wurzel{3})^2-\frac{1}{2}*m*0]=6$
[/mm]
[mm] $\longleftrightarrow[\frac{1}{2}m*(2 \wurzel{3})^2]=6$
[/mm]
[mm] $\longrightarrow [/mm] m=1$[/s]
Standartmäßig würde man in der Schule Aufgaben so lößen, wahrscheinlich hat der Aufgabensteller sich das auch so gedacht...
Warum das hier nicht funktioniert: Die Gerade verlässt das Flächenstück bereits vor der 2. Nullstelle, deshalb halbiert sie das Flächenstück nicht.
Lösung:
Suche die Schnittstelle $f1(x) [mm] \cap [/mm] gm(x)$:
$f1(x)=gm(x)$ [mm] $\longleftrightarrow$ $\frac{1}{3}x+4x=m*x$
[/mm]
[mm] $\longringhtarrow$ [/mm] (interessante Lsg) $x = [mm] \wurzel{3}*\wurzel{(4 - m)}$
[/mm]
Dies ist die neue Integrationsgrenze für gm(x)!
[mm] $\longrightarrow$ $\integral_{0}^{\wurzel{3}*\wurzel{(4 - m)}}{gm(x)dx}=6$ [/mm]
[mm] $\longleftrightarrow$ $[m*(\wurzel{3}*\wurzel{(4 - m)})^2-m*0]=6$
[/mm]
[mm] $\longrightarrow$ [/mm] $m=2$
Die Gesuchte Funktion g(x) ist also $g(x)=2x$
[i] möglich dass noch kleine Fehler, vor allem Abschreibfehler enthalten sind, ´vom Prinzip her sollte es aber stimmen. Und es soll ja nicht das "selber rechnen" ersetzen!
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Hallo Nachtwaechter,
Die Funktion g(x)=2x teilt die Fläche nicht in 2 Hälften (siehe der Ansatz von Walde).
gruß
mathemaduenn
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Sonst habe ich nichts gegen konstruktive Kritik, allerdins sehr wohl etwas dagegen, wenn sich jemand es zur Gewohnheit macht, offenbar jede Antwort von mir als Fehlerhaft zu bezeichnen. Vielleicht wäre es ratsam sich ein spannenderes Hobby zu suchen!
z.zg: g2(x) halbiert die Fläche unter dem Graphen von f1(x) und der x-Achse mit 12FE Fläche
<=> [mm] $\integral_{0}^{g\cap f}{g2(x) dx}=6FE$
[/mm]
Es ist gezeigt= [mm] $g\cap f=\sqrt{3}\sqrt{4-m}$
[/mm]
=>
[mm] $\integral_{0}^{\sqrt{3}\sqrt{4-2}}{2x dx}=[(\sqrt{3}\sqrt{4-2})^2-0]=(\sqrt{3}*\sqrt{2})^2=\sqrt{6}^2=6$ [/mm] qed.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:24 Mi 15.03.2006 | | Autor: | Walde |
Hi Nachtwaechter,
hier meine konstruktive Kritik:
Was du gezeigt hast, Nachtwächter ist, dass der Flächeninhalt unter g(x)=2x von 0 bis zum Schnittpunkt mit [mm] f_1 [/mm] ,6 FE beträgt, ok. Das ist das Dreieck, das von der blauen und grünen Geraden und der x-Achse begrenzt wird.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Nur: das war nicht die Aufgabenstellung. Der Flächeninhalt unter [mm] f_1 [/mm] von Nullstelle zu Nullstelle (im ersten Quadranten) soll durch eine Ursprungsgerade halbiert werden, so wie es die Zeichnung von Roadrunner weiter oben andeutet. Dein Ansatz "schneidet" aus dieser Fläche ein Dreieck heraus, aber halbiert ihn nicht durch eine Gerade. Ich habs nicht ausgerechnet welche Gerade von Nöten ist, aber durch meinen Ansatz (weiter unten) würde die korrekte Lösung errechnet werden können.
L G walde
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:26 Mi 08.03.2006 | | Autor: | Walde |
Hi Krina,
Deinen Ansatz hab ich ohne Erläuterung nicht ganz verstanden, aber probier mal den hier, der ist bombensicher ;)
1. Bereche die Schnittpunkte von [mm] f_{1} [/mm] und [mm] g_{m} [/mm] im 1.Quadranten (rechts oben). Du solltest einmal (0|0) und einen von m abhängigen Schnittpunkt [mm] S_{m}(sx_{m}|sy_{m}) [/mm] rausbekommen
2. Schnittpunkte von [mm] f_{1} [/mm] mit der x-Achse (im 1.Quadranten), du solltest wieder (0|0) und sowas wie (k|0) (laut Zeichnung [mm] k\approx3.5) [/mm] rausbekommen.
3. Jetzt
[mm] \integral_{0}^{sx_{m}}{g_{m} dx}+ \integral_{sx_{m}}^{k}{f_{1} dx}=6
[/mm]
nach m auflösen, fertig. Das ist der Flächeninhalt, der unterhalb von [mm] g_{m} [/mm] liegt (bis zur Schnittstelle [mm] sx_{m} [/mm] ) plus der unterhalb von [mm] f_{1} [/mm] (ab der Schnittstelle). Wenn du dir die Zeichnung zur Veranschauung zur Hilfe nimmst, siehst du's ganz leicht.
LG, Walde
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