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| Aufgabe | Berechnen Sie den Flächeninhalt des zwischen den Kurven
[mm] f(x)=x^2 [/mm] , [mm] g(x)=x^{-2} [/mm] und h(x)=4 aufgespannten Bereiches.
Bestimmen Sie die Schnittpunkt der Kurven und fertigen Sie eine Skizze an.
Eventuelle Symmetrien dürfen ausgenutzt werden. |
Hi,
ich weiss hier gar nicht wie ich anfangen soll , an der skizze kann ich ja die Schnittpunkte sehen ,aber wie soll ich das rechnerisch machen.. wegen [mm] x^{-2}
[/mm]
LG
Schlumpf
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> Berechnen Sie den Flächeninhalt des zwischen den Kurven
> [mm]f(x)^2[/mm] , [mm]g(x)=x^{-2}[/mm] und h(x)=4 aufgespannten Bereiches.
> Bestimmen Sie die Schnittpunkt der Kurven und fertigen Sie
> eine Skizze an.
> Eventuelle Symmetrien dürfen ausgenutzt werden.
> Hi,
>
> ich weiss hier gar nicht wie ich anfangen soll , an der
> skizze kann ich ja die Schnittpunkte sehen ,aber wie soll
> ich das rechnerisch machen.. wegen [mm]x^{-2}[/mm]
>
> LG
> Schlumpf
Guten Abend
ich vermute, dass auch die Funktion f noch vorgegeben
war. Nur hast du sie leider gar nicht angegeben !
LG
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Sorry, habe es verbessert
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Und auch wenn ich die Schnittpunkte habe... wie soll ich bei 3 funktionen immer wissen wie man dafür die Funktionen bildet für A=...
Es kann ja 2 verschiedene Integrale sein.. indem beispiel kann man mal 2 machen wegen der symmetrie
Also ob [mm] x^2 [/mm] -4 oder [mm] -x^2+4 [/mm] wie muss ich das genau wissen
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Hallo Schlumpf004,
> Und auch wenn ich die Schnittpunkte habe... wie soll ich
> bei 3 funktionen immer wissen wie man dafür die Funktionen
> bildet für A=...
> Es kann ja 2 verschiedene Integrale sein.. indem beispiel
> kann man mal 2 machen wegen der symmetrie
> Also ob [mm]x^2[/mm] -4 oder [mm]-x^2+4[/mm] wie muss ich das genau wissen
Es kann nur ein Integral sein, da h(x)=4 eine Parallele zur y-Acshe ist,
und somit eine Grenze fest liegt.
Gruss
MathePower
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Du meinst glaub ich mal x-Achse oder meinst du nicht parallel zu y-Achse oder so ähnlich?
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Hallo Schlumpf004,
> Du meinst glaub ich mal x-Achse oder meinst du nicht
> parallel zu y-Achse oder so ähnlich?
Ja, ich meinte x-Achse.
Gruss
MathePower
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:54 So 18.01.2015 | | Autor: | Schlumpf004 |
Da sind aber zwei Integrale A= [mm] 2*\integral_{0,5}^{1}{4-\bruch{1}{x^2} dx} [/mm] + [mm] \integral_{1}^{2}{4-x^2 dx}
[/mm]
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Es sind aber zwei Integrale A= [mm] 2*\integral_{0,5}^{1}{4-\bruch{1}{x^2} dx} [/mm] + [mm] \integral_{1}^{2}{4-x^2 dx}
[/mm]
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Hallo, zunächst mal als Skizze:
[Dateianhang nicht öffentlich]
die farbig unterlegten Flächen in den jeweiligen Intervallen sind gesucht
die Schnittstellen kannst du durch Gleichsetzen der Funktionen ermitteln
Steffi
sorry, jetzt sollten die Funktionen korrekt sein
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Bist du dir da sicher , dass diese Skizze so stimmt? Ich habe eine ganz andere...
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Wie gesagt ich habe eine ganz andere Skizze , ich denke hast einen Fehler bei [mm] 1/x^2 [/mm] gemacht also bei der Skizze..
Naja ich habe mal von meiner Skizze die Grenzwerte abgelesen (nicht ausgerechnet)
A= [mm] \integral_{0}^{1}{x^2-1/x^2 dx} [/mm] + [mm] \integral_{1}^{2}{x^2-4 dx}
[/mm]
...
...
A=| [mm] -\bruch{16}{3}| [/mm] = [mm] \bruch{16}{3} [/mm]
Stimmt das ?Muss man hier auch noch *2 machen wegen Symmetrie? Und würde es i-wie schlimm sein, dass ich wegen x^-2 in der Prüfung die Grenzwerte von der Skizze ablesen würde?
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Hallo,
zu lösen ist
[mm] 2*[\integral_{0,5}^{1}{4-\bruch{1}{x^2}dx}+\integral_{1}^{2}{4-x^2 dx}]
[/mm]
Steffi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:03 So 18.01.2015 | | Autor: | chrisno |
Dann zeig Deine Skizze. Du kannst auch einfach einsetzen: x = 1, ... und nachrechnen ob die Punkte stimmen. Also rechne vor, wo die gezeigten Funktionsgrphen falsch sind.
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Ich weiss nicht wie man hier eine Skizze hinzufügt aber die von Steffi stimmt jetzt die hatte ich auch...
So jetzt zur Rechnung: im Lösungsheft steht, dass die Lösung [mm] \bruch{16}{3} [/mm] lautet.
Bei meiner rechnung habe ich auch [mm] \bruch{16}{3} [/mm] erhalten ist denke ich mal Zufall.
A= [mm] 2*\integral_{0,5}^{1}{4-\bruch{1}{x^2} dx} [/mm] + [mm] \integral_{1}^{2}{4-x^2 dx}
[/mm]
= 2*(4x+ [mm] \bruch{1}{x}) [/mm] + (4x - [mm] \bruch{1}{3}x^3 [/mm] )
= 2*(1+5/3)= 16/3
Danke Steffi das muss stimmen !
Jetzt eine letzte Frage: wie kommst du auf A= [mm] 2*\integral_{0,5}^{1}{4-\bruch{1}{x^2} dx} [/mm] + [mm] \integral_{1}^{2}{4-x^2 dx} [/mm] ich habe ja eine falsche Funktionsgleichung erstellt. Was muss ich hierbei beachten?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:52 Mo 19.01.2015 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Ich weiss nicht wie man hier eine Skizze hinzufügt aber
> die von Steffi stimmt jetzt die hatte ich auch...
>
> So jetzt zur Rechnung: im Lösungsheft steht, dass die
> Lösung [mm]\bruch{16}{3}[/mm] lautet.
> Bei meiner rechnung habe ich auch [mm]\bruch{16}{3}[/mm] erhalten
> ist denke ich mal Zufall.
>
> A= [mm]2*\integral_{0,5}^{1}{4-\bruch{1}{x^2} dx}[/mm] +
> [mm]\integral_{1}^{2}{4-x^2 dx}[/mm]
Hier fehlen noch Klammern:
A= [mm]2*\left(\integral_{0,5}^{1}{4-\bruch{1}{x^2} dx}+\integral_{1}^{2}{4-x^2 dx}\right)[/mm]
> = 2*(4x+ [mm]\bruch{1}{x})[/mm] + (4x -
> [mm]\bruch{1}{3}x^3[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
)
Ebenso:
$ = 2*\left( \left.\left(4x + \bruch{1}{x}\right) \right|^1_{0,5}+ \left. \left(4x-\bruch{1}{3}x^3\right) \right|^2_1 \right)$
> = 2*(1+5/3)= 16/3
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Danke Steffi das muss stimmen !
> Jetzt eine letzte Frage: wie kommst du auf A=
> [mm]2*\integral_{0,5}^{1}{4-\bruch{1}{x^2} dx}[/mm] +
> [mm]\integral_{1}^{2}{4-x^2 dx}[/mm] ich habe ja eine falsche
> Funktionsgleichung erstellt. Was muss ich hierbei beachten?
Es werden die beiden auf der Zeichnung türkis gefärbten Flächen
berechnet. Da die Funktionen symmetrich zur y-Achse sind, wird nur die
Fläche im 1.Quadranten berechnet und dann verdoppelt.
Die berechnete Fläche wird noch in 2 Teile zerlegt, da sich die Funktionen
f und g im Punkt (1;1) schneiden; und die Funktionen g und h schneiden
sich im Punkt (0,5;4) und f und h im Punkt (2;4).
Deshalb die Integrationsgrenzen 0,5 und 1, und 1 und 2.
Die Funktion h liegt in beiden Integralen oberhalb (begrenzt die Fläche oben),
g liegt im ersten Integral unterhalb und im 2. Integral liegt f unterhalb
(begrenzen die Fläche unten).
Gruß
meili
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> die farbig unterlegten Flächen in den jeweiligen
> Intervallen sind gesucht
Guten Abend allerseits !
Ich hätte zwar dieselben Graphen gezeichnet und trotzdem
ein anderes Gebiet ausgewählt, nämlich das zusammenhängende
Gebiet, welches von den 3 Graphen berandet wird, in x-Richtung
von -1 bis +1 und in y-Richtung von 0 bis 4 reicht.
Eigentlich muss man also die Aufgabenstellung etwas kriti-
sieren, da das gesuchte Gebiet nicht wirklich eindeutig
beschrieben wird. Irgendwie erinnere ich mich sogar an diese
bzw. eine ganz analoge Aufgabe, die ich vor laanger Zeit
einmal selber gestellt habe. Vermutlich stand die irgendwo
in einem typischen Schulbuch als Übungsaufgabe ...
Seltsamerweise kommt man für das besagte zusammen-
hängende Gebiet auf exakt denselben Flächeninhalt wie
für das in obiger Zeichnung von Steffi türkis gefärbte,
zweiteilige Gebiet !
Dies bedeutet z.B. auch, dass das Gebiet, welches im
ersten Quadranten von Parabel, y-Achse und der Geraden
y=4 umschlossen wird, durch den rechten (grün dargestellten)
Hyperbelast exakt halbiert wird.
LG , Al-Chw.
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